1.1集合讲义-2025届高三数学一轮复习

2025届高三大一轮数学复习讲义 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第一节　集 合 课程目标 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系； 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合； 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 4.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 基础知识 1.元素与集合 （1）集合元素的三个特性：　 　　、　 　　、　　　　； （2）集合的三种表示方法：　 　　、　 　　、　　　　； （3）元素与集合的两种关系：属于，记为　　　　；不属于，记为　　　　； （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示　　　　集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示　　　　集，Q表示　　　　集，R表示实数集. 提醒 （1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性； （2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中　　　　元素都是集合B中的元素 　　（或B⊇A） 或 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A 　　（或B⫌A） 集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B 提醒 （1）A⊆B包含两层含义：A⫋B或A＝B； （2）若A⊆B，要分A＝⌀或A≠⌀两种情况讨论，不要忽略A＝⌀的情况. 3.集合的基本运算 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝　　　 A∩B＝　　　 ∁UA＝　　　 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一个集合都至少有两个子集.（　　） （2）{0，1，3}和{0，3，1}是同一个集合.（　　） （3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}.（　　） （4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　） （5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（　　） 2.设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（　　） A{1，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8} C.{0，2，4，6，8.}　 D.U 3.（多选）已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（　　） A.P＝{－2，2} B.2∈P　 C.P⫋N　 D.{⌀}⊆P 4.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝　　　　. 5.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，则A∪B＝　　　　，A∩B＝　　　　. 常用结论 1.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 3.等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 结论运用 1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为（　　） A.2　 B.4 C.8　 D.6 2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是　　　　. 聚焦考点 课堂演练 考点1 集合的基本概念 【典例1】　（1）已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的个数为（　　） A1　 B.3 C.6　 D.4 （2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝（　　） A.1　 B.4 C.2　 D.3 方法技巧 解决与集合含义有关问题的关键 （1）确定构成集合的元素是点集、数集、还是其他类型的集合； （2）确定元素的限制条件； （3）根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题. 提醒　集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意. 跟踪训练 1.已知集合A＝x｜x∈Z，且∈Z，则集合A中的元素个数为（　　） A.2　　 B.5　　 C.4　　 D.6 2.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝　　　　. 考点2 集合的基本关系 【典例2】已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B⫋A，则实数a的取值范围为（　　） A.[1，＋∞）　 B.（－∞，1] C.（1，＋∞）　 D.（－∞，1） 变式 若本例条件变为：已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A⊆B，则实数a的取值范围为　　　　. 方法技巧 1.判断集合间关系的常用方法 （1）列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系； （2）化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系； （3）数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断. 2.由集合间的关系求参数的解题策略 已知集合间的关系求参数时，关键是将集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析并对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解. 提醒　当B为A的子集时，易漏掉B＝⌀的情况. 跟踪训练 1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（　　） 2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（　　） A.3　 B.5 C.7　 D.9 考点3 集合的基本运算 考向1　集合的运算 【典例3】（1）（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（　　） A.⌀ B.{x｜x＝3k，k∈Z} C.{x｜x＝3k－1，k∈Z} D.{x｜x＝3k－2，k∈Z} （2）（2024·广东联考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A.(－1，3]　 B.（3，＋∞） C.（－∞，3)　 D.[－1，3） 方法技巧 集合基本运算的方法技巧 考向2　利用集合的运算求参数 【典例4】　（2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为　　　　. 方法技巧 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍； （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 考向3　集合的新定义问题 【典例5】给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（　　） A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合 B.正整数集是闭集合 C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合 D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合 方法技巧 解决以集合为背景的新定义问题的关键 （1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在； （2）用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质. 跟踪训练 1.设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（　　） A.∁U（M∪N）　 B.N∪∁UM C.∁U（M∩N）　 D.M∪∁UN 2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（∁RA）∪B＝R，则实数m的取值范围是（　　） A.m≥2　 B.m＜2 C.m≤2　 D.m＞2 3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝　　　　　　. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三大一轮数学复习讲义 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第一节　集 合 课程目标 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；在具体情境中，了解全集与空集的含义. 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 基础知识 1.元素与集合 （1）集合元素的三个特性：　确定性　、　无序性　、　互异性　； （2）集合的三种表示方法：　列举法　、　描述法　、　图示法　； （3）元素与集合的两种关系：属于，记为　∈　；不属于，记为　∉　； （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示　正整数　集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示　整数　集，Q表示　有理数　集，R表示实数集. 提醒　（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中　任意一个　元素都是集合B中的元素 A⊆（或B⊇A） 或 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A A⫋B（或B⫌A） 集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B 提醒　（1）A⊆B包含两层含义：A⫋B或A＝B；（2）若A⊆B，要分A＝⌀或A≠⌀两种情况讨论，不要忽略A＝⌀的情况. 3.集合的基本运算 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝ 　{x｜x∈A，　 　或x∈B}　 A∩B＝ 　{x｜x∈A，　 　且x∈B}　 ∁UA＝ 　{x｜x∈U，　 　且x∉A}　 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一个集合都至少有两个子集.（　×　） （2）{0，1，3}和{0，3，1}是同一个集合.（　√　） （3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}.（　×　） （4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　×　） （5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（　×　） 2.设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（　　） A.{1，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8} C.　{0，2，4，6，8}　 D.U 解析：C　因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}.故选C. 3.（多选）已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（　　） A.P＝{－2，2}.　 B2∈P CP⫋N.　 D.{⌀}⊆P 解析：AB　P＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A、B正确.⌀不是P中的元素，故D错误.因为－2∉N，故P⫋N错误，故C错误. 4.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝　1或4　. 解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4. 5.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，则A∪B＝　R　，A∩B＝　{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}　. 解析：因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，借助数轴如图①，所以A∪B＝R，如图②，所以A∩B＝{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}. 常用结论 1.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 3.等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 结论运用 1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为（　　） A.2　 B.4 C.8　 D.6 解析：C　因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由结论2得A∩B的子集个数为23＝8，故选C. 2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是　（－∞，1]　. 解析：如图，在数轴上表示出A，B.由结论3可得A⊆B，所以a≤1. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 集合的基本概念 【典例1】（1）已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的个数为（　　） A.1　 B.3 C.6　 D.4 （2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝（　　） A.1　 B.4 C.2　 D.3 答案：（1）C　（2）C 解析：（1）因为A＝{1，2，3}，所以B＝{（2，1），（3，1），（3，2），（1，2），（1，3），（2，3）}，共6个元素.故选C. （2） 由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝{0，，b}.所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝2. 方法技巧 解决与集合含义有关问题的关键 （1）确定构成集合的元素是点集、数集、还是其他类型的集合； （2）确定元素的限制条件； （3）根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题. 提醒　集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意. 跟踪训练 1.已知集合A＝x｜x∈Z，且∈Z，则集合A中的元素个数为（　　） A.2　 B.5 C.4　 D.6 解析：C　因为x∈Z，且∈Z，所以2－x的取值有－4，－2，-1，1，2,4所以x的值分别为6，4，3，1，0,-2故集合A中的元素个数为6故选D. 2.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝　－　　. 解析：令m＋2＝3，得m＝1，此时2m2＋m＝3，不合题意.令2m2＋m＝3，得m＝－或m＝1（舍去）.若m＝－，则m＋2＝，满足条件，所以m＝－. 考点2 集合的基本关系 【典例2】（必修第一册第9页5（2）题改编）已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B⫋A，则实数a的取值范围为（　　） A.[1，＋∞）　 B.（－∞，1] C.（1，＋∞）　 D.（－∞，1） 解析：B　因为A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且B⫋A.用数轴表示其关系如图.所以实数a的取值范围为a≤1.故选B. 变式 　若本例条件变为：已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A⊆B，则实数a的取值范围为　（3，＋∞）　. 解析：因为A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且A⊆B.①当A＝⌀时，2a－3＞a，则a＞3，满足题意；②当A≠⌀时，用数轴表示其关系如图，所以即所以a不存在，综上所述，实数a的取值范围为（3，＋∞）. 方法技巧 1.判断集合间关系的常用方法 （1）列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系； （2）化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系； （3）数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断. 2.由集合间的关系求参数的解题策略 已知集合间的关系求参数时，关键是将集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析并对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解. 提醒　当B为A的子集时，易漏掉B＝⌀的情况. 跟踪训练 1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（　　） 解析：A　因为N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A. 2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（　　） A.3　 B.5 C.7　 D.9 解析：C　∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且A⫋C⊆B，∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个. 考点3 集合的基本运算 考向1　集合的运算 【典例3】（1）（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（　　） A.⌀ B.{x｜x＝3k，k∈Z} C.{x｜x＝3k－1，k∈Z} D.{x｜x＝3k－2，k∈Z} （2）（2024·广东联考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A.(－1，3]　 B.（3，＋∞） C.（－∞，3) D.[－1，3） 答案：（1）B　（2）D 解析：（1）法一（列举法）　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A. 法二（描述法）　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A. （2）集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以题图中阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}＝{x｜－1≤x＜3}.故选D. 方法技巧 集合基本运算的方法技巧 考向2　利用集合的运算求参数 【典例4】　（2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为　5　. 解析：B＝{x｜｜x－3｜≤m}＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，又A∩B＝A，则A⊆B，所以所以m≥5，故m的最小值为5. 方法技巧 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍； （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 考向3　集合的新定义问题 【典例5】给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（　　） A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合 B.正整数集是闭集合 C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合 D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合 解析：C　选项A：当集合M＝{－4，－2，0，2，4}时，2，4∈M，而2＋4＝6∉M，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设a，b是任意的两个正整数，则a＋b∈M，当a＜b时，a－b是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当M＝{n｜n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3（k1＋k2）∈M，a－b＝3（k1－k2）∈M，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈（A1∪A2），而（2＋3）∉（A1∪A2），故A1∪A2不为闭集合，D选项错误. 方法技巧 解决以集合为背景的新定义问题的关键 （1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在； （2）用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质. 跟踪训练 1.（2023·全国乙卷2题）设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（　　） A.∁U（M∪N）　 B.N∪∁UM C.∁U（M∩N）　 D.M∪∁UN 解析：A　因为M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，所以M∪N＝{x｜x＜2}，所以∁U（M∪N）＝{x｜x≥2}.故选A. 2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（∁RA）∪B＝R，则实数m的取值范围是（　　） A.m≥2　 B.m＜2 C.m≤2　 D.m＞2 解析：C　∵A＝{x｜2＜x＜3}，∴∁RA＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∵（∁RA）∪B＝R，∴m≤2. 3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝　{x｜－3≤x＜0或x＞3}　. 解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}. 学科网（北京）股份有限公司 $$