单元提分专题10 期末压轴题精选反比例函数-2023-2024学年八年级数学下册单元测试定心卷（苏科版）

2023-2024学年八年级数学下册期末复习压轴题精选 反比例函数 1．如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，点是线段上一点，点的横坐标为，过点作轴的平行线与该反比例函数的图像交于点，与轴交于点，连接、．    (1)一次函数表达式为___________；反比例函数表达式为___________； (2)在线段上是否存在点，使点到的距离等于它到轴的距离？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点的对应点恰好落在该反比例函数图像上（如图），求出点、的坐标； ②如图，在平移过程中，射线与轴交于点，点是平面内任意一点，若以、、﹑为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 2．如图，反比例函数图像与一次函数图像相交于A，B两点，A点坐标为，点C是反比例函数图像上一点（不与点B重合，且点C在点B的左侧），点C的横坐标为m．    (1)______，______，点B的坐标为（______，______）； (2)若，连接AC，BC，求的面积； (3)连接，与x轴相交于点E，连接．求证：． (4)在（3）的条件下，点D是反比例函数图像上另外一点（不与点B重合，且点D在点B的右侧），连接，若，求的度数．（直接写出答案） 3．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的两倍的凸四边形叫做倍角梯形． 如图1，直线，点、在直线上，点、在直线上，若， 则四边形是倍角梯形．    (1)如图2，点是的边上一点，，，．若四边形是倍角梯形，则的长是___________； (2)如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是倍角梯形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，直接写出的值． 4．如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，    (1)求反比例函数的关系式； (2)根据图像，当时x的取值范围为：______； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； (4)若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标：______． 5．如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．    (1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为． 请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形； (2)求直线，曲线的函数表达式； (3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________． 6．如图，点为反比例函数的图像上一点，且点的横坐标为，过点作轴、轴的平行线，分别交反比例函数的图像于、，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于，连接．    (1)当时，求线段的长； (2)若； ①若，求的值； ②求的值； (3)当的值一定时，四边形的面积是否随的变化而变化？若不变，请用含的代数式表示四边形的面积；若变化，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点A的“倒数点”． (1)写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标________________________； (2)点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式； (3)如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．      8．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形． (1)如图2，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，∠A=60°，AB＝2，AE＝4．若四边形ABCE为半对角四边形，求平行四边形ABCD的面积： (2)如图3，以ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE＋CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当AB＝AE＝4，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C． (1)求点A和点C的坐标； (2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值； (3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，在菱形中，对角线、相交于点，顶点、在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，轴． (1)若，，则菱形的面积为______； (2)①当点、在坐标轴上时，求的值． ②如图2，当点、、三点在同一直线上时，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 11．如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图像上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求P的坐标； (3)如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，PQ与GA的延长线交于点H； ①若，求点H的坐标； ②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 12．我们研究反比例函数图像平移后的性质．初步探究 (1)将反比例函数的图像向左平移一个单位，可以得到函数的图像（如图① ），观察图像，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①该函数图像与y轴的交点坐标是（0，4）；（    ） ②该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，0）；（    ） ③当x<0时，y随x的增大而减小．（    ） (2)在图② 中画出函数的图像，根据图像写出其两条不同类型的性质； (3)问题解决：若函数的图像可以由函数的图像通过平移得到，求m的值； (4)深入思考：当a>0时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系． 13．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点． (1)求的值； (2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标． 14．如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线的图象经过点A． (1)菱形OABC的边长为 ； (2)求双曲线的函数关系式； (3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标； ②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标． 15．在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点” （1）若，则点的“影射点”的坐标是_________；点的“影射点”的坐标是_________； （2）若点在一次函数的图像上，其“影射点”在一次函数的图像上，则的值是________； （3）如图，已知点是点的“影射点"，点是反比例函数图像上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求的值． 16．探究函数的图象与性质 （1）函数的自变量的取值范围是 ； （2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是 ； （3）对于函数，求当时，的取值范围． 请将下面求解此问题的过程补充完整： 解：∵， ∴ ． ∵， ∴的取值范围为 ． 【拓展应用】 （4）若函数，当时，求的取值范围． 17．如图1，在平行四边形ABCD中，ADx轴，AD＝7，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（﹣3，3），反比例函数在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D． （1）D点坐标为　 　，k＝　 　． （2）①平行四边形ABCD的顶点B是否在反比例函数的图象上？为什么？ ②如图2，连接BD并延长，设直线BD解析式为，根据图象直接写出不等式的x的取值范围； （3）是否存在两点P、Q分别在反比例函数图象的两支上，使得四边形AQCP是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标．    18．如图①，在平面直角坐标系中，是函数的图像上一点，是y轴上一动点，四边形ABPQ是正方形（点A．B．P．Q按顺时针方向排列）． （1）求a的值； （2）如图②，当时，求点P的坐标； （3）若点P也在函数的图像上，求b的值； （4）设正方形ABPQ的中心为M，点N是函数的图像上一点，判断以点P．Q．M．N为顶点的四边形能否是正方形，如果能，请直接写出b的值，如果不能，请说明理由．    图①        图②         备用图 19．已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A，B，点C是直线y＝2x上的一点． （1）点A的坐标为（　 　，　 　），点B的坐标为（　 　，　 　）；（用含m的代数式表示） （2）在点P运动的过程中，连接AB，证明：△PAB的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）在点P运动的过程中，以点P，A，B，C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时m的值；若不能，请说明理由． 20．阅读理解： 如图①，在平面直角坐标系中，若已知点A（xA，yA）和点C（xC，yC），点M为线段AC的中点，利用三角形全等的知识，有△AMP≌△CMQ，则有PM=MQ，PA=QC，即xM﹣xA=xC﹣xM，yA﹣yM=yM﹣yC，从而有，即中点M的坐标为（，）． 基本知识： （1）如图①，若A、C点的坐标分别A（﹣1，3）、C（3，﹣1），求AC中点M的坐标； 方法提炼： （2）如图②，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣1，5）、（﹣2，2）、（3，3），求点D的坐标； （3）如图③，点A是反比例函数y=（x＞0）上的动点，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交函数y═（x＞0）的图象于点B、C，点D是直线y=2x上的动点，请探索在点A运动过程中，以A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级数学下册期末复习压轴题精选 反比例函数 1．如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，点是线段上一点，点的横坐标为，过点作轴的平行线与该反比例函数的图像交于点，与轴交于点，连接、．    (1)一次函数表达式为___________；反比例函数表达式为___________； (2)在线段上是否存在点，使点到的距离等于它到轴的距离？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点的对应点恰好落在该反比例函数图像上（如图），求出点、的坐标； ②如图，在平移过程中，射线与轴交于点，点是平面内任意一点，若以、、﹑为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点坐标为； (3)①点,点；②点的坐标为或或． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）设点，根据的面积列方程，求解即可； （3）①连接，根据平行线的性质，可得直线的解析式，联立直线解析式与反比例函数解析式，求出点坐标，根据平移的性质进一步即可求出点坐标； ②根据平移的性质，先求出直线的解析式，表示出的坐标，可得，以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：当为边时，当、为边时，当、为边时，分别列方程，求解即可． 【解析】（1）解：将点代入一次函数， 得， 解得， 一次函数的表达式：， 将点代入反比例函数， 得， 反比例函数表达式：， 故答案为：； （2）解：点的横坐标为，过点作轴的平行线与该反比例函数的图像交于点， 点，点， ， 设点， 点到的距离等于它到轴的距离， ， 解得， 点坐标为； （3）解：①连接，如图所示：    根据平移的性质可得， 直线的解析式：， 联立， 解得或（不合题意，舍去）， 点， 根据平移的性质，可得点； ②点， 设直线的解析式：， 代入点， 得， 解得， 直线的解析式：， 根据平移，可得， 设直线的表达式为， 直线的解析式为， 设平移后的点为，则点， 将点坐标代入， 得， 解得， 直线的表达式为：， 当时，， 点， ， 以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论： 当为边时，， 解得或（舍去）， 点， 当、为边时，， 解得， 点； 当、为边时，， 解得（舍或， 点， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，等积法，平移的性质，菱形的判定等，本题综合性较强，计算量较大． 2．如图，反比例函数图像与一次函数图像相交于A，B两点，A点坐标为，点C是反比例函数图像上一点（不与点B重合，且点C在点B的左侧），点C的横坐标为m．    (1)______，______，点B的坐标为（______，______）； (2)若，连接AC，BC，求的面积； (3)连接，与x轴相交于点E，连接．求证：． (4)在（3）的条件下，点D是反比例函数图像上另外一点（不与点B重合，且点D在点B的右侧），连接，若，求的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)3， 9， (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）把A坐标代入即可求出a，然后把A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，联立两个函数求出交点坐标，即可得出点B坐标； （2）先求解析式，再求出与x轴交点坐标，利用，即可求出面积； （3）分别求出和的解析式，再求出两个解析式与x轴的交点，得出为垂直平分线，进而求出，再根据三角形外角知识即可得出结论； （4）画出图形，求的度数，再根据三角形内角和定理求出． 【解析】（1）解：∵一次函数图像经过， ∴，则， ∵经过， ∴， ∵反比例函数图象与一次函数图象相交于A，B两点， ∴， 解得：， ∴， 故答案为∶ ， 9，； （2）如图，    ∵点C的横坐标为m，且点C是反比例函数图象上一点， 当时，则， ∵， 设直线的解析式为∶ ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为∶ ， 令，则， 设交y轴于E点， ∴， ∴， ∵ ，， ∴轴，且， ∵，， ∴， ∴ （3）如图，连接，与x轴相交于点E，    ∵，， ∴直线的解析式为， ∴设， ∵，， ∴直线解析式为∶ ， 设交x轴于F， ∴， 作垂直于x轴交x轴于点H，则， ∴， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （4），理由如下： 如图，连接，交x轴于M，交y轴于N，    由(3)可得∶ 设点D坐标为根据 （3）中的理由可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设交x轴于M，交y轴于N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的知识、一次函数的知识、垂直平分线的知识、三角形内角和的知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 3．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的两倍的凸四边形叫做倍角梯形． 如图1，直线，点、在直线上，点、在直线上，若， 则四边形是倍角梯形．    (1)如图2，点是的边上一点，，，．若四边形是倍角梯形，则的长是___________； (2)如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是倍角梯形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，直接写出的值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据倍角梯形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，； （2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合倍角梯形的定义即可证出四边形是倍角梯形； （3）由平行四边形的性质结合，可得出点，，的坐标；四边形向左平移个单位后，用含的代数式表示出平移后点，，的坐标，分点，落在反比例函数图象上及点，落在反比例函数图象上两种情况考虑，根据反比例函数图象上点的坐标特征：横坐标纵坐标，可得出关于的一元一次方程，求出的值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出的值即可． 【解析】（1）解：点是的边上一点，，，，四边形是倍角梯形， ， ， ， ， ， 故答案为：5； （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形是倍角梯形； （3）解：在（2）的条件下，，， ，点的横坐标，点的横坐标， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；四边形向左平移个单位后，点的坐标变为，点的坐标变为，点的坐标变为， 情况一：当四边形向左平移个单位后，点，落在反比例函数的图象上时，， 解得：， ； 情况二：当四边形向左平移个单位后，点，落在反比例函数的图象上时，， 解得：， ， 综上所述：的值为为或． 【点睛】本题考查了直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，熟练运用知识点、数形结合是解题的关键． 4．如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，    (1)求反比例函数的关系式； (2)根据图像，当时x的取值范围为：______； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； (4)若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标：______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）先把点代入中求出a得到，然后把A点坐标代入中求出k，即可得到反比例函数的表达式； （2）根据图象得出取值范围即可； （3）连接，，设直线与x轴交于点C，由，又，得，设，则，所以，求解即可． （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【解析】（1）解：把点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得， ∴ 由（1）知，， 根据图象可知，当时，或， ∴当时，x的取值范围为或； （3）解：连接，，设直线与x轴交于点C，如图，    ∵， 又∵， ∴ 设，则， ∴ 解得：或， ∴或． （4）解：设， 当时，如图，    ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴，此时与点A重合，不是平行四边形，故舍去； 当时，连接交于D，如图，    ∵ ∴点D是与的中点， ∴ 解得：， ∴， 当时，过Q作于N，过点B作于D，过点A作于S，如图，    ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ 综上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时， Q点的坐标为或． 【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题，平行四边形的性质，此题属反比例一次函数、几何图形综合题目，综合性较强，熟练掌握反比例函数图象性质、一次函数图象性质，平行四边形性质是解题的关键． 5．如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．    (1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为． 请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形； (2)求直线，曲线的函数表达式； (3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________． 【答案】(1)见解析 (2)直线的函数表达式，曲线的函数表达式 (3) 【分析】（1）根据A的坐标为，点B的坐标为补全平面直角坐标系，根据，， ，点C到，所在直线的距离分别为2，4，，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分画图； （2）设线段的解析式为，把，代入，得到k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，即得线段的解析式；再设曲线的解析式为，把代入，得到方程，解方程得到的值，即得曲线的解析式； （3）设，根据轴，，点P在上，点Q在上，用m的表达式写出点P、Q的坐标，得到线段、的长的表达式，根据建立方程，解方程得到m的值，即可求出的长． 【解析】（1）根据点A的坐标为，点B的坐标为，补全x轴和y轴， ∵，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4， ∴，， 根据，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分，画出图形ABCDE，如图所示，    （2）设线段的解析式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴， 设曲线的解析式为， 把代入得，，， ∴； （3）设，则，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，或（舍去）， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了补全平面直角坐标系，画图形，一次函数，反比例函数，矩形面积，解决问题的关键是熟练掌握依照点的坐标补全平面直角坐标系，画出坐标系中的图形，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数性质，根据点坐标写线段长的表达式，运用矩形面积公式列方程解方程． 6．如图，点为反比例函数的图像上一点，且点的横坐标为，过点作轴、轴的平行线，分别交反比例函数的图像于、，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于，连接．    (1)当时，求线段的长； (2)若； ①若，求的值； ②求的值； (3)当的值一定时，四边形的面积是否随的变化而变化？若不变，请用含的代数式表示四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)不变， 【分析】（1）先求出点坐标，根据题意，求出点的坐标，即可得解； （2）①设则：，得到，根据，进行求解即可；②分别表示出点的坐标，求出的长，即可得出的值； （3）利用四边形的面积等于，进行求解判断即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵轴，轴，点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∴； （2）①设 ∵， ∴， ∵点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵在的图象上， ∴ 由题意得：，，，， ∴，， ∴； （3）不变； 由（2）②知：，，， ∴，， ∴四边形的面积等于 ． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用．熟练掌握反比例函数上的点的特征，以及平行于坐标轴的直线上的点的特征，是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点A的“倒数点”． (1)写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标________________________； (2)点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式； (3)如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．      【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】（1）利用“倒数点”的概念，可得，，即可解答； （2）设点，故可求得点的坐标，即可得到点Q满足的函数表达式； （3）分类讨论，即：①点在上时；②点在上时，利用矩形的性质，分别求出点的坐标，再分别求出的面积即可． 【解析】（1）解：由题意可得，， 解得， 在第一象限， ， 同理可得， 故平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设点， 根据题意可得点， 观察可得， 故点在反比例函数上，且， 点P的“倒数点”Q满足的函数表达式为； （3）解：设且， 根据题意可得， 观察可得， 结合（2）可得点在反比例函数上， 故点不能在和上， ①当点在上时， 四边形是矩形， ， 点B与点A的纵坐标相同，可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， ； ②当点在上时， 四边形是矩形， ， 可得的横坐标为4，可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， ， 综上所述，的面积为2或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征，新定义的阅读能力，三角形面积的求法，坐标与图形、矩形的性质，分式方程的应用，理解题意是解题的关键． 8．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形． (1)如图2，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，∠A=60°，AB＝2，AE＝4．若四边形ABCE为半对角四边形，求平行四边形ABCD的面积： (2)如图3，以ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE＋CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当AB＝AE＝4，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值． 【答案】(1)． (2)见解析． (3)或． 【分析】（1）根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，过点作的垂线交于，利用勾股定理求出，从而求出平行四边形的面积； （2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形是半对角四边形； （3）由平行四边形的性质结合，可得出点，，的坐标，分点，落在反比例函数图象上及点，落在反比例函数图象上两种情况考虑：利用平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出值；同可求出值．综上，此题得解． 【解析】（1）解：四边形为半对角四边形， ， ， ， ， 过点作的垂线交于，如下图： ， ， ， ， 由勾股定理得：， ． （2）证明四边形为平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形是半对角四边形； （3）解：由题意，可知：点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，． 当点，向左平移个单位后落在反比例函数的图象上时，， 解得：， ； 当点，向左平移个单位后落在反比例函数的图象上时，， 解得：， ． 综上所述：的值为为或． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出；（2）利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出；（3）分点，落在反比例函数图象上和点，落在反比例函数图象上两种情况，求出的值． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C． (1)求点A和点C的坐标； (2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值； (3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A（1，0），C（3，-4） (2)t=2s (3)存在，点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）． 【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于点H，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH=AO=1，CH=BO，设OB=a，则OH=a+1，从而得出点C的坐标，代入直线解析式即可； （2）根据平移的性质表示出D、F的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标的特征得出方程即可； （3）由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），根据对角线进行分类，利用两点之间的距离公式列出方程，解方程可得答案． 【解析】（1）解：∵y=-2x+2与x轴交于点A， ∴0=-2x+2，得x=1， ∴点A（1，0）； 过点C作CH⊥y轴于点H， ∴∠CHB=∠BOA=90°， ∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B， ∴∠BAC=45°， 又∵BC⊥AB， ∴∠BAC=∠ACB=45°， ∴AB=BC， ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠CBH=90°， ∴∠OAB=∠CBH， 在△AOB和△BHC中， ∴△AOB≌△BHC（AAS）， ∴BH=AO=1，CH=BO， 设OB=a，则OH=a+1， ∴点C（a，-a-1）， ∵点C在直线l上， ∴-a-1=-2a+2， ∴a=3， ∴C（3，-4）； （2）解：将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒， A（1，0），B（0，-3），C（3，-4）， ∴点D（1，3t），点E（0，-3+3t），点F（3，-4+3t）， ∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上， ∴1×3t=3×（-4+3t）， ∴t=2； （3）解：由（2）知E（0，3），F（3，2）， 设P（b，0）， 则，，， 当EF为对角线时，则PE=PF，即， ∴， 解得：b=， ∴P（，0）， 点P（，0）向左平移个单位、向上平移3个单位到E（0，3）， ∴点F（3，2）向左平移个单位、向上平移3个单位到Q（3-，2+3）， ∴Q（，5）； 当EP为对角线时，则EF=PF，即， ∴， 解得：b=+3或+3， ∴P（+3，0）或（+3，0）， 当P（+3，0）时，同理得Q（，1）； 当P（+3，0）时，同理得Q（，1）； 当EQ为对角线时，则EF=PF，即， ∴， 解得：b=1或-1， ∴P（1，0）或（-1，0）， 当P（1，0）时，同理得Q（4，-1）； 当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）； 综上所述：点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，菱形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键． 10．如图1，在菱形中，对角线、相交于点，顶点、在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，轴． (1)若，，则菱形的面积为______； (2)①当点、在坐标轴上时，求的值． ②如图2，当点、、三点在同一直线上时，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)9； (2)①；②是，的值为 【分析】（1）设点的横坐标为，则，由题意可知，轴，则，，．所以，，由菱形的性质可知，，，所以． （2）①由题意可知，点在轴上，点在轴上，设点的横坐标为，则，同上可知轴，所以，，．因为点是的中点，，，．由点，在坐标轴上，建立方程即可得出结论； ②设点的横坐标为，则，同上可知，，，．，，．设直线所在的直线为，利用待定系数法可求出．所以直线的解析式为：．因为点，，三点共线，所以将点的坐标代入可得，整理该等式即可得出结论． 【解析】（1）解：设点的横坐标为，则， 轴，， 轴， ，，． ，， ，， ． 故答案为：9． （2）解：①由题意可知，点在轴上，点在轴上， 设点的横坐标为，则， 轴，， 轴， ，，． 点是的中点， ，，，即，，． 点在轴上，点在轴上， 且， ； ②是，理由如下： 设点的横坐标为，则， 轴，， 轴， ，，． ，，，即，，． 设直线所在的直线为， ，即． 直线的解析式为：． 点，，三点共线， ，整理得或1（舍． 综上，的值为． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合题，待定系数法求函数解析式，菱形的性质，中点坐标公式等知识，解题的关键是设出关键点的坐标，利用菱形的性质去表达，，，的坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图像上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求P的坐标； (3)如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，PQ与GA的延长线交于点H； ①若，求点H的坐标； ②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为（1，2）或 (3)①点H（0，5）；②（a+2）（b-4）=2，为定值． 【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，根据旋转的性质易证△AHO≌△OCB（AAS），根据全等三角形的性质可得点B坐标，进一步即可求出反比例函数解析式； （2）设点P坐标为（p，），表示出△POC的面积，当点P在点B左侧的双曲线上，当点P在点B右侧的双曲线上，分别表示出△PBC的面积，根据S△POC=4S△PBC，列方程，求解即可； （3）①先求出点P坐标，进一步求出点G和点Q坐标，待定系数法求直线AG和直线PQ的解析式，联立两直线解析式即可求出交点H的坐标； ②先待定系数法求出直线AG和直线PQ的解析式，联立两解析式求出交点H的坐标，可得a=m-2，b=n+4，进一步即可求出（a+2）（b-4）的值． 【解析】（1）解：过点A作AH⊥x轴于点H，如图所示： 则∠AHO=90°， ∴∠HAO+∠AOH=90°， ∵BC⊥x轴， ∴∠BCO=90°， ∴∠AHO=∠BCO， ∵点A（-1，2）绕原点顺时针旋转90°至点B， ∴AO=BO，∠AOB=90°，AH=2，OH=1， ∴∠AOH+∠BOC=90°， ∴∠HAO=∠BOC， ∴△AHO≌△OCB（AAS）， ∴OC=AH=2，BC=OH=1， ∴点B坐标为（2，1）， 将点B坐标代入反比例函数， 得k=2×1=2， ∴反比例函数解析式：； （2）设点P坐标为（p，）， 则S△POC＝×2×=， 当点P在点B左侧的双曲线上， S△PBC＝×1×(2−p)， ∵S△POC=4S△PBC， ∴=4×， 解得p1=p2=1， ∴点P坐标为（1，2）； 当点P在点B右侧的双曲线上， S△PBC＝×1×(p−2)= ， ∵S△POC=4S△PBC， ∴=4×， 解得（不符合题意，舍去）， ∴点P坐标为， ∴符合条件的点P坐标为（1，2）或； （3）①当m=2时， 根据题意，可得mn=2， 即2n=2， ∴n=1， ∴点P坐标为（2，1），点G坐标为（-2，-1），点Q坐标为（1，3）， 设直线GA的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将点A和点G坐标代入解析式， 得， 解得， ∴直线AG的解析式为y=3x+5， 设直线PQ的解析式为， 将点P和点Q坐标代入解析式， 得， 解得， ∴直线PQ的解析式为y=-2x+5， 联立， 解得， ∴点H坐标为（0，5）； ②（a+2）（b-4）是定值， ∵P（m，n），G（-m，-n），A（-1，2），Q（m-1，n+2）， 设直线AG的解析式为y=dx+c（d≠0）， 代入点A和点G的坐标，得， 解得， ∴直线AG的解析式为， 设直线PQ的解析式为y=ex+f（e≠0）， 代入点P和点Q坐标，得， 解得， ∴直线PQ的解析式为y=-2x+2m+n， 联立， 解得， ∴点H（m-2，n+4）， ∵记H的坐标为（a，b）， ∴a=m-2，b=n+4， ∴（a+2）（b-4）=mn， ∵点P（m，n）是第一象限内双曲线上一动点， ∴mn=2， ∴（a+2）（b-4）=2． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，全等三角形的性质和判定，一次函数的交点，旋转的性质，三角形的面积，定值问题等，本题综合性较强，难度较大． 12．我们研究反比例函数图像平移后的性质．初步探究 (1)将反比例函数的图像向左平移一个单位，可以得到函数的图像（如图① ），观察图像，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①该函数图像与y轴的交点坐标是（0，4）；（    ） ②该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，0）；（    ） ③当x<0时，y随x的增大而减小．（    ） (2)在图② 中画出函数的图像，根据图像写出其两条不同类型的性质； (3)问题解决：若函数的图像可以由函数的图像通过平移得到，求m的值； (4)深入思考：当a>0时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系． 【答案】(1)①对；②对；③错 (2)图见解析，性质见解析 (3)m＝6 (4)a－b＋k＝0 【分析】（1）通过观察图象，分析图象性质即可判断是否正确； （2）利用5点作图法在坐标轴上描点即可作图； （3）通过化简运算，结合题意，即可求m的值； （3）由反比例函数无解时的性质，即可写出a，b，k满足的数量关系． 【解析】（1）观察图可得，该函数图象与y轴的交点坐标是（0，4），故①√； 该函数是反比例函数，是中心对称图形，对称中心易知是（-1，0），故②√； 当-1＜x＜0时，y随x的增大而减小，当x＜-1，y随x的增大而减小，但并不连续区间，故不为单调递减，③错误； 故答案为：①√；②√；③×； （2）函数图像如图所示． 两条不同类型的性质是： 例如： ① 当x<－1时，y随x的四大而被小，当x>－1时，y随x的增大而减小； ② 无论x取何值，图数值不等于－1； ③ 该图数图像与y轴的交点坐标是（0，3）； ④该图数图像与x轴的交点坐标是（3，0）； ⑤该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，－1）； ⑥ 该函数图像是轴对称图形，对称轴是直线y＝x和y＝－x－2． （3）； 根据题意，得m－2＝4， 解得m＝6． （4）， ， ， ∵对于任意k，方程均无解，当x=-1时分式无意义， ∴a+k-b=0 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质；正确作图、理解题意、综合分析是本题解题的关键． 13．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点． (1)求的值； (2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)或或 【分析】（1）过点D作DM⊥y轴于点M，根据ED=EA，△EDM≌△EAO，得到AO=DM=1，从而得到D（1，k），是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），根据反比例函数的性质，得到k=2(-2+k)，求解即可． （2）根据（1）可确定点C（2，2），确定直线BC解析式为y=2x-2，从而确定点F（1，0）， 过点F作FH⊥MN于点H，根据FM=FN，得到MH=HN即，设点G（0，t），则，构造等式，求解即可． （3）根据点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），运用平移思想，分A平移得到Q和A平移得到P两种情形计算即可． 【解析】（1）如图1，过点D作DM⊥y轴于点M， ∵A（-1，0）， ∴ OA=1． ∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO， ∴ △EDM≌△EAO， ∴AO=DM=1， ∵点D在第一象限，且在反比例函数上， ∴D（1，k）． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ D（1，k）是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到， ∴ 将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k）， ∴k=2(-2+k)， 解得k=4． （2）如图2，连接FM、FN． 根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2）， ∴设直线BC的解析式为y=kx-2， ∴2=2k-2， 解得k=2， ∴直线BC解析式为y=2x-2， ∴2x-2=0， 解得x=1， ∴点F（1，0）， 过点F作FH⊥MN于点H， ∴H的横坐标为1，, 根据FM=FN， ∴MH=HN即， 设点G（0，t），则， ∴， ∴， 解得t=， 故点G坐标为（0，）． （3）∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，）， ∵四边形ABPQ是平行四边形， ∴平行四边形的对边平行且相等， 当A平移得到Q时， ∵点A（-1，0），Q（0，n）， ∴点A向右平移1个单位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示， ∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得到P， ∵B（0，-2）， ∴点P（1，-2+n）， ∵P在反比例函数上， ∴1×（-2+n）=4， 解得n=6， 此时点Q(0，6)； 当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示， ∴点B向右平移1个单位，向下平移|n|个单位得到P， ∵B（0，-2）， ∴点P（1，-2+|n|）， ∵P在反比例函数上， ∴1×（-2+|n|）=4， 解得n=-6，n=6(舍去)， 此时点Q(0，-6)； 当A平移得到P时， ∵点A（-1，0）平移得到P（m，），则B（0，-2）平移得到Q（0，n）， ∴m=-1， 故点P（-1，-4）， 即点A向下平移4个单位， 当点B向下平移4个单位，得到（0，-6），当点B向上平移4个单位，得到（0，2）， 如图5所示，此时点Q(0，-6)或（0，2） 综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-6）或（0，2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数的解析式和性质，分类思想，平移思想，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质，平行四边形的性质，平移思想是解题的关键． 14．如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线的图象经过点A． (1)菱形OABC的边长为 ； (2)求双曲线的函数关系式； (3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标； ②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)①当E点坐标为（，15）或（4，-3）或（，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；②点Q的坐标为（5，） 【分析】（1）如图所示，连接AC交y轴于J，根据菱形的性质可得AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，由点C的坐标为（4，3），得到AJ=JC=4，OJ=BJ=3，则； （2）先求出A点坐标，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （3）①分AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可；②过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，先求出AT=9，然后证明△APT≌△QRA得到AT=RQ=9，则Q点的横坐标为5，由此求解即可． 【解析】（1）解：如图所示，连接AC交y轴于J， ∵四边形OABC是菱形， ∴AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ， ∵点C的坐标为（4，3）， ∴AJ=JC=4，OJ=BJ=3， ∴， 故答案为：5； （2）/p> 解：∵AJ=JC=4，OJ=BJ=3， ∴点A的坐标为（-4，3）， ∵反比例函数经过点A（-4，3）， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （3）解：①设E点坐标为（m，）， ∵OJ=BJ=3， ∴OB=6， ∴B点坐标为（0，6）， ∴D点坐标为（0，-6）， ∴直线l为， 设P点坐标为（a，-6） 当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时， ∵线段AB与线段PE的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点E的坐标为（，15）； 如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时， ∵与的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴的坐标为（4，-3）； 同理可以求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时，点的坐标为（，-9）； 综上所述，当E点坐标为（，15）或（4，-3）或（，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形； ②如图所示，过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R， ∵点A的坐标为（-4，3），直线l为， ∴AT=9， ∵∠ATP=∠QRA=∠PAQ=90°， ∴∠PAT+∠APT=90°，∠PAT+∠QAR=90°， ∴∠APT=∠QAR， 又∵AP=QA， ∴△APT≌△QRA（AAS）， ∴AT=RQ=9， ∴Q点的横坐标为5， ∵Q在反比例函数上， ∴， ∴点Q的坐标为（5，）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． 15．在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点” （1）若，则点的“影射点”的坐标是_________；点的“影射点”的坐标是_________； （2）若点在一次函数的图像上，其“影射点”在一次函数的图像上，则的值是________； （3）如图，已知点是点的“影射点"，点是反比例函数图像上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求的值． 【答案】（1）；；（2）1；（3）或． 【分析】（1）根据“影射点”的定义，将，绕点旋转180°，根据中心对称即可求得； （2）根据定义，是轴上的点，先确定直线与轴的交点，根据交点互为“影射点”即可求得； （3）根据点是点的“影射点"，是以为直角边的等腰直角三角形，再根据点是反比例函数图像上一点，分类讨论①如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为，证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得，②同①的方法，如图，当时，过点作轴，分别过向作垂线，垂足为，先求得点的坐标，进而证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得． 【解析】（1）设的坐标是的坐标是， ，绕点旋转180°， ， ，， ， ；， 故答案为：；， （2）根据定义，是轴上的点，设， 点在一次函数，令，得,则与轴的交点为， 其“影射点”在一次函数，令，得，则与轴的交点为， ， 解得：， 故答案为：1， （3）①如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在上， ， 解得 或者， ， ， ， ， ②如图，当时，过点作轴，分别过向作垂线，垂足为， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 解得：， ， ，， 即， ， 在上， ， 解得 ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，中点坐标，一次函数与坐标轴交点问题，反比例函数的定义，三角形全等的性质与判定，求一个数的平方根，理解题意，数形结合，分类讨论是解题的关键． 16．探究函数的图象与性质 （1）函数的自变量的取值范围是 ； （2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是 ； （3）对于函数，求当时，的取值范围． 请将下面求解此问题的过程补充完整： 解：∵， ∴ ． ∵， ∴的取值范围为 ． 【拓展应用】 （4）若函数，当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）C；（3）6，；（4）． 【分析】（1）根据分母不为0即可得出结果； （2）根据自变量的取值范围和特殊值法排除错误选项即可； （3）根据完全平方公式进行等价变形，再根据非负数的性质进行判断即可； （4）模仿（3）中的解题过程即可． 【解析】解：（1）∵自变量x在分母的位置， ∴函数的自变量的取值范围是． 故答案为：． （2）∵函数的自变量的取值范围是， ∴排除A选项． 当x>0时，，所以，所以排除B，D选项． 故选：C． （3）∵， ∴． ∵， ∴的取值范围为． 故答案为：6；． （4）． ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数图象，反比例函数和一次函数知识的迁移，正确理解题意是解题关键， 17．如图1，在平行四边形ABCD中，ADx轴，AD＝7，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（﹣3，3），反比例函数在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D． （1）D点坐标为　 　，k＝　 　． （2）①平行四边形ABCD的顶点B是否在反比例函数的图象上？为什么？ ②如图2，连接BD并延长，设直线BD解析式为，根据图象直接写出不等式的x的取值范围； （3）是否存在两点P、Q分别在反比例函数图象的两支上，使得四边形AQCP是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标．    【答案】（1）；（2）①是，理由见解析；②或；（3）存在， 【分析】（1）利用平行于轴的直线纵坐标相等，再用距离即可确定出点的坐标，最后用待定系数法即可求出； （2）①利用平行四边形的性质得出点的坐标，即可判断点是否在双曲线上； ②利用图象直接求出即可； （3）利用菱形的性质得出直线的解析式，利用点，在双曲线上即可求出点，的坐标． 【解析】解：∵AD∥x轴，AD＝7，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（﹣3，3）， ∴D（4，3）， ∵点D在双曲线上， ∴k＝4×3＝12， 故答案为（4，3），12； （2）①平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图形上， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形，且原点是对角线AC的中点， ∴点B于点D关于原点对称， ∴B（﹣4，﹣3）， 当x＝﹣4时，y＝， ∴平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图形上； ②∵B（﹣4，﹣3），D（4，3）， ∴由图象知，0＜x＜4或x＜﹣4 （3）存在， 理由：如图，    ∵四边形AQCP是菱形， ∴AC⊥PQ， ∴直线PQ为第一、三象限的角平分线， ∴直线PQ的解析式为y＝x， ∴x＝±2， ∴P（2，2），Q（﹣2，﹣2）或P（﹣2，﹣2），Q（2，2） 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，菱形的性质，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是判断出点，关于原点对称，解（3）的关键是确定出直线的解析式． 18．如图①，在平面直角坐标系中，是函数的图像上一点，是y轴上一动点，四边形ABPQ是正方形（点A．B．P．Q按顺时针方向排列）． （1）求a的值； （2）如图②，当时，求点P的坐标； （3）若点P也在函数的图像上，求b的值； （4）设正方形ABPQ的中心为M，点N是函数的图像上一点，判断以点P．Q．M．N为顶点的四边形能否是正方形，如果能，请直接写出b的值，如果不能，请说明理由．   图①         图②          备用图 【答案】（1）；（2）P的坐标为.（3）或（4）或. 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）如图②中，作PE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）如图③中，作AF⊥OB于F，PE⊥OB于E．利用全等三角形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法解决问题即可． （4）如图④中，当点N在反比例函数图形上时，想办法用b表示点N的坐标，利用待定系数法解决问题即可． 【解析】（1）解：把代入，得 ； （2）解：如图①，过点A作轴，垂足为M，过点P作轴，垂足为T， 即. 四边形ABPQ是正方形， ，， ， ， ， ，, A的坐标为， ，， P的坐标为. （3）解：如图② I．当时，分别过点A、P作轴、轴，垂足为、N. 与 （2）同理可证：，，， ，； II．当时，过点作轴，垂足为. 同理：，， 综上所述，点P的坐标为， 点P在反比例函数图像上， ，解得或 （4）或.    图①             图② 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 19．已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A，B，点C是直线y＝2x上的一点． （1）点A的坐标为（　 　，　 　），点B的坐标为（　 　，　 　）；（用含m的代数式表示） （2）在点P运动的过程中，连接AB，证明：△PAB的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）在点P运动的过程中，以点P，A，B，C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时m的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）m＝3、1或 【分析】(1)将点P(m，n)代入反比例函数y=(x＞0)，用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PA∥x轴，得到A点的纵坐标为，然后将点A的纵坐标带入反比例函数的解析式y=(x＞0)即可得到点A的坐标，同理得到点B的坐标； (2)根据PA=m-，PB=−=，利用S△PAB=PA•PB即可得到答案； (3)分三种情况分别画出图形，结合平行四边的性质进行讨论即可. 【解析】(1)∵点P(m，n)是反比例函数y＝(x＞0)图象上的动点， ∴n＝， ∴点P(m，)； ∵PA∥x轴， ∴A点的纵坐标为， 将点A的纵坐标代入反比例函数的解析式y＝(x＞0)得：x＝， ∴A(，)，同理可得：B(m，)； (2)∵PA＝m﹣＝，PB＝﹣＝， ∴S△PAB＝PA•PB＝××＝； (3)①若四边形PBAC为平行四边形，则有AC∥y轴， ∴C点横坐标为， 代入y＝2x得C(，m)， 此时AC＝m﹣，PB＝， 由AC＝PB，得：m﹣＝， 解得：m＝3或m＝﹣3(舍去)， ∴m＝3时，四边形PBAC为平行四边形． ②若四边形PABC为平行四边形，则有BC∥x轴， ∴C点纵坐标为， 把y＝代入y＝2x得C(，)， 此时BC＝﹣m， 由BC＝PA，得﹣m＝， 解得：m＝1或m＝﹣1(舍去)； ③若PACB为平行四边形，则有AC∥BP∥y轴， ∴点C(，)， 代入y＝2x，得＝2×， 解得m＝或m＝﹣(舍去)， 综上：m＝3、1或时，以点P，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形. 【点睛】本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键.正确地分类讨论是解(3)的关键. 20．阅读理解： 如图①，在平面直角坐标系中，若已知点A（xA，yA）和点C（xC，yC），点M为线段AC的中点，利用三角形全等的知识，有△AMP≌△CMQ，则有PM=MQ，PA=QC，即xM﹣xA=xC﹣xM，yA﹣yM=yM﹣yC，从而有，即中点M的坐标为（，）． 基本知识： （1）如图①，若A、C点的坐标分别A（﹣1，3）、C（3，﹣1），求AC中点M的坐标； 方法提炼： （2）如图②，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣1，5）、（﹣2，2）、（3，3），求点D的坐标； （3）如图③，点A是反比例函数y=（x＞0）上的动点，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交函数y═（x＞0）的图象于点B、C，点D是直线y=2x上的动点，请探索在点A运动过程中，以A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）（1，1）；（2）（4，6）；（3）点A的坐标为（2，），（，4），（2，4） 【分析】（1）根据线段的中点坐标公式，可得答案； （2）根据平行四边形的对角线互相平分，可得M是AC的中点，M是BD的中点，根据中点坐标公式，可得答案． （3）根据平行四边形对角的顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，可得点D的坐标，根据点在函数图象上，可得a的值，根据点A的坐标是（a，），可得点A的坐标． 【解析】解：（1）将A，C点的坐标代入中点坐标公式，得 xM==1，yM==1， AC中点M的坐标（1，1）； （2）连接AC，BD交于点M∵四边形ABCD是平行四边形， ∴M是AC与BD的交点， 将A（﹣1，5），C（3，3）代入， 解得， 即点M的坐标为（1，4）， 设点D的坐标为（xD，yD）， 由中点坐标公式，得 ， 解得， 即点D的坐标为（4，6）； （3）设A（a，），则B（，）C（a，）， ①当AB为对角线时，有， 即， 解得， 将D（，）代入y=2x解得a=2， A（2，）， ②当AC为对角线时，有， 即 解得 将D（a，）代入y=2x解得a=， A（，4）； ③当AD为对角线时，有 即， 解得 将D（，）代入y=2x解得a=2， A（2，4）， 综上所述：点A的坐标为（2，），（，4），（2，4）． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，解（1）的关键是利用中点坐标公式；解（2）的关键是利用平行四边形的对角线互相平分，可得M是AC的中点，M是BD的中点，又利用了中点坐标公式；解（3）的关键是利用平行四边形对角的顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等得出D点坐标，又利用了点的坐标满足函数解析式求得a的值，要分类讨论，以防遗漏． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$