精品解析：湖南省衡阳市祁东县2024届高三下学期考前仿真联考三数学试题

2024年高考考前仿真联考三 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 若数据的标准差为，则数据，，，…，的标准差为（ ） A. B. C. D. 3. 对任意的实数 ，若，则的值为（ ） A. 15 B. 6 C. 1 D. 20 4. 已知点，动圆过点 ，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥（O是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为.P、Q为底面圆周上任意两点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，为AC的中点，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 在三角形中，点在平面内，且满足，条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 函数在上单调递增 D. 方程的解为， 11. 已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（ ） A. 函数图像关于直线对称 B. 函数为偶函数 C. 4是函数的一个周期 D. 三、填空题（本大题井3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知是关于 的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为___________. 13. 已知圆，圆与 轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆 和圆的公共弦所在的直线方程为___________. 14. 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，.若，，函数，若，则实数 的取值范围为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，在三棱柱中，已知平面平面，，，. （1）证明：平面； （2）已知E是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名） 男生 女生 合计 历史类 15 25 40 物理类 35 25 60 合计 50 50 100 （1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响； （2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望. 附，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知椭圆. （1）已知的顶点均在椭圆上，若坐标原点 为的重心，求点 到直线PQ距离的最小值； （2）已知定在椭圆上，直线（与 轴不重合）与椭圆交于A、B两点，若直线AB，AN，BN的斜率均存在，且，证明：直线AB过定点（坐标用，表示）. 19. 已知正项数列的前 项和为，首项. （1）若，求数列的通项公式； （2）若函数，正项数列满足：. （i）证明：； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高考考前仿真联考三 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由，让集合与中的元素完全相同，即可列式求解. 【详解】由题意，，， 故选：D. 2. 若数据的标准差为，则数据，，，…，的标准差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性变化前后数据的方差的关系求解． 【详解】因为数据的标准差为， 由数据方差的性质，可得数据，，…，的标准差为， 故选：D. 3. 对任意的实数 ，若，则的值为（ ） A. 15 B. 6 C. 1 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，令即可得结果. 【详解】因为， 令，可得. 故选：C. 4. 已知点，动圆过点 ，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，点到点 的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 5. 已知圆锥（O是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为.P、Q为底面圆周上任意两点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题求出圆锥的底面半径，求得的面积，要使三棱锥体积最大， 只需使上的高最大，易得平面时体积最大，计算即得. 【详解】 如图，由题意，圆锥的底面半径为， 则， 要使三棱锥体积最大，须使底面上的高最大， 故须使平面，因平面底面圆 ，且交线为, 故只须使即可，此时 . 故选:A. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，为AC的中点，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由正弦定理得，又且，化简可得的值. 【详解】由已知，在中，由正弦定理得， 所以，又，故. 故选：A. 7. 在三角形中，点在平面内，且满足，条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算法则可得，从而可判断充分性成立；令得，可判断必要性不成立. 【详解】若，由向量的线性运算法则， 可得， 因为，所以，，所以，所以是的充分条件； 若，令得，代入，得， 由三点共线充要条件可知点，此时不成立，所以不是的必要条件. 故选：A. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取AB的中点，设，利用双曲线的定义，结合题设条件，求出，借助于，利用勾股定理列出关于的齐次方程，即可求得. 【详解】 如图，取AB的中点，因为，故得，, 设，由双曲线的定义得①， ，所以， 在中，，，，所以， ，代入①式可得，. 所以， 在中，，解得， 则双曲线的离心率为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题主要考查双曲线的离心率的求法，属于较难题. 解题思路是，一般考虑运用双曲线的定义和正、余弦定理，勾股定理，建立的齐次方程，即可求得离心率. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线面，面面平行的判定和性质，线面，面面垂直的判定和性质判断即可. 【详解】对于选项A，若，，则，所以A正确； 对于选项B，若，，，则与 平行或异面，所以B不正确； 对于选项C，若，，则可能与平行，相交或在平面内，所以C不正确； 对于选项D，设直线的一个方向向量为，直线 的一个方向向量为， 因为，，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 因为，所以，所以，所以D正确. 故选：AD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 函数在上单调递增 D. 方程的解为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出周期及、、，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，所以， 因为，则，则， 因为，则，所以，故B正确； 对于C，，由，得， 而，即时，没有意义，故C错误； 对于D，，则， 方程，得， 即，即， 所以或，因为，， 所以或，解得或，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（ ） A. 函数图像关于直线对称 B. 函数为偶函数 C. 4是函数的一个周期 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过函数的奇偶性可判断B；通过联立函数与的方程组以及对函数进行赋值可推出函数的周期从而判断C； 计算出从而排除A；先通过赋值求出，再通过周期性计算出D。 【详解】因为是偶函数，所以， 所以函数图象关于直线对称， 因为是奇函数，所以， 即，代入，得， 所以.由，得， 所以，所以函数为偶函数.故选项B正确； 因为，所以，由， 得，所以，得， 所以，所以4是函数的周期.故选项C正确； 由，得，所以，所以， 由，得，，所以，， 因为，所以，故选项A错误； 由，得即， 所以，故选项D正确. 故选:BCD 【点睛】本题是一道综合性较强的关于抽象函数奇偶性，对称性，周期性的综合题，且包含两个函数。 解决抽象函数奇偶性，对称性，周期的问题的关键是通过赋值，找到这几个性质之间的联系，函数的赋值包括两大类：即赋具体值和抽象的表达式，对于赋具体值一般根据题目的要求即可找到题目所需要求的值；而赋抽象的表达式，则需要遵循赋值后的表达式与其它子式子之间能够联立的原则。另外对于一个题目里有两个抽象函数的综合问题，则需通过建立方程组，然后赋值（表达式）消去其中一个函数，从而得到另一个函数的性质。 三、填空题（本大题井3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知是关于 的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】思路一：把代入方程中，再利用复数相等求出、，即可得解. 思路二：依题意根据虚根成对原理可得也是关于 的方程的一个根，利用韦达定理求出、，即可得解. 【详解】方法一：由已知可得，即， 所以，解得，所以. 方法二：因为是关于 的方程（其中p、q为实数）的一个根， 所以也是该方程的一个根， 由韦达定理得，解得，所以. 故答案为：. 13. 已知圆，圆与 轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆 和圆的公共弦所在的直线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据相切和弦长求出圆的方程，再联立两圆方程，即可得到相交弦所在的直线方程. 【详解】由圆与 轴相切于点，可设圆的方程为， 由，则，所以圆的方程为， 圆与圆 的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程. 故答案为： 14. 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，.若，，函数，若，则实数 的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数将指数转化为对数，再利用导数讨论的单调性后可求实数 的取值范围. 【详解】因为，， 所以，， 若，令，则， 又，则， 因为，故，故，故在上单调递增， 所以，所以，所以在上单调递增. 若，则，而，故， 故在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递增. 因为，所以，得， 故实数 的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于指数形式的复合函数，讨论其单调性时注意利用对数的性质把前者转化为与对数函数有关的复合函数的单调性来处理. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，在三棱柱中，已知平面平面，，，. （1）证明：平面； （2）已知E是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面平面，平面平面， 又平面，且，所以平面， 而平面，所以， 在中，因为，， 所以，所以， 又，、平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直证明线面垂直，进而得到，再用勾股定理逆定理证得，从而推得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面与平面的法向量，即可求解两个平面的夹角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 而， 所以两两互相垂直， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因为是棱的中点，所以， 所以，，设平面的法向量为， 则，令，得； 又，，设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 16. 生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名） 男生 女生 合计 历史类 15 25 40 物理类 35 25 60 合计 50 50 100 （1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响； （2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望. 附，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）学生的性别对选科分类有影响. （2）的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据计算，与临界值对比分析即可求解； （2）根据全概率公式求解男生选化学和地理的概率，然后结合二项分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 零假设为：学生的性别对选科分类没有影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立， 即认为学生的性别对选科分类有影响. 【小问2详解】 设表示事件：男生选化学和地理，表示事件：男生选物理，表示事件：男生选历史. 由题意，，， 且，， . 则，所以， ， ， ， ， 的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 （另解：因为，所以） 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况讨论函数的单调性，求出即可. 【小问1详解】 由题设当时，， 所以，得， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 若，不等式恒成立，则， ， 当时，对于，，所以在上单调递增， 所以时，，即满足题意； 当时，若，则，在上单调递减， 所以，与矛盾，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 18. 已知椭圆. （1）已知的顶点均在椭圆上，若坐标原点 为的重心，求点 到直线PQ距离的最小值； （2）已知定在椭圆上，直线（与 轴不重合）与椭圆交于A、B两点，若直线AB，AN，BN的斜率均存在，且，证明：直线AB过定点（坐标用，表示）. 【答案】（1） （2） 设，，， 因为，所以，所以， 即①， 设直线，代入椭圆的方程， 得， 则，，， ，， 将以上4个式子代入①，得， 得， 即②， 因为点在椭圆上，所以，， 代入②得， 得， 即， 因为，所以不在直线AB上，则， 则，得， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）设，当时，求出原点 到直线PQ的距离；当，点差法求出直线PQ的斜率，得直线PQ的方程，表示原点 到直线PQ的距离，由 的取值范围求最小值. （2）设，，由，得，设直线，代入椭圆的方程，利用韦达定理化简，得， 代入直线方程可得所过定点. 【小问1详解】 设，记线段PQ中点为， 因为 为的重心，所以，则点的坐标为， 若，则，此时直线PQ与 轴垂直，故原点 到直线PQ的距离为； 若，此时直线PQ的斜率存在， 设，，则， 又两式相减得， 可得. 故直线PQ的方程为，即， 则点 到直线PQ的距离为， 将代入得， 因为，所以， 故原点 到直线PQ距离的最小值为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题，而中点弦问题，采用点差法． 19. 已知正项数列的前 项和为，首项. （1）若，求数列的通项公式； （2）若函数，正项数列满足：. （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，则，即， 于是， 即，即， 当时，， 当时，因此， 所以 （ii）由已知，所以，得， 当时，，于是， 当时，， 又，所以，恒有，当时，， 由，得当时，， 则当时，， 从而 ， 于是， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合变形，再利用等差数列求出通项. （2）（i）利用导数证明不等式，由此放缩各，再利用分组求和法求解即得；（ii）由（i）推理证得及，再利用裂项相消法求和推理即得. 【小问1详解】 正项数列中，，，，当时，， 两式相减得，即， 而，则，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $