第17章 勾股定理 学业水平测试-【名师学案】2023-2024学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

●●每 八年级数学·下册 ●●● ●●● 第十七章学业水平测试 ●●● 时间：120分钟 满分：120分 ●●● ●●● 题号 二 三 合计 ●●● ●●● ●●● 得分 ●●0 ●●● ●●● ●●● ●●● 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是 A.1,2,3 B.3,4,5 C.5,8,10 D.7,12,13 2.若直角三角形的两条直角边的长是1和2，则斜边的长是 ( A.3 B.5 C.3 D.5 尔 3.下列各组数中，是勾股数的是 1 A.5,6,7 B.40,9,41 D.2,3,4 4.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且(a+b)(a一b)= c2,则 () 阳 A.∠A是直角 B.∠B是直角 C.∠C是直角 D.△ABC不是直角三角形 5.如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站 北 A,在水塔的东南方向18m处有一建筑工地B, 西 在AB间建一条笔直的水管，则水管AB的长为 尝 ( 南 A.40m B.45m C.30m D.35m 6.下列命题的逆命题是真命题的是 A.如果a=b,那么a2=b 樊 B.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等 C.两直线平行，同位角相等 D.对顶角相等 ●●● ●● ●●● 7.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6,BC=8,将△ABC ●●● 折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD,则BD的长为 ( ) ●●● ●●● ●●● A.3 B.4 C.5 D.6 ●●● ●●● ●●● E ●●● ●●0 B D 第7题图 第8题图 第9题图 138 8.(教材P29习题T10变式)如图，有一个水池，水面是边长为8尺的 正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦 苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这个芦 苇的长度是 () A.7.5尺 B.8尺 C.8.5尺 D.9尺 9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学 的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个 小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较 短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25，则小正方形的边 长为 ( A.9 B.6 C.4 D.3 10.如图，直角三角形的三边长分别为a,b,c,以直角三角形的三边为 边（或直径）分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方 形，这四种情况的面积关系满足S,十S2=S的图形个数是() S A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.在平面直角坐标系中，点A(一2,3)到原点O的距离为 12.写出命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题： 13.如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形都 是直角三角形，若正方形A,B,C的面积分别为2,8,5，则正方形D 的面积为 B 0123.D4 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，长方形OABC的边OA=3,AB=2,OA在数轴上，以点O为 圆心，OB长为半径画弧交x轴正半轴于点D,则点D表示的实数 是 15.如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的点A沿纸箱表面爬到 点B,那么它爬行的最短路线长是 139 16.【数学文化】勾股定理a2十b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方 程，满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组.毕达哥 拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造 出如下勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，…，分析上面勾 股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)， …,分析上面规律，第5个勾股数组为 三、解答题（共72分）】 17.(8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,AC=8,BC=5,DB=3, 求DC和AB的长. 18.(8分)如图①的正方形是由4个全等的直角三角形拼成的，将这4 个直角三角形重新摆放，如图②.你能利用这两个图形得到勾股定 理吗？ 图① 图 19.(8分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小 格的顶点叫做格点. (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形： (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别 为2，√5,13. ………… 图1 图2 140 20.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2,BC=4,CD 80,AD=10,连接AC,求： (1)AC的长； (2)四边形ABCD的面积. 21.(8分)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港， 然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港. (1)求A,C两港之间的距离（结果保留到0.1km,参考数据：√2≈ 1.414,w3≈1.732)： (2)试确定C港在A港的什么方向. 北 东 f H -141 22.(10分)如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两 个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在 已经不通，为方便村民取水，该村决定在河边新建一个取水点H (A,H,B在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=1.5千米， CH=1.2千米，HB=0.9千米. (1)CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线AC的长， ” 23.(10分)如图，点O为等边三角形ABC内一点，连接OA,OB,OC, 以OB为一边作∠OBM=60°，且BO=BM,连接CM,OM (1)判断AO与CM的大小关系并证明： (2)若OA=8,OC=6,OB=10,判断△OMC的形状并证明， 0 142 24.(12分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm,P, Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向 运动，且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运 动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒. 备用图 (1)AC的长是 (2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰 三角形？ (3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的 运动时间， -14313.a≥214.5w2+2515.>16.517.(1)解：原式=4√2-26-3√2= 巨-26；(2)解：原式=+6-√层=2+6-夏=2+.18，解：由数 2 轴可知：a<0<b<-a,∴.b+a<0,b-a>0.∴.原式=|a+|a十b-b-a= -a-(a十b)-(b-a)=-a-a-b-b十a=-a-2b.19.解：小刚的解法错 误，2a-√a-4a+4=2a-√/(a-2)7=2a-|a-2|,当a=√3时，a-2<0,∴.原 式=2a+a-2=3a-2=3√3-2.20.解：(2√3+3√5)2-(2√3+√10)（√6- w5)=12+45+12√15-6√2+2√/15-2√15+5√2=57+12√/15-√2.答： 剩余部分的面积是(57+12√15-√2)cm.21.解：(1)由题意，得a-√8=0，b -5=0,c-/18=0..a=2√2，b=5,c=3√2；(2).2√2+3√2=5√2>5,3√2 一2√2=√2<5，.以a,b,c为边能构成三角形.三角形的周长为2√2十3√2+5 =5√2+5.22.解：，a=2+√5，b=2-√5，∴.ab=(2+√5)(2-√5)=22-(5) =-1,a+b=2+√5+2-√5=4.(1)a2b+ab2=ab(a+b)=-1×4=-4:(2)a2 +3ab+8=(a+b)+ab=4+(-1)=16-1=15.23.解：(1)3+万三5 3 +√3(2).a= W2+1 =√2+1，∴a-1=2..a2-2a+1=2..a2 (W2+1)(w2-1) 125 2a=1.3a2-6a=3.3a2-6a-1=2.24.解：(1)/26 5 5入N26 (2) 7 7-高7Yó3)规律+十nnn≥2，且n是整数0.验证如 n n+nn 为整数时原式，十元√行十1 n 第十七章学业水平测试 1.B2.B3.B4.A5.C6.C7.A8.C9.D10.D11.√1312.如 果3a=3b,那么a=b13.1514.√1315.√516.(11,60,61)17.解：CD ⊥AB,∴.∠CDB=∠CDA=90°.在Rt△BCD中，DC=BC-BD=√/5-3 =4.在Rt△ACD中，AD=√AC-CD=√82-4平=4√3，∴.AB=AD+DB=4 √3+3.18.解：能利用这两个图形得到勾股定理，理由如下：图①中的正方形的 面积=，图②中图形的面积=4×7b十(-a),∴c2=4×2ab叶(-a),整 理得a+b=c2.19.解：(1)如图，正方形AB- D CD即为所求；(2)如图，△DEF即为所求.20. 解：(1)，∠B=90°，△ABC为直角三角形.又 ,AB=2,BC=4,.根据勾股定理，得AC= √/AB+BC=√2+4=2√5：(2).CD= 图1 图2 √80，AD=10,.AD=102=100,CD+AC= (√80)2+(2√5)2=80+20=100.∴.CD+AC=AD.∴.△ACD为直角三角 形，且∠ACD=902,则Sam=Sae十Saum=2AB·BC+2AC·CD=司 ×2×4+号×2,5×V80=4+20=24.故四边形ABCD的面积为24.21.解： (1)由题意可得∠PBC=30°，∠MAB=60°=∠ABH.∴.∠ABC=180°-∠PBC -∠ABH=90°.，AB=BC=10km,∴.AC=AB+BC=10√2≈14.1(km). 答：A,C两港之间的距离约为14.1km;(2)由(1)知△ABC为等腰直角三角形， .∠BAC=45°.∴.∠CAM=∠MAB-∠CAB=60°-45°=15°.∴.C港在A港的 北偏东15°方向上.22.解：(1)是，理由如下：在△CHB中，，CH+BH=(1. 2)2+(0.9)2=2.25,BC=2.25,.CH+BP=BC..△CHB是直角三角形， 且∠CHB=90°..CH⊥AB.∴.CH是从村庄C到河边的最近路：(2)设AC= AB=x千米，则AH=(x-0.9)千米.在Rt△ACH中，AC=AH+CHP,.x =(x-0.9)2+(1.2)2,解得x=1.25.答：原来的路线AC的长为1.25千米. 23.解：(1)AO=CM.理由如下：，∠OBM=60°，OB=BM,∴.△OBM是等边三 角形.∴.OM=OB.:等边△ABC,∴.AB=CB,∠ABC=60°.∴.∠ABC= ∠OBM.∴.∠ABO=∠CBM.又·OB=BM,AB=BC,∴.△AOB≌△CMB (SAS)..OA=MC;(2)△OMC是直角三角形.理由如下：由(1)知OM=BO= 10,AO=CM=8,在△OMC中，OMP=100,OC+CMF=62+82=100,∴.OMP= -199 OC+CM.∴.△OMC是直角三角形.24.解：(1)20cm(2)BQ=2t,BP=16 -4,根据题意得：2！=16-，解得1=9，即出发9秒钟后，△PQB能形成等腰三 角形；(3)①当CQ=BQ时，如图1所示，则∠C=∠CBQ.:∠ABC=90°，∴ ∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°.∴.∠A=∠ABQ.∴.BQ=AQ.∴.CQ= AQ=10..BC+CQ=22.∴.t=22÷2=11(秒).②当CQ=BC时，如图2所示， 则BC十CQ=24,∴.t=24÷2=12(秒).③当BC=BQ时，如图3所示，过B点作 BE⊥AC于点E.则BE=ABC=21=袋CE=VBC-E- AC 20 √12-()-360CQ=20E=14.4.∴BC+c0=26.4.=26.4÷2=13. 2(秒).综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形. C 1+ .12 图2 到3 第十八章学业水平测试 1.A2.B3.D4.C5.B6.D7.C8.B9.A10.D11.6.512. ∠ABC=90°（答案不唯一）13.214.(7,3)15.2016.√217.解：(1)① AB∥CD②△AFB≌△CED(SAS)③AF∥CE(2)如图，连接AC交BD于 点O,四边形ABCD为平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.BF=DE,∴.BF 一OB=DE-OD..OF=OE.又，OA=OC,∴.四边形AECF为平行四边形. 18.(1)证明：：□ABCD,∴.AB=CD,∠B=∠D.又：AE⊥BC,CF⊥AD,. ∠AEB=∠CFD=90°.∴.△ABE≌△CDF.∴.BE=DF;(2)解：在Rt△ABE中， ∠B=60°，∠BAE=90°-∠B=30°.BE=2AB=2.AE=√④-2=2 √3.19.(1)解：△AOB是直角三角形，理由如下：，四边形ABCD是平行四边 形，BD=8,0B=0D=2BD=4.0A=3,0B=4,AB=50A+0B=3 +42=25=AB..△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°；(2)证明：由(1)可知， ∠AOB=90°，AC⊥BD.∴.平行四边形ABCD是菱形.20.(1)证明：，四边 形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC.∴.∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.,E 为线段CD的中点，∴.DE=CE.∴.△ADE≌△FCE(AAS)..AE=FE..四边 形ACFD是平行四边形.，∠ACF=90°，∴.平行四边形ACFD是矩形；(2)解： ,四边形ACFD是矩形，∴.∠CFD=90°，：CD=13,CF=5,.DF= √CD-CF=√132-5=12.∴.S矩形Fn=CF·DF=12X5=60.2L.(1)证 明：连接PB.四边形ABCD是正方形，∴.∠ABC=90°，由正方形的对称性可 知PB=PD.:PE⊥AB,PF⊥BC,∴.∠PEB=∠PFB=∠ABC=90°.∴.四边形 BEPF是矩形.∴.PB=EF..EF=PD:(2)解：由(1)知：EF=PD=13,在Rt △PEF中，PE=√EF-PF=12.,四边形ABCD是正方形，∴.△AEP为等 腰直角三角形.∴AE=PE=12.∴.AB=AE+BE=PE+PF=17=BC.∴.AC= √AB+BC=√17+17产=17√2.22.(1)证明：.点D是AB的中点，. AD=AB.:点E是AC的中点，点F是BC的中点EF是△ABC的中 位线.EF∥AB,EF=AB.EF=AD.四边形ADFE是平行四边形. ∴AF与DE互相平分；(2)解：当△ABC满足∠BAC=90°，且AB=AC时， 四边形ADFE为正方形.理由：，∠BAC=90°，由(1)知四边形ADFE是平 行四边形，.□ADFE是矩形.又点D,E分别是AB,AC的中点，∴.AD= 2AB,AE=)AC.又：AB=AC,AD=AE.又：矩形ADFE,矩形 ADFE是正方形.23.解：(1)四边形EFGH是平行四边形.理由：连接 AC.:E,F分别是AB,BC的中点EF∥AC,EF=号AC.同理，GH∥ AC,GH=AC.“EF∥GH,EP=GH.∴四边形EFGH是平行四边形. (2)①当AC=BD时，四边形EFGH是菱形.证明：由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，当AC=BD时，FG=2BD,EF=2AC,∴FG=EF.∴四边 200