方法技巧专题 等积式的证明(选用)-【名师学案】2023-2024学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

方法技巧专题 等积式的证明（选用） 专题概述 等积式的证明，在中考中常以综合题的形式呈现 (有时也出现在选择题的某一选项中).解题时先根据 比例的基本性质，把等积式化成比例式，再结合图形 证明三角形相以.常见的比例式的证明方法有以下两 大类型 类型一直接证—三点定形法 类型二间接证 解题技巧 方法1等线段代换法 “三点定形法”，即由有关线段的三个不同 解题技巧 的端，点来确定三角形的方法，具体做法有两 当“三点定形法”不能解决要证的结论，即 种：一种是“横定”，即看比例式“分子”上的两 比例式中的四条线段都在图形中的同一条直 条线段和“分母”上的两条线段能否分别组成 线上，不能组成三角形，或四条线段虽能组成 三角形：另一种是“竖定”，即看等号左右两边 两个三角形，但这两个三角形不相似，就需要 的两条线段能否分别组成一个三角形.然后证 根据已知条件找到与比例式中某条线段相等 明这两个三角形相似 的一条线段来代替这条线段.如果没有，可考 1.(2023·武汉模拟)如图，点D,E,F分别在 虑添加适当的辅助线，然后再用“三点定形法” △ABC的边上，且四边形BDEF是平行四边 确定相似三角形， 形.求证：AE·EF=EC·AD. 3.(2023·广东模拟)如图，⊙O为正△ABC的 外接圆，P为劣弧BC上任一点，CP的延长 线和AB的延长线交于点D. 求证：AC=CP·CD. 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=AC, 点E,F分别在AB,BC上，且∠EFB=∠D. (1)求证：EF·AC=CD·BE: (2)若AB=20,AD=5,BF=4,求EB的长. 37 九年级数学·下册 4.(2023·上海)如图，在梯形ABCD中，AD∥ 6.(2023·上海崇明区二模节选)如图，在平行 BC,点F,E分别在线段BC,AC上，且 四边形ABCD中，M是边DC延长线上的一 ∠FAC=∠ADE,AC=AD. 点，连接AM,与边BC交于F,与对角线BD (1)求证：DE=AF: 交于点G (2)若∠ABC=∠CDE,求证：AF=BF·CE. 求证：AG=GF·GM. 方法3等积过渡法 解题技巧 方法2等比代换法（找中间比）】 用“三点定形法”无法确定三角形，又不能 解题技巧 找到相等的线段或相等的比代换时，可考虑直 当“三点定形法”不能确定三角形，同时也 接将要证的乘积式换成与之相等的乘积式来 无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即 解答， 考虑用三组线段的比来搭桥，也就是通过对已 知条件或图形的深入分析，找到与求证结论中 7.如图，AD是△ABC的高，DE⊥AB于E, 的某个比相等的比进行代换，然后用三，点定形 DF⊥AC于F. 法确定相似三角形，通常要证明两次三角形 求证：AE·AB=AF·AC. 相似。 5.如图，△ABC中，点D,E分别在AB,AC上， DE∥BC,EF∥CD交AB于点F. 求证：DE·CD=BC·EF. 助学助餐优质高数38DEF...ABEDEF;(2)解:·四边形ABCD是正方形,..AB三AD=BC=4 :E为AD的中点,.AE-DE一 14.【问题引入】证明:.DBC=2十EBC=1十D. AD·CE;【探索应用】证明:.正方形ABCD...C=D-90”:EG1GF,..EGF 90 .EGC+ FGD=90{.又 CEG十EGC=90{$.'.CEG= FGD.又C=D$$$ 【拓展延伸】9 方法技巧专题 等积式的证明(选用) 1.证明:.BDEF,..BD/EF,DE//BF..A=CEF,AED=C..△AED ·AD//BC,. DAC=ACB..DAC=B.又:EFB=D..EBFoCAD EB 形,$AC=BC, ABC=60*= A.*'DBC=180{*- ABC-180{*}-60^=120{}:四$$ 形ABPC为O的内接四边形,:BPC+A=180{。:BPC=180*-A=180*- CP·CD,即:AC=CP·CD.4.证明:(1).:AD//BC,.. DAE=ACF.又:'FAC ADE,AC-AD,:.△DAE△ACF(ASA).'DE=AF; (2):△DAE△ACF. 'AFC- DEA..180{- AFC-180{-DEA,即AFB=CED..ABC 6.证明:·四边形ABCD是平行四边形,.'.AB/ DM,AD/BC,.1-2,3=M,4=5,6=7.$$ 7.证明::AD是△ABC的高, DEAB,.AED= ADB= ADC-90”..BAD= EAD. AB-AF·AC. 进阶测评(二)(27.1~27.2.1) 11.解:.DE/BC 10 这个攀登架的顶部A.12.(1)证明:.AC|AD,ED|AD,.'A=D-90{*}'C十 ABC=90:BC BE,.ABC十EBD=90”'C=EBD..△ABC△DEB; △CBD;(2)解::△ACD△CBD,'A-BCD.在△ACD中,ADC=90”.A十 ACD=90*.BCD+ACD=90{},即 ACB=90*}14.3或4.8 15.(1)证明:连接 OC.·点C是AD的中点,:AC-DC.:ABC=EBC.:OC=OB..ABC= 167