方法技巧专题 利用平行线求线段的长或比-【名师学案】2023-2024学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

方法技巧专题 利用平行线求线段的长或比 类型一直接利用平行线求线段的长或比 类型二构造平行线求线段的长或比 解题技巧 解题技巧 观察图形，结合已知条件，直接利用平行 当图形中没有平行线或利用已知条件不 线分线段成比例定理或推论及相似三角形判 能直接求线段的长或比时，通常要添加辅助 定的预备定理，构建与已知线段有关的比例 线 —平行线，从而构造成比例线段或“A字 式，再代值计算 型”相似三角形，然后和已知线段的比发生联 1.(2023·吉林改编)如图，在△ABC中，DE∥ 系，进而求线段的长或比 BC,0-号AC=10,则AE的长为（) 【例】如图，BE是△ABC的中线，点F在BE 上，延长AF交BC于D,若BF=3EF,求BD: A. 20 B.4 C.6 D. DC的值 【解】过点E作EG∥AD交BC D 于点G,则%需 ∴.CG DG.'EG∥DF, D 第1题图 第2题图 2.(2023·思施)如图，△ABC中，DE∥BC分 ·BF_BD …EF DG ,∴BD= DG. 别交AC,AB于点D,E,EF∥AC交BC于点 F能-景，BF=8则DE的长是 又.DC= c…8肥 ( 【对点训练】 A号 B. C.2 D.3 4.如图，在△ABC中，中线BD,CE相交于点 3.如图，在□ABCD中，点E在AD上，AC与 O,若EO=2,则CO的长是 () BE相交于点G,AC与BD相交于点O,若 A.1 B.2 C.3 D.4 瓷号，BG=1,求BE的长。 第4题图 第5题图 5.(2023·安徽模拟)如图，AD是△ABC的中 线，E是AD上一点，AE=AD,BE的延长 线交AC于F,则茫的佰为 A R C.6 D. 29 九年级数学·下册 第2课时 相似三角形的判定定理1,2 知识储备 1.三边成 的两个三角形相似， 2.两边成 相等的两个三角形 相似. A基础练 . 知识点一三边成比例的两个三角形相似 6 30 1.(教材P33例1变式)甲三角形的三边长分别 为1，√2，√5，乙三角形的三边长分别为5，√5， 第4题图 第5题图 √10，则甲、乙两个三角形 ( 5.(2023·泸州模拟)如图，在△ABC与△ADE 中，∠BAD=∠CAE,要使△ABC∽△AED, A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断是否相似 还需满足下列条件中的 2.如图，在△ABC和△ADE中， A品提 B.AC_BC AD DE AB BC AC ADDE=AE∠BAD=22, c6能 n器 则∠CAE的度数为 6.如图，在四边形ABCD中，对 3.(1)(教材P34练习T1变式)根据下列条件， 角线AC,BD相交于点O,且 Q③ 判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说 将这个四边形分成①②③④ 明理由： 四个三角形，若OA:OC=OB:OD,则这四个 AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm, 三角形一定相似的是 和 ,理由是 A'B'=12 cm,B'C'=18 cm,A'C'=21 cm. (2)若(1)中两三角形不相似，那么要使它们 7.如图，BD平分∠ABC, 相似，不改变AC的长，A'C的长应当改 AB=4,BC=6,当BD= 为多少？ 时，△ABD∽ △DBC. 8.如图，在△ABC中，AB=6,AC=4,点D,E 分别在AB,AC上，且AD=2,CE=1.求证： △ADE∽△ACB. D 知识点二两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似 4.已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与 △ABC相似的是 () 助学助餐优质高数30 易错点因考虑问题不全面而漏解 (2若把2求能的值。 9.(2023·福州模拟)如图， △ABC中，AB=3,AC=4, D是AB的中点，在边ACB 上确定点E的位置，使得△ADE与△ACB 相似，则AE的长为 【点津】用“与”或“和”表示的两个相似三角形，由于 对应关系不明确，需要分类讨论 B综合练 出 10.在三角形纸片ABC中，AB=8,BC=4, AC=6,按下列方法沿虚线剪下，能使阴影 部分的三角形与△ABC相似的是 () C素养练 出 14.(2023·宜昌模拟)如图，已知菱形ABCD 中，E是边AB的中点，F是边AD上一点， 连接CE,EF.若AE=3,EF=2AF=4,求 11.(2023·石家庄校级模拟)依据图中所标注的数 CE的长 据，添加下列一个条件：①∠B=∠E:②∠A F ∠F,C-票：⑩4C-其中仍然不 能判定△ABC与△DEF相似的是( 12 A.①③B.①④C.②③ D.②④ 12.(训练角度：相似三角形的判 定与分类讨论思想)如图，在 平面直角坐标系中，已知点 A(2,0),B(0,4),在x轴上OCx 找到点C(1,0)和y轴的正半轴上找到点 D,使△AOB与△DOC相似，则D点的坐标 是 13.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB, AC上，∠AED=∠B,射线AG分别交线段 DE,Bc于点F,6且0-8器 核心 (1)求证：△ADFc∽△ACG: 素养 几何直观推理能力运算能力 31 九年级数学·下册 第3课时相似三角形的判定定理3 知识储备 ∴.∠AFD= 11.两角分别 的两个三角形相似。 又.'∠ADF=∠DEC,∴.△ADFn△DEC. 2.斜边和一条直角边 的两个直角三角 (2)【针对练习】如图，正方形ABCD中，点E, 形相似 F,G分别在AB,BC,CD上，且∠EFG= ④基础练 出 90°.求证：△EBF∽△FCG. 知识点一 两角分别相等的两个三角形相似 1.已知△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，下图各 三角形中与△ABC相似的是 () ) 75°65 6 40 403 Qk70 ① ③ A.① B.② C.①② D.①②③ 知识点二 斜边和一条直角边成比例的两个直 2.(教材P36练习T1变式)下列条件中的两个 角三角形相似 图形，不一定相似的是 () 5.如图，∠C=∠C=90°， A,底角相等的两个等腰三角形 添加下列条件不能判 B.两个等边三角形 定△ABC∽△A'B'C C.两个等腰直角三角形 的是 D.有一个角是40°的两个等腰三角形 A.∠A=∠A 3.如图，在□ABCD中，点E为AB的中点，连 BC 接DE交对角线AC于点F.若AF=3,则 c指- D能-S FC的值为 () 6.一个直角三角形的一条直角边和斜边长分别 A.3 B.4 C.6 D.9 是8cm和15cm,另一个直角三角形的一条直 角边和斜边长分别是6cm和日cm,则这两个 直角三角形 (填“相似”或“不相似”). B 第3题图 第4(1)题图 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上 4.(1)(答题模板)如图，在平行四边形ABCD 一点，已知CD=1,AD=5,AB=25. 中，点E为BC边上一点，连接DE,点F 求证：Rt△ADC∽Rt△BAC 为线段DE上一点，且∠AFE=∠B 求证：△ADFc△DEC. 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC. ∴.∠C+ =180°，∠ADF=∠DEC ,∠AFD+ =180°，∠AFE=∠B, 助学助餐优质高数32 易错点 因考虑问题不全面而漏解 8.(2023·张家界三模)如 图，在矩形ABCD中， AB=10,AD=4,P是 CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP 相似时，DP= B综合练 9.如图，在△ABC中，∠A=78°， AB=4,AC=6,将△ABC沿图 78 C索养练 出 中的虚线剪开，则剪下的三角 12.(2023·苏州)如图，△ABC是⊙O的内接 形与△ABC不相似的是 三角形，AB是⊙O的直径，AC=5,BC= 25,点F在AB上，连接CF并延长，交 ⊙O于D,连接BD,作BE⊥CD,垂足是E. CB 3 B (1)求证：△DBE∽△ABC; A 10.(2023·安徽)如图，点 D (2)若AF=2,求ED的长. E在正方形ABCD的 对角线AC上，EF⊥AB A F B 于点F,连接DE并延长，交边BC于点M, 交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB= 1,则MG= () A.23B.35 C.5+1D.10 2 11.(2023·长沙一模)如图，点P是菱形ABCD 的对角线BD上一点，连接CP并延长，交 AD于E,交BA的延长线于F. (1)求证：AP=CP: (2)若AB=2,DP:PB=1:2,且PA⊥ BF,求PB的长. 核心 几何直观推理能力 素养 运算能力模型观念 33 九年级数学·下册x=12,y=6.又对应角相等，·∠B=∠B=65,∠D=360°-∠A-∠B 20 ∠C=360°-120°-65°-50°=125°，∴.x=12,y=6,a=125°.10.解：如图所示： 1厄cm或2厄cm或号m2.B13.4反 14.(1)解：AD=2,BD=4,AE=3,CE=1,DE=2.5,BC=5,.AB=2+4=6,AC=3+ 1=4是是=日能=各=古器-立：(2)证明：曲1知是指 C5=号在△ADE和△ACB中，∠A=∠A,∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE 和△ACB相似.15.D 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 第1课时平行线分线段成比例 知识储备 1.相等比例相似于△ABC∽△A'B'C2.对应线段3.对应线段4.相似 基础练 1.C2B3A4.D5A62.57.28解：以/h/-品=2Gf= 合AG=号×4=2cmAF=AG+GF=6(cem.9.8或1610.311.解：DE: EA=2:8DE:DA=25EF/AB△DEF△DABb器即号-D 解得AB=10.四边形ABCD是平行四边形，.CD=AB=10.12.613.(1)证明： :EF⊥FH,.∠EFH=90°.EG=GH,∴.EG=GH=GF.∴.∠EFG=∠E.矩形 ABCD,∴.AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°..△ABF≌△DCE..BF=EC.∴.BE=CF; (2解：∠CB=∠HFE.DC/∥FH.△DCEn△HFE器-需滑号设 BE=CF=,则CE=EB+BC-4十，5F=2z十4心-音解得=1经检食x 1是原方程的解，.EF=4+2x=6.14.(1)证明：过点C作CE∥DA,交BA的延长线于 点ECE∥DA80-A0∠2=∠ACE∠1=∠E“∠1=∠，∠ACE=∠B, ∴AE=ACA0-部23 方法技巧专题利用平行线求线段的长或比 1.B2.A3解：设AG-2a:由怨号得0G=3a,则A0=AG+0G=5a:口ABCD. AD/BC.AO-CO-5a.XBE- BG+BG=1+4=.例1=332号4D5.D 第2课时相似三角形的判定定理1,2 知识储备 1.比例2.比例夹角 基础练 1A22双3解：1指-是专瓷-音-日0-品指-B瓷子 A AC.△ABC与△A'BC'的三组对应边的比不相等，“它们不相似.(2)当AC'=24cm 时，两个三角形相似.4.C5.A6.①③两边成比例且夹角相等的两个三角形相 7,258E明：AC=4,CE=1…AE=4-1=3把-号=子福-音=名 ÷0怎又∠A=∠A△ADE△ACR9号度21D1.D12(o,号） -165 或O,2)1B3.I)证明：∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,∠ADF=∠C把-， △ADF△ACG:(e)屏：△ADF△ACG0-5=日AF=FG,荒 1.14.解：延长FE交CB的延长线于M.四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,AB= BC.∴.∠AFE=∠M,∠A=∠EBM.:E是边AB的中点，∴.AE=BE,∴.△AEF≌ △BEM(AAS).∴.ME=EF,MB=AF.'AE=3,EF=2AF=4,∴.ME=4,BM=2,BE 8C=AB=2AE=6MC=8e-号-日装-音-温-装：∠M ∠M△MEB△ME÷既-提-分：BE-,CE-6 第3课时相似三角形的判定定理3 知识储备 1.相等2.成比例 基础练 1.C2.D3.C4.(1)∠B∠AFE∠C(2)证明：，四边形ABCD为正方形 ∴∠B=∠C=90°.在Rt△BEF中，∴∠BEF+∠BFE=90°.：∠EFG=90°，∴.∠BFE+ ∠CFG=90°，∴∠BEF=∠CFG.:∠B=∠C=90°，∴.△EBFn△FCG.5.D6.相似 证明：由勾股定理得AC=AD=CD(一P2:是立：怨-广 合会品-是：R△ADCR△BAC82或8或59D10.B1.I证明： ,四边形ABCD为菱形，.CD=AD,∠CDP=∠ADP,∴.△CDP≌△ADP(SAS),∴AP CP:(2)解：：四边形ABCD为菱形，.CD∥BA,CD=BA,∴.∠CDP=∠FBP, ∠BFP=∠CP△CPD△FPB.器-品=子CD=BF,A为BF的中 点，PA⊥BF,PB=PF,由()可知，PA=CP,PA=合PB,PB=2十 (PB),解得：PB=等3.12.(1)证明：AB是直径，BE⊥CD,∠ACB=∠BED= 90°.BC=BC,.∠A=∠D,∴.△DBE∽△ABC;(2)解：过点C 作CG⊥AB于点G,则∠AGC=90°=∠ACB.在Rt△ACB中，AB= VAC+BC=5.'∠AGC=∠ACB,∠A=∠A,∴.△ACG0A △ABC,60周AG=%==1.AP=2GF ) AF-AG=1=AG.又：CG⊥AF,.AC=CF,∴.∠A=∠CFA=∠BFD=∠D,.BD B-AB-A-aaD△AC器即2-背D-点 模型构建专题相似三角形中的基本模型 1.C2.53.2√34.证明：CF⊥AB,ED⊥AB,∴.∠AFC=∠ADE=90°，.CF∥DE, ,.∠1=∠BCF.又∠1=∠2，.∠BCF=∠2，.FG∥BC,∴.△AFG∽△ABC.5.10 58.(8,0)9.证明：(1)：∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,△ABDn 6.47.5 △ACE0-A0:(2):△ABD∽△ACE,是-A是∠BAD+∠DAC= ∠DAC+∠CAE:甲∠BAC=∠DAE:A是-是8-S△ADEO△ABC 10.号11.1)证明：四边形ABCD是正方形，AD∥BC,∠ABE=90.∠PAF= ∠AEB.又.PF⊥AE,∴.∠PFA=∠ABE=90°，∴.△PFAc∽△ABE;(2)解：情况1，当 △EFP∽△ABE,即∠PEF=∠EAB时，则有PE∥AB,∴.四边形ABEP为矩形..PA= EB=2,即x=2.情况2，当△PFE∽△ABE,即∠PEF=∠AEB时，：∠PAF=∠AEB, ∴∠PEF=∠PAF..PE=PA.,PF⊥AE,∴点F为AE的中点，.AE=√AB+BE= 平=m=2后号A=器儒即得复PE=5即 .满足条件的x的值为2或5.12.313.(1)证明：：四边形ABCD为正方形，∠A= ∠D=90°，·∠ABE+∠AEB=90°.'∠BEF=90°，∴.∠AEB+∠DEF=90°..∠ABE= -166