精品解析：辽宁省葫芦岛市绥中县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年度第二学期第一次质量监测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可选出正确选项． 【详解】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合同意； B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因式是整式． 2. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 14米 D. 16米 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可，，进而可得即这棵大树在折断前的高度． 【详解】根据题意，米 米 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项正确，符合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 故选：． 4. 如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：连接，则在中， ∵， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：A． 5. 若两个最简二次根式与能够合并，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，根据合并同类二次根式得出，，求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】解：∵两个最简二次根式与能够合并， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，得到，等边三角形的性质，得到，进而得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴，， ∴； 故选C． 7. 代数式中，的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：x≥－4且x≠2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数． 8. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且，若，则DE的长为（ ）． A. 3 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线和菱形的性质证明△ABD是等边三角形，从而得到∠OAB=30°，再求出AO的长即可得到答案． 【详解】为AB的中点，， ， 四边形是菱形， ，， ，， 为等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∴∠OAB=30°， ∴， ∴， ∵AO和DE都是等边△ABD的高， ∴DE=AO=3， 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 9. 如图，一根长的吸管置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 如图，由勾股定理得，，则，此时吸管露在杯子外面的长度最短，由题意知，吸管露在杯子外面的长度最长为，即，然后作答即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴，此时吸管露在杯子外面的长度最短， 由题意知，吸管露在杯子外面的长度最长为（）， ∴， 故选：B． 10. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的折叠问题，由折叠前后对应边相等可得，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：正方形边长为，为边的中点， ，，， 由折叠知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：原式＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟知二次根式的性质是解本题的关键． 12. 已知是整数，则正整数的最小值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题关键，将化简成，由是整数，得是个完全平方数，即可得出的最小值． 【详解】解：，是正整数，是整数， 是一个完全平方数， 的最小值是15， 故答案为：15． 13. 如图，一轮船以16海里/时速度从港口出发向东北航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口出发向西北方向航行，离开港口2小时后，则两船相距______海里． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直接利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵一轮船以16海里/时的速度从港口出发向东北航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口出发向西北方向航行， ∴两轮船的航线的夹角为， 2小时后两轮船行驶的路程分别为：，， 由勾股定理，得：此时两轮船之间的距离为：海里； 故答案为：40． 14. 如图，数轴上点分别对应实数、，过点作，且，再以点为圆心，长为半径向右画弧，交数轴于点，则点对应的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴， ∴点对应的实数是； 故答案为：． 15. 如图，设四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方再以对角线为边作第三个正方形，如此下去，则第n个正方形的边长为________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、、的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出的规律是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 即， 同理可求：， ， ． 第个正方形的边长为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简，再计算乘法，然后合并同类二次根式即可； （2）先计算乘除，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、二次根式的混合运算、运用乘法公式进行因式分解等知识点，灵活掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先求出，然后对原式进行因式分解后代入计算即可； （2）先求出、，然后对原式进行因式分解后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 18. 勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等知识．熟练掌握勾股定理的证明，完全平方公式是解题的关键． 由弦图可知，，则四边形和四边形是正方形，由，可得，整理得． 【详解】证明：由弦图可知，， ∴四边形和四边形是正方形， ∵， ∴， ， ∴． 19. 在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． （1）如图1，若点和顶点重合，求的长； （2）如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ． 20. 如图，在四边形中，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）利用勾股定理求出，则，据此可证明四边形是平行四边形，则； （2）根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，且． ． 21. （1）如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．与交于点，与交于点，连接．若，，求出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据勾股定理得到，，，，再对上述式子进行整理即可得到； （2）利用正方形性质证明，得到，进而证明，连接，，由（1）得到，利用勾股定理得到，，，即可解得的长． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， 在中， 在中， 在中， 在中， ， （2）四边形和四边形为正方形， ，，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接，， 由（1）可知， ，， ， ，， ， ． 22. [特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点． （1）证明：． （2）[初步探究]如图2，在正方形中，点边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：． （3）[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）过点作交于点，交于点，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得证； （3）连接，由（2）可知：，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 又点分别为的中点， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 证明：过点作交于点，交于点． 四边形是平行四边形 ， ， ； 【小问3详解】 连接，由折叠可知 由（2）可知 点是中点， 在Rt中，由勾股定理得 的长为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，折叠问题，以及勾股定理，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 23 阅读材料： 海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为 ． 下面我们对海伦公式进行证明． 分析：从三角形最基本计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式． 证明：如图，设，，，，，，，． 根据勾股定理，得 解方程组得 ， ① ② 于是 （1）阅读材料中的解方程组得①______． （2）[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式． （3）[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题题型属于阅读理解型分式的加减运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可． （1）将代入求解即可； （2）仿照②的运算方法求解即可； （3）根据海伦秦九韶公式求解即可． 【小问1详解】 将代入得， ； 【小问2详解】 于是 ； 【小问3详解】 ∵，，， ∴ ∴的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期第一次质量监测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ） A 10米 B. 12米 C. 14米 D. 16米 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若两个最简二次根式与能够合并，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 9 6. 如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（ ） A. B. C. D. 7. 代数式中，的取值范围是（ ） A B. C. 且 D. 且 8. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且，若，则DE的长为（ ）． A. 3 B. C. D. 4 9. 如图，一根长的吸管置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算______． 12. 已知是整数，则正整数的最小值为______． 13. 如图，一轮船以16海里/时的速度从港口出发向东北航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口出发向西北方向航行，离开港口2小时后，则两船相距______海里． 14. 如图，数轴上点分别对应实数、，过点作，且，再以点为圆心，长为半径向右画弧，交数轴于点，则点对应的实数是______． 15. 如图，设四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方再以对角线为边作第三个正方形，如此下去，则第n个正方形的边长为________________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 17. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 18. 勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 19. 在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． （1）如图1，若点和顶点重合，求的长； （2）如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 20. 如图，在四边形中，． （1）求长； （2）求四边形面积． 21. （1）如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．与交于点，与交于点，连接．若，，求出的长． 22. [特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点． （1）证明：． （2）[初步探究]如图2，在正方形中，点为边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：． （3）[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长． 23. 阅读材料： 海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为 ． 下面我们对海伦公式进行证明． 分析：从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式． 证明：如图，设，，，，，，，． 根据勾股定理，得 解方程组得 ， ① ② 于是 （1）阅读材料中的解方程组得①______． （2）[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式． （3）[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$