精品解析：山东省济南市长清区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列各式一定成立是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程有增根，那么k的值为（　　） A 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得，当点B的对应的D恰好落在上时，的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 化简：的结果是（ ） A. 3 B. C. D. 9. 如图，在中，已知，．点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为( ) A. B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案） 11. 因式分解______． 12. 若分式有意义，则的取值范围是________． 13. 关于x的方程3x+a＝x﹣7的根是正数，则a的取值范围是_____． 14. 一次生活常识知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣5分，乐乐想要在这次竞赛中得分不低于90分，则他至少要答对的题数是_____． 15. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式______． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 解不等式组：并写出它的所有整数解． 19. 计算： 20. 解分式方程： （1）； （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点三角形的形状．（无须说明理由） 22. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23. 如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m，n的值； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 24. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共24件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 25. 【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组的解集： 首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： … 0 1 2 3 4 … … … 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若为该函数图象上不同的两点，则__________________； （3）观察图象，当时，自变量的取值范围是__________________； 【拓展运用】 函数的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数的图象所围成的图形面积． 26. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． （1）操作发现 如图2，固定，使绕点C旋转，当点D恰好落在边上时，填空： ①线段与的位置关系是 ； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是 ． （2）猜想论证 当绕点C旋转到如图3所示位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4）．若在射线上存在点F，使，请直接写出相应的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意； 故选：D． 2. 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加求出点P对应点的坐标即可得解． 【详解】解：点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，所得到的点的坐标为，即， 故选：B． 3. 若，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，，，，故A、B、C选项错误，D选项正确， 故选：D． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式解集； 先解不等式，再根据在数轴上表示解集的方法得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在数轴上表示为 ， 故选：B． 5. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握交点坐标的计算是解题的关键．根据得，利用数形结合思想解答即可． 【详解】根据题意，得， 解得， ∴图象与x轴交点为 由图象可知时，图象在x轴上方， ∴． 故选D． 6. 若关于x的方程有增根，那么k的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根求参数，掌握增根的意义是关键； 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：， 解得． 故选：D． 7. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得，当点B的对应的D恰好落在上时，的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角； 根据旋转的性质可得，，然后根据等边对等角计算即可． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得， ∴，， ∴， 故选：C． 8. 化简：的结果是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据分式的加减法运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B 9. 如图，在中，已知，．点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查坐标与图形，等腰三角形的性质及含30度角的性质，图形的平移，根据题意作出相应图形，然后求解是解题关键． 根据等腰三角形和含的直角三角形的性质得点的坐标为，作轴于点，则，所以，所以，可知将是向右平移了2个单位长度，根据平移法则即可求出答案． 【详解】解：，，点为的中点， ，， ， ， ，， 点的坐标为， 将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点，如图，作轴于点， ， ， ， 将是向右平移了2个单位长度， 点的对应点的坐标为． 故选：B． 10. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为( ) A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，通过SAS证明△AEF≌△AGP，得PG=EF=2，再利用勾股定理求出GE长，在△GPE中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】解：连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE， ∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP， ∴AF=AP，∠PAF=90°， ∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°， ∴∠FAE=∠PAG， 在△AEF和△AGP中， ∴△AEF≌△AGP（SAS）， ∴PG=EF=2， ∵BC=3，CE=2BE， ∴BE=1， 在Rt△ABE中，由勾股定理得： ， ∵AG=AE，∠GAE=90°， ∴， 在△GPE中，PE＞GE-PG， ∴PE的最小值为GE-PG=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案） 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟知完全平方公式是解题的关键； 利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 若分式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，计算即可． 本题考查了分式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：分式有意义． 故， 解得， 故答案为：． 13. 关于x的方程3x+a＝x﹣7的根是正数，则a的取值范围是_____． 【答案】a＜﹣7 【解析】 【分析】求出方程的解，根据方程的解是正数得出>0，求出即可． 【详解】解：3x+a=x-7 3x-x=-a-7 2x=-a-7 x=， ∵＞0， ∴a＜-7， 故答案为a＜-7 【点睛】本题考查解一元一次不等式和一元一次方程的应用，关键是求出方程的解进而得出不等式． 14. 一次生活常识知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣5分，乐乐想要在这次竞赛中得分不低于90分，则他至少要答对的题数是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 设乐乐答对了道题，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合得分不低于90分，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设乐乐答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为13， 他至少要答对的题数是13． 故答案为：13． 15. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 阴影部分的周长为． 故本题答案为：12． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 作交于，过点作轴于，可证明，得，，设，则，，再根据图象上点的坐标特征求得的值，再由待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：作交于，过点作轴于， 一次函数的图象分别交，轴于点，， ，， ，， ，， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， 把代入得，， 解得， ， 设直线为， ， ， 直线的函数表达式为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查利用提公因式法及公式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 解不等式组：并写出它的所有整数解． 【答案】； 【解析】 【分析】分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整数解即可． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为： 它的所有整数解为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先变换分式的形式，然后约分即可. 【详解】 = = = 【点睛】此题主要考查含字母分式的运算，熟练掌握，即可解题. 20. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握等式的性质，解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键． （1）根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可； （2）根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可． 【小问1详解】 解：两边都乘以，得， 即 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为； 【小问2详解】 两边都乘以，得， 去括号得， 移项得， 解得， 经检验是原方程的增根， 所以原方程无解． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==， 即OB2+OA12=A1B2， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 22. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）证明即可． （2）连接，证明是等边三角形，得到，利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 ∵是等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴； ∴； ∴； ∵， ∴ ∴． 【小问2详解】 连接， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴； ∴是等边三角形， ∴； ∵，，， ∴，； ∴； ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 23. 如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m，n的值； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把点代入求得，再把点代入求n得值即可； （2）根据图象求解即可； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，此时，的值最小，利用待定系数法全等直线的解析式，令，求得y的值即可． 【小问1详解】 解：把点代入得，， ∴， 把点代入得，， 解得； 【小问2详解】 解：由图可得，当时，； 【小问3详解】 解：如图，过点A作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P， 把代入得，， 解得， ∴， 由对称的性质可得， ，， ∴， ∴当点A、P、B三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入得，， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、最值问题、轴对称的性质、一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 24. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共24件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】（1）甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需3万元 （2）6件 【解析】 【分析】本题主要分式方程和不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，解不等式即可． （1）设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元，根据用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设甲种农机具购买a件，则乙农机购买件，根据购买总费用不超过万元，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， ． 答：甲种农机具一件需4.2万元，乙种农机具一件需3万元； 【小问2详解】 解：设甲种农机具购买a件，则乙农机购买件，根据题意得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴甲种农机具最多能购买6件． 25. 【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组的解集： 首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： … 0 1 2 3 4 … … … 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若为该函数图象上不同的两点，则__________________； （3）观察图象，当时，自变量的取值范围是__________________； 【拓展运用】 函数的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数的图象所围成的图形面积． 【答案】【问题探究】（1）见解析；见解析；见解析；（2）；（3）或；【拓展运用】图象见解析；12 【解析】 【问题探究】（1）把对应的x的取值代入解析式，即可完成表格，然后描点，画出函数图象，即可； （2）把，可求出b的值，即可求解； （3）观察图象，当或时，，即可求解． 【拓展运用】先画出函数的图象，再求出两图象的交点坐标，然后根据所求图形面积等于，即可求解． 【详解】解：【问题探究】 （1）填表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 2 1 0 … 描出各点，画出函数图象如下： （2）当时，， 当时，， 解得：或5， ∴； 故答案为： （3）观察图象，当或时，， 即当时，自变量的取值范围是或； 故答案为：或 解：拓展运用】设两图象交于点A，B，直线交x轴于点C， 对于， 当时，，解得：， ∴点，即， 当时，， ∴直线与y轴的交点为， 画出函数的图象草图如下： 对于， 当时，，解得：， ∴点，即， 联立得：， 解得：或， ∴点， ∴它与函数的图象所围成的图形面积等于 ． 【点睛】本题考查作函数图象，利用图象法求解问题，新定义问题，熟练掌握用描点法作函数图象和利用图象法解决问题是解题的关键． 26. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． （1）操作发现 如图2，固定，使绕点C旋转，当点D恰好落在边上时，填空： ①线段与的位置关系是 ； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是 ． （2）猜想论证 当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4）．若在射线上存在点F，使，请直接写出相应的的长 【答案】（1）①；② （2）见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质可得，然后求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据内错角相等，两直线平行解答； ②根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，再根据等边三角形的性质求出点到的距离等于点到的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答； （2）根据旋转的性质可得，，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明； （3）过点作，求出四边形是菱形，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点为所求的点，根据菱形对角线相互垂直平分，利用勾股定理求得，；过点作，求出，从而得到是等边三角形，然后求出，再求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得点也是所求的点，根据菱形和等边三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：①绕点旋转，点恰好落在边上， ， ， 等边三角形， ， 又， ， ； 故答案为：； ②，， ， ， 根据等边三角形的性质，的边、上的高相等， 的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：是由绕点旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即； 【小问3详解】 解：如图，过点作，连接， 四边形是平行四边形， ， 是的平分线， ， ， ， 四边形是菱形， ，且、上的高相等， 此时； ，， ， 解得：； 过点作，连接， ，， ， ，，， ， 是等边三角形， ， ，，点是角平分线上一点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点也是所求的点， ， 综上，的长为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积计算公式以及含角的直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据等底（或同底）等高的三角形的面积相等进行计算求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$