精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

九年级质量监测数学试卷 考试时间：120分钟；试卷满分：120分 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内） 1. 一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（ ） A. B. C. D. 2. 某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是（ ） A B. C. D. 3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. - 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 随的增大而减小 D. 当时， 8. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 在一个不透明的中装材料、大小完全相同颜色不同的若干个红球和3个白球．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有__________个． 13. 如图，，，利用直尺和圆规按如下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交射线于点．②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于点，画射线．③以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．则线段的长为__________． 14. 如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点在轴上，点B，C在轴上，与轴交于点，连接．若，，则的值为__________． 15. 如图，在等腰中，，，以为边向上方作等边，点E，F分别是边上的动点，且，当是直角三角形时，的值为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 某中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买5副围棋和5副中国象棋需用130元；若购买7副围棋和3副中国象棋需用142元． （1）求围棋和中国象棋每副各多少元； （2）该中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么该中学最多可以购买多少副围棋？ 18. “学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校九年级（1）班数学兴趣组对本班学生每周的复习时间情况做初步调查，得出每周的复习时间四舍五入后只有4种：A．1小时，B．2小时，C．3小时，D．4小时．在全班学生中下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 九年（1）班学生每周复习时间调查问卷 请在下列选项中选择您的每周复习时间，并在其后“□”内打“√”（每位同学必选且选择其中一项）、非常感谢您的合作． A．1小时□ B．2小时□ C．3小时□ D．4小时□ 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求九年（1）班学生人数，并直接补全条形统计图； （2）扇形统计图中，B所对应扇形圆心角的度数； （3）在该班复习时间为4小时的学生中，选择其中4名分别记为甲，乙，丙，丁，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该4名学生中选取2名进行班会演讲，请用画树状图法或列表法求恰好选中乙和丁的概率． 19. 用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示当前剩余电量为（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段，根据以上信息，回答下列问题： （1）求线段对应的函数表达式； （2）先用普通充电器充电后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充满电，一共用时，通过计算在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：）的函数图象，并标注出a所对应的值． 20. 带凳可坐便携式休闲购物车具有载货．省力，可坐且能爬楼优点，受到民众尤其是老年人的青睐．某综合实践小组的成员制作了如图所示的示意图，其中直线表示地面，，直线，，，，，，求点D距离地面的高度．（结果精确到0.1cm；参考数据：，，，） 21. 如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长．（结果保留） 22. 根据以下素材，探索解答问题． 素材1：图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，过抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示，某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为，抛物线拱形最高点与x轴的距离为．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2：为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计） [问题解决] （1）根据图2，求抛物线的函数表达式； （2）求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标； （3）当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要，确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计） 23. 在中，，．点是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）【观察猜想】 如图1，当时，线段与的数量关系是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； （2）【类比探究】 如图2，当时，请写出值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题】 当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，当，且点C，P，D在同一直线上时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级质量监测数学试卷 考试时间：120分钟；试卷满分：120分 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内） 1. 一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴最接近标准的是选项D中的元件． 故选：D． 2. 某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据三视图，还原几何体，根据三视图可知几何体下半部分为长方体，上半部分为圆柱，进行判断即可． 【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体下半部分为长方体，上半部分为圆柱，与三视图对应的物体是： 故选B． 3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式；根据整式的乘法逐项计算即可； 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 5. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. - 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据一元二次方程根的判别式值为零，求可解． 【详解】解：由一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于0可得， ，得， 故应选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解答时注意△=0⇔方程有两个相等的实数根． 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根． 【详解】解：两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故选：D． 7. 一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 随的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，k﹥0，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B选项正确； 当x﹥2时，图象位于x轴的上方，则有y﹥0即﹥0，D选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 8. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行可得，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵平行光线，水面和底平行 ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选C． 9. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出方程组即可； 【详解】原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则； 已知谷子出米率为，则来年共得米； 则可列方程组为， 故选A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列出二元一次方程组，题目较简单，根据题意正确列出方程即可． 10. 如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解． 【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ，，， ， 点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为 ∴， ，， ， ∴， ， ， ， ， 又， ， 解得， ， 当四边形是菱形时，的值为； 故选A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，先化简二次根式，计算括号内，再利用乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 在一个不透明的中装材料、大小完全相同颜色不同的若干个红球和3个白球．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有__________个． 【答案】９ 【解析】 【分析】由题意，大量重复实验后，摸到白球的频率来估计概率为，结合实际白球数量计算得到总数量，然后计算红球数量即可． 【详解】解：由题意知，摸到白球的概率为： 所以总数量为：（个） 红球数量为：（个） 故答案为：9 【点睛】本题考查用频率来估计概率的求法，根据题意找见对应量是解题关键． 13. 如图，，，利用直尺和圆规按如下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交射线于点．②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线．③以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，三线合一，勾股定理等； 过点A作，由作图可得：平分，，根据直角三角形中30度的角所对直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解． 【详解】过点A作，如图 由作图可得：平分， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 14. 如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点在轴上，点B，C在轴上，与轴交于点，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义、平行四边形的性质、面积的转化；熟练运用同高等底求两个三角形面积关系是解题的关键． 根据，，得，易得，所以，求出，继而得出矩形的面积，最后求出k值即可． 【详解】解：如图， 过点F作，垂足为F点 四边形为平行四边形 又图像过第三象限 故答案为： 15. 如图，在等腰中，，，以为边向上方作等边，点E，F分别是边上的动点，且，当是直角三角形时，的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作，勾股定理求出的长，连接，当时，延长交于M，延长交于N．首先证明，，，根据，构建方程求出的长，进而求出的长，即可，当时，同法求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 连接，当时，延长交于，延长交于N． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同法可证，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，设，则，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， 当时，同法可得， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查含特殊角的三角形函数的计算，分式的化简，解题的关键是掌握，，分式的性质，即可． （1）先计算绝对值，二次根式的乘法，然后根据，进行计算，即可； （2）先对小括号通分，化简分式，然后再计算分式的乘法，即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 17. 某中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买5副围棋和5副中国象棋需用130元；若购买7副围棋和3副中国象棋需用142元． （1）求围棋和中国象棋每副各多少元； （2）该中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么该中学最多可以购买多少副围棋？ 【答案】（1）每副围棋16元，每副中国象棋10元 （2）最多购买25副围棋 【解析】 【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元．列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买围棋m副，则中国象棋买副．可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，求整数解即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 设每副围棋x元，每副中国象棋y元． 解得 答：每副围棋16元，每副中国象棋10元． 【小问2详解】 设可购买副围棋． ， 解得， 所以的最大整数值为25，因此最多购买25副围棋． 18. “学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校九年级（1）班数学兴趣组对本班学生每周的复习时间情况做初步调查，得出每周的复习时间四舍五入后只有4种：A．1小时，B．2小时，C．3小时，D．4小时．在全班学生中下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 九年（1）班学生每周复习时间调查问卷 请在下列选项中选择您每周复习时间，并在其后“□”内打“√”（每位同学必选且选择其中一项）、非常感谢您的合作． A．1小时□ B．2小时□ C．3小时□ D．4小时□ 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求九年（1）班学生人数，并直接补全条形统计图； （2）扇形统计图中，B所对应扇形圆心角度数； （3）在该班复习时间为4小时的学生中，选择其中4名分别记为甲，乙，丙，丁，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该4名学生中选取2名进行班会演讲，请用画树状图法或列表法求恰好选中乙和丁的概率． 【答案】（1）人，补全条形图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据A组人数及其百分比求解即可，再求出C组人数即可补全条形图； （2）先求出B组的百分比，再乘以即可； （3）先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出恰好选中乙和丁的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：九年（1）班学生人数为人， C组人数：人，补全条形图如图： 小问2详解】 B所对应扇形圆心角的度数； 【小问3详解】 画树状图如下： 所有等可能的情况共有12种，其中恰好选中乙和丁的情况有2种， 恰好选中乙和丁的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的知识，以及求圆心角，列表法或树状图法求概率，掌握条形统计图与扇形统计图之间的联系是解题的关键． 19. 用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示当前剩余电量为（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段，根据以上信息，回答下列问题： （1）求线段对应的函数表达式； （2）先用普通充电器充电后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充满电，一共用时，通过计算在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：）的函数图象，并标注出a所对应的值． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）利用待定系数法可求解析式； （2）如图，折线即为所求作图形，其中，设线段的函数表达式为，利用待定系数法得到线段的函数表达式为：，设线段的函数表达式为，利用待定系数法得到线段的函数表达式为：，联立即可求解. 【小问1详解】 解：设线段的函数表达式为 将，代入，即， 解得， ∴线段的函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图，折线即为所求作的图形，其中； 设线段的函数表达式为，将，代入， 解得， ∴线段的函数表达式为：， ∵， ∴设线段的函数表达式为，将代入，得：， 解得， ∴线段的函数表达式为：， 联立 解得 ∴． 20. 带凳可坐便携式休闲购物车具有载货．省力，可坐且能爬楼的优点，受到民众尤其是老年人的青睐．某综合实践小组的成员制作了如图所示的示意图，其中直线表示地面，，直线，，，，，，求点D距离地面的高度．（结果精确到0.1cm；参考数据：，，，） 【答案】17.4cm 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点C分别作直线l于点N，于点M，过点B作于点H，过点D作于点G，延长AD交直线l于点F，易得四边形ABHM，四边形CGDM，四边形DGNF都是矩形．分别解，， 即可． 【详解】解：如解图，过点C分别作直线l于点N，于点M，过点B作于点H，过点D作于点G，延长AD交直线l于点F，则，四边形ABHM，四边形CGDM，四边形DGNF都是矩形． ∴，，，． ∵， ∴． 在中，，， ∴ ∴． 在中，，， ∴． ∵，直线， ∴直线． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 答：点D距离地面的高度约为17.4cm． 21. 如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、弧长的求解等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）证即可； （2）根据题意求出即可求解； 【小问1详解】 证明：由题意得：， ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的长为： 22. 根据以下素材，探索解答问题． 素材1：图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，过抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示，某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为，抛物线拱形最高点与x轴的距离为．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2：为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计） [问题解决] （1）根据图2，求抛物线的函数表达式； （2）求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标； （3）当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要，确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计） 【答案】（1） （2）最左侧一个救生圈悬挂点的坐标为 （3）救生绳至少需 【解析】 【分析】（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，待定系数法求解得． （2）抛物线，得与横轴交点，，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称，由，得桥面可挂6个． （3）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，，在中，勾股定理求得长度即可． 【小问1详解】 如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，抛物线经过，得： 解得 【小问2详解】 相邻两救生圈悬挂点水平间距为，且关于轴对称． ． 左侧可挂3个，桥面可挂6个． ∵最左侧位于拱面上方处， 最左侧一个救生圈悬挂点的坐标为． 【小问3详解】 如图，当水位达到最高时，水位线为． 救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方， 当时，，，． 在中，． 答：救生绳至少需． 【点睛】本题考查二次函数待定系数法确定解析，图象性质，勾股定理，掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 23. 在中，，．点是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）【观察猜想】 如图1，当时，线段与的数量关系是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； （2）【类比探究】 如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）【解决问题】 当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，当，且点C，P，D在同一直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2）； （3）或 【解析】 【分析】（）观察猜想：由“”可证，可得，，即可求解； （）类比探究：通过证明，可得， ，即可求解； （）分点在线段上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：，， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质得，，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， 如图中，延长交的延长线于，设交于点， 在和中， ，， ， 直线与直线相交所成的较小角的度数是； 故答案为：，； 【小问2详解】 如图中，设交于点， ∵，，线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴直线与直线相交所成的小角的度数为； 【小问3详解】 解：如图，当点在线段上时， ∵点E，F分别是的中点， ， ∵，，线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同法（2）可得：，， ∴， 如图中，当点在线段上时，同法可证：，，， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$