第四章 三角形提升题-2023-2024学年七年级数学下学期期末章节题型归纳（北师大版）

第四章 三角形提升题 三角形三边关系 1. （2023春•罗湖区校级期末）如图，用五个螺丝将五条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、3、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 三角形的面积 1. （2023春•榕城区期末）如图，点、分别是边、上一点，，，连接、交于点，若的面积为12，则与的面积之差等于　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2. （2023春•惠来县校级期末）如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接，若，，，则线段的长度为　　 A．4 B． C．5 D． 3. （2023春•罗湖区校级期末）如图，在中是上的一点，，点是的中点，与相交于点，设，，的面积分别为，，，且，则 ． 4. （2023春•清远期末）如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为秒． （1）当 秒时，把的面积分成相等的两部分； （2）当秒时，把分成的和的面积之比是 ； （3）当为多少秒时，的面积为18． 三角形内角和定理 1. （2023春•蕉岭县校级期末）如图，在中，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接，．设，，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2023春•澄海区期末）把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点恰好落在的延长线上，，则的大小为　　 A． B． C． D． 3. （2023春•云浮期末）如图1，在直角三角形中，，，现将绕点顺时针旋转角度得到． （1）若时，则 ；若时，与的关系是 ； （2）与有怎样的关系？请说明理由； （3）在旋转过程中，若时，与这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出的所有可能取值． 全等三角形的判定 1. （2023春•顺德区期末）如图，点、在直线上，，，要使，还需要添加一个条件，给出下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 2. （2023春•和平县期末）如图，已知是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法中： ①； ②； ③； ④． 正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 全等三角形的判定与性质 1. （2023春•罗湖区期末）如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且．若，则的长为　　 A． B． C． D． 2. （2023春•兴宁市校级期末）如图，在四边形中，是边的中点，平分，且，若，，则 ． 3. （2023春•连平县期末）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 4. （2023春•龙岗区校级期末）如图，已知在四边形中，，，，，则 ． 5. （2023春•福田区校级期末）如图，点在线段上，，，，且，，，，则 ． 6. （2023春•宝安区期末）如图，中，，点为延长线上一点，于点点为延长线上一点，连接交的延长线于点，点是的中点，若，，则 ． 7. （2023春•梅江区期末）如图，在中，，，点从出发以每秒2个单位的速度在线段上从点向点运动，点同时从出发以每秒2个单位的速度在线段上向点运动，连接、，设、两点运动时间为秒 （1）运动 秒时，； （2）运动多少秒时，能成立，并说明理由； （3）若，，则 （用含的式子表示）． 8. （2023春•揭阳期末）如图，已知点、、、在直线上，点、在异侧，且，． （1）请你添加一个适当的条件： ，使得．结合所添加的条件证明； （2）若，，求的长度． 9. （2023春•连平县期末）如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点． （1）证明：； （2）若，，，求的长． 10. （2023春•紫金县期末）为了测量楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点，测得旗杆顶的视线与地面的夹角，楼顶的视线与地面的夹角，点到楼底的距离与旗杆的高度均为，旗杆与楼之间的距离为，求楼的高度． 11. （2023春•龙华区期末）如图1，，直线分别交直线，于点，，点，分别为直线，上的点，且，，是直线上不与点，重合的点，连接，． （1）请在图1中画出一个你设计的图形，并添加一个适当的条件： ，使得与全等，并说明理由； （2）如图2，连接，若，，则 ． 12. （2023春•榕城区期末）如图（1），与相交于点，，，，点从点出发，沿的路径以的速度运动；点从点出发，沿的方向以的速度运动．、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为． （1）求证：； （2）用含的式子表示线段的长； （3）连接，当线段经过点时（如图，求的值． 13. （2022秋•吴川市期末）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）求证：． （2）写出线段的长（用含的式子表示）． （3）连接，当线段经过点时，求的值． 14. （2023春•梅州期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时， ， ； （2）若，试说明； （3）在点的运动过程中，的形状可以是以为腰的等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 全等三角形的应用 1. （2023春•龙岗区期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是　　 A． B． C． D． 2. （2023春•大埔县校级期末）生活中的数学： （1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何知识是 ； （2）如图2，把小河里的水引到田地处，若要使水沟最短，则过点向河岸作垂线，垂足为点，沿挖水沟即可，这里所运用的几何知识是 ； （3）如图3，要测量池塘沿岸上两点、之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，点是线段的中点，要想知道、之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 直角三角形的性质 1. （2023春•普宁市期末）如图，在直角三角形中，，，，．则的度数为　　 A． B． C． D． 作图—基本作图 1. （2023春•福田区校级期末）如图，直线，直线分别与，相交于点，．小宇用尺规作图法按以下步骤作图： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点； ②分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2023春•梅江区期末）如图，中，，，垂足为． （1）求作的平分线，分别交，于，两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）证明． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形提升题 三角形三边关系 1. （2023春•罗湖区校级期末）如图，用五个螺丝将五条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、3、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：相邻两螺丝的距离依次为1、2、3、4、5； ①选作为三角形的一边、另外的线段构成三角形另外两边，而，不能构成三角形； ②选作为三角形的一边，另外的线段构成三角形另外两边为2和6或3和5， 而，，，三角形均成立， 此时最大边长为7； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7． 故选：． 三角形的面积 1. （2023春•榕城区期末）如图，点、分别是边、上一点，，，连接、交于点，若的面积为12，则与的面积之差等于　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：， ， ，，， ， 即①， 同理：，， ，， ， 即②， ①②得：， 故选：． 2. （2023春•惠来县校级期末）如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接，若，，，则线段的长度为　　 A．4 B． C．5 D． 【解答】解：，，， ， ，． ，， ， ， ． ， ， ． ，，， ， ． ． 故选：． 3. （2023春•罗湖区校级期末）如图，在中是上的一点，，点是的中点，与相交于点，设，，的面积分别为，，，且，则　3.5　． 【解答】解：， ， 点是的中点， ， ， 即， ． 故答案为：3.5． 4. （2023春•清远期末）如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为秒． （1）当　5.5　秒时，把的面积分成相等的两部分； （2）当秒时，把分成的和的面积之比是 　　； （3）当为多少秒时，的面积为18． 【解答】解：（1）当点在中点时，把的面积分成相等的两部分， 此时， ． 故答案为：5.5； （2）， ，， ． 故答案为：； （3）①当在线段上时， ， 解得； ②当在线段上时，， ， 和高相同， ， ， ， 当或时，的面积为18． 三角形内角和定理 1. （2023春•蕉岭县校级期末）如图，在中，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接，．设，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2. （2023春•澄海区期末）把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点恰好落在的延长线上，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知：，，， ，， ， ， 又， ， 故选：． 3. （2023春•云浮期末）如图1，在直角三角形中，，，现将绕点顺时针旋转角度得到． （1）若时，则　62　；若时，与的关系是 　　； （2）与有怎样的关系？请说明理由； （3）在旋转过程中，若时，与这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出的所有可能取值． 【解答】解：（1），， ； 当，由旋转的性质可得：； （2）与的关系是：， 理由如下： ，， ， ， ； （3）“与这两个三角形存在一组边互相平行” ， ，， ①如图，当时， ， ； ②如图，当时， ， ③如图，当时， ， ． ④如图，当时， ， ； 综上：与这两个三角形的一组边互相平行时，为或或或． 全等三角形的判定 1. （2023春•顺德区期末）如图，点、在直线上，，，要使，还需要添加一个条件，给出下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【解答】解：， ， ， 添加条件，由判定， 故①符合题意； 添加条件，由判定， 故②符合题意； ， ， ，分别是，的对角， 不能判定， 故③不符合题意； ， ， 由判定， 故④符合题意． 其中符合要求的是①②④． 故选：． 2. （2023春•和平县期末）如图，已知是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法中： ①； ②； ③； ④． 正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：是的中线， ，故①正确， ， ， 在和中， ， ，故②正确， 在中，，故③正确； 没有理由能判定，则④错误． 综上，正确的有①②③． 故选：． 全等三角形的判定与性质 1. （2023春•罗湖区期末）如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且．若，则的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，可得， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 是的中点，， ． 故选：． 2. （2023春•兴宁市校级期末）如图，在四边形中，是边的中点，平分，且，若，，则　6　． 【解答】解：是边的中点， ， 平分， ， 如图，在边上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：6． 3. （2023春•连平县期末）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为 　24　． 【解答】解：， ， 在和中， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 故答案为：24． 4. （2023春•龙岗区校级期末）如图，已知在四边形中，，，，，则　35　． 【解答】解：延长至，使，连接，如下图所示： ， ， ，， ， 在、中， ， ， ，， 又， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：35． 5. （2023春•福田区校级期末）如图，点在线段上，，，，且，，，，则　　． 【解答】解：连接、， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理， ， 故答案为：． 6. （2023春•宝安区期末）如图，中，，点为延长线上一点，于点点为延长线上一点，连接交的延长线于点，点是的中点，若，，则　12　． 【解答】解：如图，过点作交的延长线于点， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 7. （2023春•梅江区期末）如图，在中，，，点从出发以每秒2个单位的速度在线段上从点向点运动，点同时从出发以每秒2个单位的速度在线段上向点运动，连接、，设、两点运动时间为秒 （1）运动　3　秒时，； （2）运动多少秒时，能成立，并说明理由； （3）若，，则　　（用含的式子表示）． 【解答】解：（1）由题可得，， ，， 当，时，， 解得， 故答案为：3； （2）当成立时，， ， 解得， 运动2秒时，能成立； （3）当时，， 又，， ， 又，， ． 故答案为：． 8. （2023春•揭阳期末）如图，已知点、、、在直线上，点、在异侧，且，． （1）请你添加一个适当的条件：　（答案不唯一）　，使得．结合所添加的条件证明； （2）若，，求的长度． 【解答】解：（1）添加，证明如下： ， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）； （2）， ， ， 即， ，， ， ． 9. （2023春•连平县期末）如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点． （1）证明：； （2）若，，，求的长． 【解答】（1）证明：点是边的中点， ， 又， ，， 在和中， ， ； （2）解：，， ， ，点是边的中点，， ， ， ． 10. （2023春•紫金县期末）为了测量楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点，测得旗杆顶的视线与地面的夹角，楼顶的视线与地面的夹角，点到楼底的距离与旗杆的高度均为，旗杆与楼之间的距离为，求楼的高度． 【解答】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 楼的高度是． 11. （2023春•龙华区期末）如图1，，直线分别交直线，于点，，点，分别为直线，上的点，且，，是直线上不与点，重合的点，连接，． （1）请在图1中画出一个你设计的图形，并添加一个适当的条件：　　，使得与全等，并说明理由； （2）如图2，连接，若，，则　　． 【解答】解：（1）添加一个适当的条件：， 理由：如图1， ， ， 在与中， ， ； 故答案为：； （2）如图2，连接， ， 即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ． 解法， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. （2023春•榕城区期末）如图（1），与相交于点，，，，点从点出发，沿的路径以的速度运动；点从点出发，沿的方向以的速度运动．、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为． （1）求证：； （2）用含的式子表示线段的长； （3）连接，当线段经过点时（如图，求的值． 【解答】（1）证明：在和中， ， ， ， ； （2）解：当时， ， 当时， ， 则． 综上所述，线段的长为或； （3）解：由（1）得：，， 在和中， ， ， ， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：． 综上所述，当线段经过点时，的值为或． 13. （2022秋•吴川市期末）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）求证：． （2）写出线段的长（用含的式子表示）． （3）连接，当线段经过点时，求的值． 【解答】（1）证明：在和中， ， ， ， ； （2）解：当时，， 当时，， ， 线段的长为或； （3）解：根据题意得， 则， 由（1）得：，， 在和中， ， ， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点时，的值为或8． 14. （2023春•梅州期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　20　，　　； （2）若，试说明； （3）在点的运动过程中，的形状可以是以为腰的等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ， 故答案为：20；62； （2）当时，， 理由：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ①当时，， 此时，点与点重合，不合题意； ②当时，， ； 综上所述，当的度数为时，的形状是等腰三角形． 全等三角形的应用 1. （2023春•龙岗区期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，， ， ． ， 在和中， ， ， ，， 、分别为和， ， ， ， 答：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的． 故选：． 2. （2023春•大埔县校级期末）生活中的数学： （1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何知识是 　三角形的稳定性　； （2）如图2，把小河里的水引到田地处，若要使水沟最短，则过点向河岸作垂线，垂足为点，沿挖水沟即可，这里所运用的几何知识是 　　； （3）如图3，要测量池塘沿岸上两点、之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，点是线段的中点，要想知道、之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【解答】解：（1）一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性； （2）把小河里的水引到田地处，若使水沟最短，则过点向河岸作垂线，垂足为点，沿挖水沟即可，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短； （3）这样做合适， 理由：， ，， 在与中， ， ， ． 直角三角形的性质 1. （2023春•普宁市期末）如图，在直角三角形中，，，，．则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，（已知） （两直线平行，同旁内角互补）． ，， ， 在中，， ． 故选：． 作图—基本作图 1. （2023春•福田区校级期末）如图，直线，直线分别与，相交于点，．小宇用尺规作图法按以下步骤作图： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点； ②分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， ， ， 由作图可得，平分， ， 故选：． 2. （2023春•梅江区期末）如图，中，，，垂足为． （1）求作的平分线，分别交，于，两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）证明． 【解答】（1）解：如图所示，为所求作； （2）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$