专题09 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级下册

专题09 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、“母子”模型(共边角模型) 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 类型三、“K”字模型（相似模型） 压轴专练 类型一、“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 例1．如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】如图，中，是上一点，，为上一点． (1)求证：； (2)若，，，，求、的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由相似三角形的判定定理可得结论； （2）由相似三角形的判定定理可得，即可求解． 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键． 【详解】（1）证明：，， ∴； （2）解：∵， ， ， ． ， ， ， ． 【变式1-2】（1）如图①，在中，，于点D．求证：； （2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值； （3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1）见解析； （2），； （3）满足条件的的所有可能的值为或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可证，从而可得即； （2）过点C作交的延长线于点G，可得，结合可得，从而可知，同理（1）可得，，即可变换为，，最后根据，即可得出； （3）同理（2）考虑点D在线段上时、D在线段的延长线上时、点D在线段的延长线上时三种情况即可． 【详解】解：（1）证明：如图①， ，， ， 又， ， ， ． （2）解：方法一： 如图②，过点C作交的延长线于点G， ， ，． ， ，， 又， ， ． 同理（1）可得：，， ， ， ． ， ． 方法二： 如图③，过点D作，交于点G， ， ，． ， ，． 同理（1）可得：，， ， ， ， ． （3）解：点D为直线上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段上时，如图④所示： 过点D作，交边于点G． ， ，，． ， ， ，，． 同理（1）可得：，， ； ， ， 即， 化简得：； （II）当点D在线段的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：； （III）当点D在线段的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：． 即满足条件的的所有可能的值为或或． 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 例2．【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，    ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 【变式2-2】【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据全等三角形的性质即可解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质、直角边与斜边的关系可证明，再根据相似三角形的性质对应边的比等于相似比即可解答； （3）根据、，可证，可得，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，即． （2）∵和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， 同理，在中，设，则， ∴，，即， ∴， ∴，即． 类型三、“K”字模型（相似模型） 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 例3．【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【答案】（1）见解析（2）或（3）4或． 【分析】（1）证明即可． （2）根据，得，设，则，代入比例式，解答即可． （3）根据，得到，结合，得，证明，再对是等腰三角形进行分类计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，整理得， 解得， ∴或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∵是等腰三角形，且， 故只有两种情形解答，具体如下： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 设，则， 根据前面证明，得， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为4或． 【变式3-1】（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    【答案】（1）①见解析；②;（2）或 【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键． （1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解； 【详解】（1）①证明：由题意得： ∴ ∴ ∴ ②解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵为等腰三角形且 ∴若，则； 若，则， ∴； 综上所述：或 一、单选题 1．如图，在中，，于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质． 首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长． 【详解】解：中，，， ， 又于， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端为止．此时，测得小亮眼睛到地面的距离，小亮到处的距离，电线杆底部到的距离．电线杆的高度的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键．根据与可判断，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ∵，，， ， ． 故选：A． 3．如图，在中，点在边上，，，点在边上，，线段与线段交于点，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；过点A作于点G，交于点H，连接并延长，交于点N，由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：过点A作于点G，交于点H，连接并延长，交于点N，如图所示： ∵， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：（负根舍去）， ∴， ∴， ∴，，； 综上所述：错误的是C选项； 故选C． 4．如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线，CE的交点．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．当点E在的延长线上时， D．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为 【答案】C 【分析】证明即可判断A，根据三角形的外角的性质得出B，证明得出，即可判断C；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中，然后根据三角形的面积公式即可判断D． 【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故A说法正确； 设， ∴， ∴， ∴，故B说法正确； 当点在的延长线上时，如图所示    ∵，， ∴ ∴ ∵，． ∴， ∴ ∴，故C说法错误； 如图所示，以为圆心，为半径画圆，    ∵， ∴当在的下方与相切时，的值最小， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴取得最小值时， ∴ 故D说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题 5．如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为a，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键 ．先证，再根据即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 6．如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点，交的延长线于点，，则 ．    【答案】9 【分析】本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 先根据正方形的性质和已知得出，进而根据勾股定理求出，再证明，根据相似得出，列比例式求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ． 为的中点， ， ∴在中，由勾股定理得， 四边形是正方形，， ， ， ． ， 解得， ∴． 故答案为：9． 7．如图，在四边形中，，，，，是上一点．若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解分式方程，掌握相似三角形的性质得到线段的比值是关键． 根据题意得到，设，则，代入求值即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴的长为或， 故答案为：或 ． 8．【模型构建】如图1，已知，如果，那么，我们把这种图形叫做“一线三等角”． 【探究应用】如图2，在梯形中，，，，点E在边上，，P、Q分别是边的中点．如果，且，那么的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 延长，过点D作，垂足为F，根据题意四边形为矩形，利用反证法得出，根据示例得出，然后根据对应边成比例，求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长，过点D作，垂足为F，根据题意四边形为矩形． 假设， ∵， ∴， ∴， 满足， ∴正确， 又， 根据“一线三等角”模型，， ， 在中，假设，则， 由勾股定理可得，, ， ，，． 过点P作的垂线，G为垂足，则 是的中点， 是梯形的中位线，，，， ， 故答案为：． 三、解答题 9．已知：如图，在中，，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法； （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用相似三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ，， ， ， ． 10．如图，在中，，点在边上，且，连接，点在线段上，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理. （1）证明，得到，由中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）的结论求出，再利用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 11．如图点E是矩形中边上一点，连接，沿线段翻折，点D的对应点F恰好落在边上． (1)求证：． (2)若，，求线段BC的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）首先利用折叠的性质得到，然后利用解直角三角形的性质可以证明，接着利用相似三角形的判定方法即可求解； （2）首先利用（1）中结论证明，然后利用已知条件求得，，然后设，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵沿线段翻折，点D的对应点F恰好落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， 根据折叠得， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 12．如图1，在中，，，D，E分别是边的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现：①当时，的值为______； ②当时，的值为______； (2)拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请根据图2的情形进行说明； (3)问题解决：当旋转到A，D，E三点共线时，请直接写出线段BD的长． 【答案】(1)①，② (2)无变化，理由见解析 (3)BD的长为或． 【分析】此题主要考查几何变换综合应用，涉及相似三角形的判定和性质，三角形中位线，勾股定理和旋转的性质等知识，解题的关键是分类讨论思想，数形结合思想的应用． （1）根据三角形的中位线定理，结合勾股定理和旋转的性质即可得到答案； （2）根据旋转的性质、中位线以及相似三角形的知识，可以得到仍然成立，结合两边与夹角，可以得到，由此可以得到的值； （3）根据题目可知要分：在的上方和在的下方两种情况进行分析，进而结合前面得到的的值，便可以解答本题． 【详解】（1）解：①当时， ∵中，，，， ∴． ∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴； 故答案为：； ②当， ∴，， ； 故答案为：； （2）解：当时，的大小没有变化，，证明如下： 如图2，由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ， 在图1中，∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ； ∴在图3中，； 由（2），可得：， ； ②如图4，连接， 同理可得， ； 综上所述，的长为或． 13．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何图形的综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据，，可得，再由，可得，从而利用角角边证得≌即可； 根据，，可得，再由，可得，从而证得结论； 在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得∽，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌； （2）证明：，， ， ， ， ， ， ∽； （3）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ∽， ． 14．综合与实践 (1)观察判断 如图1，四边形为正方形，点E，F分别为边上一点 (不与端点重合)，以为邻边在正方形的内部构造它的相似图形，连接，则与的数量关系是 ; (2)迁移探究 如图2，当正方形变成矩形，且，，其他条件不变． ①当时，与的数量关系是 ； ②若将矩形绕点B逆时针旋转，连接，试判断与之间满足怎样的数量关系（用含n的式子表示），并说明理由． (3)拓展延伸 在（2）条件下，当时，矩形旋转至D，G，E三点共线时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）由，则，即可求解； （2）①由，则，即可求解； ②证明，则； （3）当D、G、E共线时，则，则，即可求解；当D、E、G共线时，同理可解． 【详解】（1）解：如图1，延长交于点M，延长交于点N， ∴四边形是正方形的相似图形， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴，， ∴四边形、是矩形， ∴，，，, ∴， ， ∴, ∵， ∴四边形是矩形， 又, ∴四边形是正方形， ∴为正方形的对角线， ∴， 连接，则为正方形的对角线， ∴, 又, ∴， ∴D、G、B三点共线，即为正方形的对角线， ∵， ∴, ∴， ∴， 故答案为；； （2）解：①连接，如图2， 由（1）根据四边形和相似得，，, ∴, ∴， ∴点在上，即D、G、B三点共线， ∴为矩形的对角线， 设，则， 则， ∵， 同理可得， 故答案为：； ②当， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 如图，连接， 由题意得，， 则， ∵四边形和相似， ∴， ∴， ∴； （3）解：当D、G、E共线时，如图， 由题意得：，则， 连接， 则， 则， 则， 当D、E、G共线时，如图， 由上可知，， 则， 综上，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15．小华在探索相似三角形时，提供了一些解题思路，展示如下：在中，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，，则_____； (2)如图2，若，，，，求的长；在进一步探索相似时，其实就是探究边角关系，在延长线上取一点，使，设，在中，利用勾股定理，用的代数式表示，利用（斜射子母型），列方程求出，我们把这一个结构称为“斜射勾股”型，在小华的思路分析下，请完成求的计算过程． (3)如图3，已知反比例函数的图象经过点，点（点的右侧），若，求点的坐标．（在第（2）问的启发下，完成构图与计算） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）通过两角分别相等判定三角形相似，再利用相似三角形的性质列比例式求解； （2）先判定三角形相似得到比例关系，结合勾股定理分别用含的代数式表示相关线段，进而列方程求解； （3）通过构造相似三角形，结合一次函数与反比例函数的性质，列方程求解点的坐标． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：，(负值，舍去)， ； （3）解：如下图所示，过点作轴，过点的中点作交于点，交轴于点， ， ，， ， ， ， 点的坐标是， 点的坐标是，，， ， ， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是， ，， ， 可得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式是， 解方程， 整理可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 当时，， 点的坐标是 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、反比例函数的图像及性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、“母子”模型（共边角模型） 类型二、“手拉手”模型（旋转模型） 类型三、“K”字模型（相似模型） 压轴专练 典例详解 类型一、“母子”模型（共边角模型 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角 形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似. D D B C 图1 图2 图3 (1)“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD; 结论：△ABD△ACB,AB2=AD AC. (2)双垂直模型（射影模型）条件：如图2，∠ACB-90,CDLAB; 结论：△ACD~△ABC~△CBD;CA2=ADAB,BC2=BD·BA,CD2=DADB 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)“母子”模型（变形）条件：如图3，∠D=∠CAE,AB=AC;结论：△4BD-△ECA; ACCE∠BAD=EC4. 例1.如图，在ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且4B=4D B D (1)求证：AC2=BC.CD; (2)若E是ABC的重心，求AC:AD的值. 【变式1-1】如图，ABC中，D是BC上一点，∠DAC=∠B,E为AB上一点. E B (1)求证：△CAD∽△CBA; (2)若BD=10,DC=8,DE∥AC,AE=4,求AC、BE的长. 【变式1-2】(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB2=AD·AC; B B 图① 图② (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点 F,若B-BD-,求二和仁的值： BC DC ED FC (3)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B,C重合），直线BE⊥AD于点 E,交直线AC于点五，若6九，道直接写出的所有到可能的值（用含n的式子表 FC 2/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、“手拉手”模型（旋转模型 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小（这个顶点 不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角 形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件：如图，∠BAC=∠DAE=4,AD=4E=k;结论：△ADE-△4BC,△4BD-△4CE:EC =k AB AC BD 例2.【发现问题】 图1 图2 图3 (1)如图1，已知△CAB和aCDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量 关系是」 (2)将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F. ①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论； ②图2中∠AFB的度数是· (3)【探究拓展】如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC=LDEC=90°，AB=BC, DE=EC,直线AD和直线BE交于点F,分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系，并说明理 由. 【变式2-1】(I)如图①，△ACB和△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，求证：BD=AE. (2)如图②，∠ACB=∠DCE=90°，LABC=LEDC,BC=2AC,试探究线段BD与线段AE的关系，并 加以证明. 3/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图③，∠ACB=90°，AC=3BC,AD=6,CD=√10，求BD的最大值. 图① 图② 图③ 【变式2-2】【问题呈现】 (1)如图1， MBC和ADE是两个有公共顶点A的等边三角形，连接BD,CE.求 的值， CE 【类比探究】 (2)如图2， ABC和ADE是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD, CE.求证：CE=V2BD· (3)如图3，ABC和ADE是两个有公共顶点A的直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD,CE,若 能AB=ADV BC DE2 ,请直接写出此时BD与CE的数量关系. E 图1 图2 图3 类型三、“K”字模型（相似模型) 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对 角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等， 从而得到两个三角形相似。 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B=∠D=∠ACE=90°，则△ABC∽△CDE (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B=∠ACE=∠D,则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE 4/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E E B D B C D 图1 图2 补充：其他常见的一线三等角图形 y G 60 B D Ex B E B 例3.【感知】 如图1，在四边形ABCD中，点P在边AB上（不与A、B重合），∠A=∠B=∠DPC=90°，易证： △DAP∽△PBC(不要求证明). 【探究】 如图2，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），LA=LB=∠DPC, (1)求证：△DAP∽△PBC; (2)若AD=2,AB=10,BC=8,求AP的长. 【应用】 如图3，在ABC中，AC=BC=8,AB=12,点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP,作 LCPE=LA,PE与边BC交于点E. (3)当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长 D P 图1 图2 图3 【变式31】(1)如图①，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F. ①求证：△AED∽△BFE· ②若AB=10，,AD=6,E为AB的中点，求BF的长 (2)如图②，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4,E为AB边上一点（点E不与点A、B重合）， 连结CE,过点E作LCEF=45°交BC于点F,当△CEF为等腰三角形时，BE的长为多少？ 5/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 图① 图② 压轴专练 一、单选题 1.如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于点D,若AD=4,BD=9,则CD的长为() B D A.6 B.8 C.10 D.12 2.小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置O处平放一面镜 子，然后沿着电线杆的底部N与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端Q为止.此 时，测得小亮眼睛P到地面MN的距离PM=1.6m,小亮到O处的距离MO=2m,电线杆底部N到O的距 离NO=15m.电线杆的高度QW的值为() M O A.12m B.15m C.18.75m D.30m 3.如图，在ABC中，点D在边BC上，BD=2CD,AD=AC,点E在边AB上，CE=BE,线段CE与线 段AD交于点F,下列结论中错误的是() 6/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B D A. DF 1 B. AE 2 C.CE3 D. EF4 AB 4 F=5 4.如图，ABC和ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把ADE以A为中心顺时针旋转，点M 为射线BD,CE的交点，若AB=√3，AD=1,则下列结论错误的是() B A.BD=CE B.BD⊥CE C.当点E在BA的延长线上时，MC=3-√3 D.在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为) 二、填空题 5.如图，D是ABC的边BC上一点，已知AB=6,AD=2,∠DAC=∠B,若△ABD的面积为a,则 △ACD的面积为 B D 6.如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E,连接DE,过点E作EF⊥ED交AB于点G,交DA的 延长线于点F,CD=6,则AF=一 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E C G A D 7.如图，在四边形ABCD中，LA=∠B=90°，AB=5,AD=3,BC=2,P是AB上一点.若 △PADn△CBP,则PA的长为一 D C B 8.【模型构建】如图1，己知∠B=∠C,如果∠AED=∠B,那么△ABE∽△ECD,我们把这种图形叫做“一 线三等角”. 【探究应用】如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，BC=6,点E在边BC上，BE=4,P、Q 分别是边AD、BE的中点.如果∠AED=60°，且AE=DE,那么P四的长为一 2 D B O E 图1 图2 三、解答题 9.己知：如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. B D (I)求证：△ACD∽△CBD. (②)若AD=3,BD=6,求CD的长. 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1O.如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，且BD=CD,连接AD,点E在线段AD上，连接 BE,∠EBD=∠BAD B CD ED (1)求证： AD BD (2)若DE=2,AE=4,求AC的长. 11.如图点E是矩形ABCD中AD边上一点，连接CE,沿线段CE翻折△CDE,点D的对应点F恰好落在 AB边上. D (I)求证：△EAF∽△FBC. (2)若FC=2EF,BF=12,求线段BC的长. 12.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8,D,E分别是边BC,AC的中点，连接DE.将 △EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a. A B D 图1 图2 各用图 (1)问题发现：①当a=0°时， E的值为。 BD AE ②当a=180°时， 的值为 BD (②)拓展探究：试判断：当0≤a<360°时，4E 的大小有无变化？请根据图2的情形进行说明； BD (3)问题解决：当△EDC旋转到A,D,E三点共线时，请直接写出线段BD的长， 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC=90° ,像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型. 应用： 图3 图4 (I)如图2，RIAABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作 BE⊥ED于点E,求证：△BEC≌△CDA (2)如图3，AB⊥BC,EC⊥BC,点D在BC上，∠ADE=90°.求证：△ABD一△DCE: (3)如图4，在口ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点.若∠DEF=∠B,AB=10,BE=6, 小明想到在BC的延长线上取点M,使DM=DC,连接DM,请你延续小明的想法求E 的值. DE 14.综合与实践 0 C D G F B 图1 图2 图3 (1)观察判断 如图1，四边形ABCD为正方形，点E,F分别为边BC,BA上一点（不与端点重合），以BE,BF为邻边在 正方形ABCD的内部构造它的相似图形BEGF,连接DG,则DG与AF的数量关系是_： (2)迁移探究 如图2，当正方形ABCD变成矩形，且AB=nBC,其他条件不变， ①当n=3时，DG与AF的数量关系是_； ②若将矩形BEGF绕点B逆时针旋转，连接AF,试判断DG与AF之间满足怎样的数量关系（用含n的式 10/11