模型构建专题 相似三角形中的基本模型-【名师学案】2023-2024学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

模型构建专题 相似三角形中的基本模型 模型一“A”字型及其变形 模型展示 1.A字型：如图①，已知DE∥BC,结论：△ADEp △ABC 2.反A字型：如图②，已知∠AED=∠C,结论： △ADEP△ABC. 模型二“8”字型及其变形 3.反A字型（共边共角）：如图③，已知∠ACD 模型展示 ∠B,结论：①△ACD∽△ABC:②AC= 1.“8”字型：如图①，已知AB∥CD,结论 AD·AB. △ABOX∽△DCO. 2.反“8”字型：如图②，已知∠A=∠C或∠B ∠D,结论：△ABOX∽△CDO. 图① 图② 图③ 1.(2023·吉林改编)如图， 在△ABC中，D,E分别是 0 图① AB和AC上的点，DE∥ 5.(2023·乐山改编)如图，□ABCD中，E是 B BC.且部号若BC AB上一点连接AC,DE交于点F,若能 2 10,则DE的长是 ,AF=4,则CF= A.2 B.3 C.4 n.9 2.如图，在△ABC中，点E在边AB上，点D在 边AC上，AE=2,AD=3,AC=4,AB=6, DE=2.5,则BC的长是 第5题图 第6题图 6.(2023·桂林一模)如图，已知∠ADE=∠ACB, BD=8,CE=4,CF=2,则DF的长是 模型三双垂直型 B 模型展示 第2题图 第3题图 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. 3.(2023·海珠区一模)如图，点D在AB边上， 结论： AD=3,BD=1,当AC= 时，则 ①△ABCc∽△ACD∽△CBD: △ADCc∽△ACB. ②CD=AD·BD; 4.如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F,ED⊥AB ③AC2=AD·AB: 于点D,∠1=∠2.求证：△AFG∽△ABC ④BC=BD·AB. 助学助散 优质高数34 7.如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的 模型五十字架模型 高，AC=4,BC=3,则AD= 模型展示 如图，矩形ABCD 中，CF⊥DE于点G.结 论：△DCF∽△ADE. D 第7题图 10.如图，点E,F,G分别在正方 G D 第8题图 8.如图，点P1,P2,P3,P4均在坐标轴上，且 形ABCD的边AB,BC,AD P1P2⊥P2Pa,P2P3⊥P3P4.若点P1,P2的坐 上，AF⊥EG.若AB=5,AE 标分别为(0，一1)，（一2,0），则点P4的坐标 DG=1,则BF= B F 为 11.(2023·石家庄模拟)如图，正方 模型四旋转型 形ABCD的边长为4，E是BC边 的中点，点P在射线AD上，过P 模型展示 作PF⊥AE于F,设PA=x 特征：两个相似三角形共用一组相等角的顶点 (1)求证：△PFA∽△ABE: (2)若以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE 相似，试求x的值 B △ADF∽△ABC PD 结论：△ABDp△ACE. 9.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD= B E ∠CAE,∠ABD=∠ACE.求证： (备用图) a00: (2)△ADE∽△ABC. 35 九年级数学·下册 模型六一线三等角型 模型展示 1.如图，∠B=∠ACE=∠D,结论：△ABCc∽ △CDE. 2.如图，∠B=∠ADE=∠C,结论：△ABDD 14.【问题引入】如图①，点A,B,C在同一条直 △DCE. 线上，∠1=∠2=∠3，求证：AB·BC= AD·CE: 【探索应用】如图②，在边长为6的正方形 ABCD中，G,E分别是CD,CB上的动点， 等边三角形 等腰三角形 连接EG,作GF⊥EG交AD于F.若GC= 模型分析：在“一线三等角型”的模型中， 2,求证：CE·DF是定值； 要根据相等的三个角找到隐含的其他相等的 【拓展延伸】如图③，等边△ABC中，BC=6, 角，从而找到相似三角形，进一步解决问题. G是BC上一点（不与B,C重合），E在AB 12.(2023·东营)如图，△ABC 上，F在AC上，且∠EGF=60°，则BE·CF 是等边三角形，点D,E分别 的最大值是 在边BC,AB上，∠ADE= 60°，若BD=4DC,DE=B4 2.4,则AD的长是 13.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中 ③ 点，点F在边CD上，∠BEF=90 (1)求证：△ABE∽△DEF: (2)若AB=4,延长EF交BC的延长线于 点G,求CG的长 助学助餐优质高数36或O,2)1B3.I)证明：∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,∠ADF=∠C把-， △ADF△ACG:(e)屏：△ADF△ACG0-5=日AF=FG,荒 1.14.解：延长FE交CB的延长线于M.四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,AB= BC.∴.∠AFE=∠M,∠A=∠EBM.:E是边AB的中点，∴.AE=BE,∴.△AEF≌ △BEM(AAS).∴.ME=EF,MB=AF.'AE=3,EF=2AF=4,∴.ME=4,BM=2,BE 8C=AB=2AE=6MC=8e-号-日装-音-温-装：∠M ∠M△MEB△ME÷既-提-分：BE-,CE-6 第3课时相似三角形的判定定理3 知识储备 1.相等2.成比例 基础练 1.C2.D3.C4.(1)∠B∠AFE∠C(2)证明：，四边形ABCD为正方形 ∴∠B=∠C=90°.在Rt△BEF中，∴∠BEF+∠BFE=90°.：∠EFG=90°，∴.∠BFE+ ∠CFG=90°，∴∠BEF=∠CFG.:∠B=∠C=90°，∴.△EBFn△FCG.5.D6.相似 证明：由勾股定理得AC=AD=CD(一P2:是立：怨-广 合会品-是：R△ADCR△BAC82或8或59D10.B1.I证明： ,四边形ABCD为菱形，.CD=AD,∠CDP=∠ADP,∴.△CDP≌△ADP(SAS),∴AP CP:(2)解：：四边形ABCD为菱形，.CD∥BA,CD=BA,∴.∠CDP=∠FBP, ∠BFP=∠CP△CPD△FPB.器-品=子CD=BF,A为BF的中 点，PA⊥BF,PB=PF,由()可知，PA=CP,PA=合PB,PB=2十 (PB),解得：PB=等3.12.(1)证明：AB是直径，BE⊥CD,∠ACB=∠BED= 90°.BC=BC,.∠A=∠D,∴.△DBE∽△ABC;(2)解：过点C 作CG⊥AB于点G,则∠AGC=90°=∠ACB.在Rt△ACB中，AB= VAC+BC=5.'∠AGC=∠ACB,∠A=∠A,∴.△ACG0A △ABC,60周AG=%==1.AP=2GF ) AF-AG=1=AG.又：CG⊥AF,.AC=CF,∴.∠A=∠CFA=∠BFD=∠D,.BD B-AB-A-aaD△AC器即2-背D-点 模型构建专题相似三角形中的基本模型 1.C2.53.2√34.证明：CF⊥AB,ED⊥AB,∴.∠AFC=∠ADE=90°，.CF∥DE, ,.∠1=∠BCF.又∠1=∠2，.∠BCF=∠2，.FG∥BC,∴.△AFG∽△ABC.5.10 58.(8,0)9.证明：(1)：∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,△ABDn 6.47.5 △ACE0-A0:(2):△ABD∽△ACE,是-A是∠BAD+∠DAC= ∠DAC+∠CAE:甲∠BAC=∠DAE:A是-是8-S△ADEO△ABC 10.号11.1)证明：四边形ABCD是正方形，AD∥BC,∠ABE=90.∠PAF= ∠AEB.又.PF⊥AE,∴.∠PFA=∠ABE=90°，∴.△PFAc∽△ABE;(2)解：情况1，当 △EFP∽△ABE,即∠PEF=∠EAB时，则有PE∥AB,∴.四边形ABEP为矩形..PA= EB=2,即x=2.情况2，当△PFE∽△ABE,即∠PEF=∠AEB时，：∠PAF=∠AEB, ∴∠PEF=∠PAF..PE=PA.,PF⊥AE,∴点F为AE的中点，.AE=√AB+BE= 平=m=2后号A=器儒即得复PE=5即 .满足条件的x的值为2或5.12.313.(1)证明：：四边形ABCD为正方形，∠A= ∠D=90°，·∠ABE+∠AEB=90°.'∠BEF=90°，∴.∠AEB+∠DEF=90°..∠ABE= -166 ∠DEF..△ABE△DEF;(2)解：四边形ABCD是正方形，.AB=AD=BC=4. E为AD的中点AE=DE=合AD=2.由1知，△ABE0△DEF,∴说-泸.即 42 2=DFDF=1,∴CF=CD-DF=4-1=3.ED∥CG,∴△EDF2△GCF..2= 器，即忌=子GC=6.14.【间题引人】证明：∠DC=∠2+∠EBC=∠1十∠D, 1=∠2，∠EBC=∠D.又I=∠3，△ADBn△CBE,:0-B,AB·0 AD·CE;【探索应用】证明：，正方形ABCD,∴∠C=∠D=90.,EG⊥GF,∴∠EGF= 90°，∴.∠EGC+∠FGD=90°.又∠CEG+∠EGC=90°，∴.∠CEG=∠FGD.又∠C=∠D, △CG△DGF,慌祭CE.DF-DG,CG-4X2-8CEDF是定值 【拓展延伸】9 方法技巧专题等积式的证明（选用） 1.证明：□BDEF,.BD∥EF,DE∥BF..∠A=∠CEF,∠AED=∠C.∴△AED △ECR.六-架AEEF=EC·AD.2.I)证明：AB=AC∠B=∠ACB :AD∥BC,.∠DAC=∠ACB,∴，∠DAC=∠B.又，∠EFB=∠D,△EBF∽△CAD, 5-,即EF·AC=CD·BE;(2)解：AB=AC,AB=20,AC=20,由D △EBFU△CAD.肥-需即毁-专解得EB=I6、3E明：△ABC为正三角 形，∴.AC=BC,∠ABC=60°=∠A..∠DBC=180°-∠ABC=180°-60°=120°.·四边 形ABPC为⊙O的内接四边形，∴.∠BPC+∠A=180°..∠BPC=180°-∠A=180° S0-12w-∠DBC又：∠p-∠DCB.△BnCn△DBC÷8S-瓷BC- CP·CD,即：AC⊙=CP·CD.4.证明：(1).'AD∥BC,∴.∠DAE=∠ACF.又.∠FAC= ∠ADE,AC=AD,.△DAE≌△ACF(ASA)..DE=AF;(2),△DAE≌△ACF, .∠AFC=∠DEA..180°-∠AFC=180°-∠DEA,即∠AFB=∠CED.·∠ABC= ∠CDE△ABF△CDE÷荒-能由I卫E:DE=A,∴是=gAP= BF.CE.5.证明：DE/BC,△ADEO△ABC,A怨-S.又：EF∥CD,∴A装 AC BC' 需瓷器DE,CD=BC·E6证明：四边形ABCD是子行因边形AB/ DM,AD∥BC,∴.∠1=∠2，∠3=∠M,∠4=∠5，∠6=∠7， D ÷△ABG△MDG,△ADGo△FBG.品=，-瓷. kAC-E∴AG=GF·GM,7,.证明：AD是△ABC的高) DE⊥AB,·∠AED=∠ADB=∠ADC=90°.'∠BAD=∠EAD, ∴△AED△ADR0铝AD=AE,AB同理可证明AD=AP·AC,∴AE: AB=AF·AC 进阶测评（二）(27.1~27.2.1) 1.D2.C3.D4.C5.B6.B7.87°8.10.59.310.211.解：DE∥BC, △ADB△ABC÷光-瓷，即8-8解得AD=10.答：再攀行10m可到达 这个攀登架的顶部A.12.(1)证明：AC⊥AD,ED LAD,.∠A=∠D=90°.·∠C+ ∠ABC=90°.·BC⊥BE,∴.∠ABC+∠EBD=90°.∴.∠C=∠EBD,∴△ABC∽△DEB: (2)解：△ABCn△DEB是品AB=8,AC=6,DE-=4是-品解得BD=3. 86 13.I)证明：CD是边AB上的商∠ADC=∠CDB=9g,:品-品△ACD☑ △CBD:(2)解：：△ACDx△CBD,∴.∠A=∠BCD.在△ACD中，∠ADC=90°，∴.∠A+ ∠ACD=90°，.∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°.14.3或4.815.(1)证明：连接 OC,点C是AD的中点，∴.AC=DC..∠ABC=∠EBC.OC=OB,.∠ABC= -167