专题06 概率（5类经典基础题+3类优选提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第二册）

专题06 概率 概率的基本性质 1．（19-20高一下·安徽蚌埠·期末）从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．任意两个事件均互斥 B．任意两个事件均不互斥 C．事件与事件对立 D．事件与事件对立 （多选）2．（20-21高一下·广东广州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2 球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（    ） A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 （多选）3．（22-23高一下·甘肃·期末）某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（    ） A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件 C． D． （多选）4．（22-23高一下·广西·期末）下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上” B．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1．则甲组数提比乙组数据稳定 C．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数是3，众数是5 D．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式 （多选）5．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个互斥事件，则 C．若事件A与B相互对立，则 D．若事件A，B，C两两互斥，则 古典概型 （多选）1．（23-24高一上·河南南阳·期末）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（    ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 （多选）2．（23-24高一上·河南南阳·期末）下列情境适合用古典概型来描述的是（    ） A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置 B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况 C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌 D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶 3．（21-22高一下·全国·期末）天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281  9522  0018  7472  0129  3879  5869  2436  8460  3990 9533  7980  2692  8280  0753  8425  8935  3882  7890  5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为 . 4．（23-24高一上·河南漯河·期末）掷一枚骰子，记事件A：掷出的点数为偶数；事件B：掷出的点数大于2．下面说法正确的是 ． （1）  （2） （3） 5．（22-23高一下·山西大同·期末）某校高二年级共有800名学生参加2021年全国高中数学联赛初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩(单位:分)，并列出频数分布表如下: 分组 频数 5 7 13 10 5 (1)试估计该年级成绩不低于90分的学生人数； (2)成绩在区间上的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中随机选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生和一名女生的概率. 6．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．    (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 互斥事件与对立事件 1．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 2．（22-23高一下·山西朔州·期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（    ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 3．（22-23高一上·山东潍坊·期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生； B．至少有1名男生与全是女生； C．恰有1名男生与恰有2名男生； D．至少有1名男生与至少有1名女生． （多选）4．（22-23高一下·河北承德·期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与对立 D．与对立 事件的相互独立性 1．（23-24高一上·河南南阳·期末）甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·全国·期末）袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（    ） A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立 C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立 （多选）3．（22-23高一下·湖南长沙·期末）下列说法中正确的是（    ） A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． B．若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥． C．设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32 D．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分 （多选）4．（23-24高一下·辽宁·期末）同时拋郑两个质地均匀的四面分别标有的正四面体一次，记事件第一个四面体向下的一面出现偶数；事件第二个四面体向下的一面出现奇数；事件两个四面体向下的一面或同时出现奇数，或者同时出现偶数，则（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·全国·期末）某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立. (1)求小明4道题目至少答错1道题的概率； (2)若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率. 频率与概率 1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 2．（23-24高一上·河南·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 B．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．若事件两两互斥，则 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 3．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数； ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ④概率就是频率． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（22-23高一下·新疆喀什·期末）给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（　　） A．① B．② C．③ D．④ （多选）5．（2024·全国·模拟预测）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班的学生人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数 独立事件的乘法公式 1．（23-24高一上·江西南昌·期末）给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若事件A的对立事件为B，则A与B为互斥事件 B．若事件A和B的概率都不为0，且，则事件A与相互独立 C．若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 2．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为 ：该同学至少两次投中的概率为 . 3．（23-24高一上·河南驻马店·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为 ． 4．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立. (1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率； (2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率. 5．（23-24高一上·安徽·期末）与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 6．（23-24高一上·山东潍坊·期末）甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是. (1)分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 互斥事件的概率加法公式 1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·福建宁德·期末）设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（18-19高一下·辽宁沈阳·期末）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是 A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75 4．（23-24高一上·山东潍坊·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，则甲以获胜的概率为 . 5．（2024高一下·全国·专题练习）在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 6．（23-24高一上·江西赣州·期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门． (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率． 频率分布直方图 1．（17-18高一下·河南商丘·期末）某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图． 序号 分组（岁） 本组中“低碳族”人数 “低碳族”人数在本组所占的比例 1 [25, 30) 120 0.6 2 [30, 35) 195 p 3 [35, 40) 100 0.5 4 [40, 45) a 0.4 5 [45, 50) 30 0.3 6 [55, 60) 15 0.3 （一）人数统计表               （二）各年龄段人数频率分布直方图 (1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值； (2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率． 2．（21-22高一下·湖北鄂州·期末）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (2)若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 3．（23-24高一下·辽宁·期末）某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. (1)求和乙样本直方图中的值； (2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）. (3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率. 4．（23-24高一上·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”. (1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率； (2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率； (3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下： A组:； B组:. 写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）. 5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）2024年入冬以来，为了减少甲流对师生身体健康的影响，某学校规定师生进出学校需佩戴口罩，现将该学校1000位师生一周的口罩使用数量统计如下表所示，其中每周的口罩使用数量在6只以上（包含6只）的有700人． 口罩使用数量 频率 (1)求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图（不要求写出过程，画图即可）； (2)根据频率分布直方图估计该学校师生一周口罩使用数量的分位数和平均数（每组数据用每组中间值代替）； (3)按分层抽样的方法在前三组中抽取一个容量为6的样本，记第一组抽取的2人为．第二组抽取的1人为，第三组抽取的3人为，从这6人中随机抽取两人检查其健康状况记为事件，请列出事件的样本空间，并求这两人恰好来自同一组的概率． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 概率 概率的基本性质 1．（19-20高一下·安徽蚌埠·期末）从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．任意两个事件均互斥 B．任意两个事件均不互斥 C．事件与事件对立 D．事件与事件对立 【答案】C 【详解】从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测， 则可能情况有：件产品都是次品，件产品是次品，件产品是次品，件产品是次品； 记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件， 则事件、事件可能同时发生，故事件与事件不互斥，故A错误； 事件与事件不可能同时发生，故事件与事件互斥， 但是事件与事件可以都不发生，如出现件产品是次品或件产品是次品时， 故事件与事件不对立，故B、D错误； 事件“件产品不都是次品”，包含“件产品是次品”，“件产品是次品”，“件产品是次品”； 故事件与事件对立，故C正确； 故选：C （多选）2．（20-21高一下·广东广州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2 球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（    ） A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 【答案】AD 【详解】设是样本空间， A选项，由于，所以与是对立事件，A选项正确. B选项，由于“取出的球中，一个黄球一个白球”， 所以与不是互斥事件，B选项错误. C选项，由于“取出的球中，恰好有个白球”， 所以与不是对立事件，C选项错误. D选项，由于，所以，所以D选项正确. 故选：AD （多选）3．（22-23高一下·甘肃·期末）某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（    ） A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件 C． D． 【答案】BC 【详解】因为表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，A错误， 事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥且和事件为全集，事件A和事件C是对立事件，B正确． 又因为，所以，C选项正确；，D选项错误； 故选：BC． （多选）4．（22-23高一下·广西·期末）下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上” B．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1．则甲组数提比乙组数据稳定 C．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数是3，众数是5 D．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式 【答案】BC 【详解】对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误； 对于B，因为方差越小越稳定，故B正确； 对于C，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，则其中位数为3，众数为5，故C正确； 对于D，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故D错误． 故选：BC. （多选）5．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个互斥事件，则 C．若事件A与B相互对立，则 D．若事件A，B，C两两互斥，则 【答案】BC 【详解】对于A，A，B为两个互斥事件，但A，B不一定为对立事件， 故“A与B互斥”不是“A与B相互对立”的充分不必要条件，A错误； 对于B，根据互斥事件的概率加法公式可知， 若A，B为两个互斥事件，则，B正确； 对于C，事件A与B相互对立，则，正确； 对于D，取掷骰子试验中，事件A：出现1点，事件B：出现2点，事件C：出现3点， 事件A，B，C两两互斥，且其概率都是， 但，D错误， 故选：BC 古典概型 （多选）1．（23-24高一上·河南南阳·期末）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（    ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 【答案】AB 【详解】对于A，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有36个基本事件， 两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有： ， ，共19种， 则甲获胜的概率为，乙获胜概率小于，故此种情况对甲有利，A正确； 对于B，两次掷出的点数中最大的点数大于4，最大的点数为5或6， 最大的点数为5时，基本事件共有9个，最大的点数为6时，基本事件共有11个， 此时共有20个基本事件，则甲获胜的概率为，故此种情况对甲有利，B正确； 对于C，两次掷出的点数之和是偶数，共有， ，共18个基本事件， 则两次掷出的点数之和是奇数，也有18个基本事件， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利； 对于D，两次掷出的点数是一奇一偶，则基本事件有个， 两次掷出的点数均是奇数或者偶数，基本事件也是个， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利； 故选：AB （多选）2．（23-24高一上·河南南阳·期末）下列情境适合用古典概型来描述的是（    ） A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置 B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况 C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌 D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶 【答案】BC 【详解】对于A，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误，对于B，实验结果有限且等可能，故正确，对于C，实验结果有限且等可能，故正确，对于D，显然实验并非等可能，故错误. 故选：BC 3．（21-22高一下·全国·期末）天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281  9522  0018  7472  0129  3879  5869  2436  8460  3990 9533  7980  2692  8280  0753  8425  8935  3882  7890  5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为 . 【答案】/0.45 【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有3281，9522，0018，0129，8460，9533，2692，0753，8425，共9组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为. 故答案为： 4．（23-24高一上·河南漯河·期末）掷一枚骰子，记事件A：掷出的点数为偶数；事件B：掷出的点数大于2．下面说法正确的是 ． （1）  （2） （3） 【答案】（3） 【详解】掷一枚骰子共6种情况，偶数点有2，4，6，大于2的点有3，4，5，6， 则，，，故（1）错误； 表示既为偶数又是小于等于2的点，只有2，所以， 表示既为奇数又是大于2的点，有3，5，所以，，故(2)错误； 表示既为偶数又是大于2的点，有4，6，所以， 表示既是奇数又是小于等于2的点，有1，所以，，故（3）正确. 故答案为：（3） 5．（22-23高一下·山西大同·期末）某校高二年级共有800名学生参加2021年全国高中数学联赛初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩(单位:分)，并列出频数分布表如下: 分组 频数 5 7 13 10 5 (1)试估计该年级成绩不低于90分的学生人数； (2)成绩在区间上的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中随机选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生和一名女生的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）估计该年级成绩不低于90分的学生人数为. （2）分别记男生为1，2，3号，女生为4，5号，从中随机选出2名学生，对应的样本空间， 共有10个样本点，每个样本点发生的可能性相等. 设事件 “恰好选中一名男生和一名女生”，则事件包含的样本点有：，共6个， 所以. 6．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．    (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）事件E的样本点有：． （2）样本空间为：， 其中事件F包含的样本点只有：， 所以事件F发生的概率． 互斥事件与对立事件 1．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【答案】D 【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次， 对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D 2．（22-23高一下·山西朔州·期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（    ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 【答案】D 【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误； 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确. 故选：D. 3．（22-23高一上·山东潍坊·期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生； B．至少有1名男生与全是女生； C．恰有1名男生与恰有2名男生； D．至少有1名男生与至少有1名女生． 【答案】C 【详解】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误； 对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误； 对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确； 对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误. 故选：C. （多选）4．（22-23高一下·河北承德·期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与对立 D．与对立 【答案】ABD 【详解】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，A正确. 事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以与互斥，B正确. 事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误. 事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”， 与对立，D正确. 故选：ABD. 事件的相互独立性 1．（23-24高一上·河南南阳·期末）甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是 则不获一等奖的概率分别是 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： 这三人都获得一等奖的概率为 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率 故选:D. 2．（21-22高一下·全国·期末）袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（    ） A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立 C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立 【答案】B 【详解】有放回摸出两张卡片的样本空间： ，共25个结果， 事件，共10个结果，， 事件，共5个结果，， 事件，共3个结果，， 事件，共5个结果，， 对于A，，，，事件M与Q不相互独立，A错误； 对于B，，，，事件N与R相互独立，B正确； 对于C，，，，事件N与Q不相互独立，C错误； ，，，事件Q与R不相互独立，D错误. 故选：B （多选）3．（22-23高一下·湖南长沙·期末）下列说法中正确的是（    ） A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． B．若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥． C．设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32 D．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分 【答案】ACD 【详解】对于A，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的； 对于B，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，所以不正确； 对于C，设样本数据的均值为，则，方差为，则， 所以新样本的均值为，方差为，故C正确； 对于D，由题意，可得高一年级抽取的样本量为×450＝90， 高二年级抽取的样本量为×350＝70. 高一和高二数学竞赛的平均分约为×80＋×90＝84.375(分)，故D正确. 故选：ACD. （多选）4．（23-24高一下·辽宁·期末）同时拋郑两个质地均匀的四面分别标有的正四面体一次，记事件第一个四面体向下的一面出现偶数；事件第二个四面体向下的一面出现奇数；事件两个四面体向下的一面或同时出现奇数，或者同时出现偶数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】依题意，， ，故选项A正确，B不正确； 因为，为相互独立事件， 所以，故选项C正确； 又因为事件、、不可能同时发生， 所以，故选项D不正确； 故选：AC. 5．（21-22高一下·全国·期末）某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立. (1)求小明4道题目至少答错1道题的概率； (2)若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）小明同学4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对， 所以小明同学4道题目至少答错1道题的概率为. （2）由题意得，要使得面试分数不低于8分，若只答对2题，则应是第3题和第4题；若只答对三题或全部答对，面试得分均不低于8分. 设事件A，B，C，D分别为小明答对第1，2，3，4题， 则小明面试成功的概率 . 频率与概率 1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 【答案】C 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石， 故选：C 2．（23-24高一上·河南·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 B．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．若事件两两互斥，则 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 【答案】D 【详解】对于A项，由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，故A错误； 对于B项，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，故B错误； 对于C项，事件两两互斥，比如投掷质地均匀的骰子试验中，三个事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件发生的概率为，故C错误； 对于D项，任意投掷两枚质地均匀的骰子共包含36个等可能的样本点， 其中点数和是3的倍数的情况有，共12个样本点， 根据古典概型的概率公式，可得概率是，故D正确. 故选：D. 3．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数； ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ④概率就是频率． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①：频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，二者都可以反映频繁程度，故①正确； 对于②：试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故②正确； 对于③：各个试验结果的频率之和一定等于，故③错误； 对于④：概率是大量重复试验后频率的稳定值，故④错误； 故选：C. 4．（22-23高一下·新疆喀什·期末）给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值， 一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误； 对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误； 对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误； 对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，④正确. 故选：D. （多选）5．（2024·全国·模拟预测）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班的学生人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数 【答案】AB 【详解】选项A：显然（2）班学生的数学成绩的优秀率最高，故A正确； 选项B：只根据优秀率的大小，无法比较每个班人数的多少，故B正确； 选项C：该年级全体学生数学成绩的优秀率为全年级数学成绩优秀的学生人数与全年级学生总人数之比， 由于各班的学生人数不知道，所以不能计算该年级全体学生数学成绩的优秀率，故C错误； 选项D：设（1）班、（2）班数学成绩优秀的人数分别为x，y，（1）班、（2）班人数分别为a，b， 则，，得，，又（1）班和（2）班放在一起统计的优秀率为83%， 即，即，即，得，则，故D错误． 故选:AB. 独立事件的乘法公式 1．（23-24高一上·江西南昌·期末）给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若事件A的对立事件为B，则A与B为互斥事件 B．若事件A和B的概率都不为0，且，则事件A与相互独立 C．若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 【答案】C 【详解】对A：若、是对立事件，则前提是、为互斥，故A正确； 对B：因为，且，，所以、相互独立，故B正确； 对C：若，则，，所以一组数据的每个数都加上同一个正数，那么平均数改变，方差不变.故C错误； 对D：对一组数据，，说明这组数据是常数，故众数唯一.故D正确. 该题要选出不正确的说法. 故选：C 2．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为 ：该同学至少两次投中的概率为 . 【答案】 【详解】因为甲同学每次投中的概率都是，连续投3次，则投不中的概率为， 所以甲同学恰好只有第3次投中的概率为， 至少两次投中的概率为. 故答案为：；. 3．（23-24高一上·河南驻马店·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为 ． 【答案】/ 【详解】系统能正常工作，则至少有个能正常工作且能正常公式， 所以系统能正常工作的概率为. 故答案为： 4．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立. (1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率； (2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率. 【答案】(1) (2)7种， 【详解】（1）A组在参加两场比赛后得分为3分的概率为 （2）四组总积分一样，可以每次都是平局， 也可以每组学生是一胜一负一平. 如: A胜B负，A负C胜，AD平 BC平，B胜D负，C负D胜 不难发现，A的三种情况确定后，比赛结果是确定的， 所以只要去看可能出现的情况， A胜B负，A负C胜，AD平， A负B胜，A胜C负，AD平 A胜B负，A负D胜，AC平 ， A负B胜，A胜D负，AC平 A胜C负，A负D胜，  AB平 ， A负C胜，A胜D负，AB平 共6+1=7种 5．（23-24高一上·安徽·期末）与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“甲答对”，“乙答对”， 则，，，， “甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥 由三人答题互不影响，知A，互相独立，则A与，与，与均相互独立， 则， 所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为. （2）设“丙答对”，则， 设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知， ，解得， 所以的值为. 6．（23-24高一上·山东潍坊·期末）甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是. (1)分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记事件A：甲机床加工的零件是一等品，事件B：乙机床加工的零件是一等品，且A与B相互独立， 由题意得，，所以， 解得. （2）记事件C：从甲加工的零件中取两个都不是一等品， 事件D：抽取的三个零件至少有一个一等品，则， 所以. 互斥事件的概率加法公式 1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，， ∴， ∵事件A，B是互斥事件， ∴． 故选：C 2．（22-23高一下·福建宁德·期末）设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为两个互斥事件，，， 所以，即，且. 故选：B． 3．（18-19高一下·辽宁沈阳·期末）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是 A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75 【答案】D 【详解】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25， 所以摸出黑球的概率是， 因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件， 所以摸出黑球或红球的概率，故选D. 4．（23-24高一上·山东潍坊·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，则甲以获胜的概率为 . 【答案】 【详解】由题意可得，甲、乙的比分为后，甲、乙又进行了4场比赛，每场比赛结果相互独立， 前2场甲一胜一负，最后2场甲连胜. 则甲以赢得比赛的概率为. 故答案为： 5．（2024高一下·全国·专题练习）在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 【答案】(1)0.84 (2)0.93 【详解】（1）分别记小明的成绩“不低于90分”“[80,89]”“[70,79]”“[60,69]”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥． 则小明的成绩不低于70分的概率是. （2）解法一：小明数学考试及格的概率是. 解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是. 6．（23-24高一上·江西赣州·期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门． (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）用，分别表示“选择物理”“选择历史”，，，，分别表示“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”， 则所有选科组合的样本空间 则 设表示“从所有选科组合中任意选取1个，有选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求” 则 则 则． （2）设甲、乙两人每人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别为，，由题意知事件，相互独立 由（1）知 记“甲、乙两人中恰好有一人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”， 则 易知事件，两两互斥， 根据互斥事件概率加法公式得 ． 频率分布直方图 1．（17-18高一下·河南商丘·期末）某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图． 序号 分组（岁） 本组中“低碳族”人数 “低碳族”人数在本组所占的比例 1 [25, 30) 120 0.6 2 [30, 35) 195 p 3 [35, 40) 100 0.5 4 [40, 45) a 0.4 5 [45, 50) 30 0.3 6 [55, 60) 15 0.3 （一）人数统计表               （二）各年龄段人数频率分布直方图 (1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值； (2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率． 【答案】(1)频率分布直方图见解析；，，； (2) 【详解】（1）结合频率分布直方图可知，第二组的频率为， 所以第二组高为．故补全频率分布直方图如下： 结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为，频率为，所以； 因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以； 因为第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以． （2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为， 所以采用分层抽样法抽取6人，则在岁中抽取4人，在岁中抽取2人． 设年龄在中被抽取的4个人分别为：； 年龄在岁中被抽取的2个人分别为：； 则总的基本事件有：,,,,,……，共20个； 记“岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件C，而事件C包含的基本事件有8个； 所以. 2．（21-22高一下·湖北鄂州·期末）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (2)若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】(1) (2) (3)10 【详解】（1）解：设这人的平均年龄为， 则（岁； （2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为， 第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙， 对应的样本空间为，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15个样本点． 分设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”， 则，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9个样本点， 所以； （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为； 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10 3．（23-24高一下·辽宁·期末）某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. (1)求和乙样本直方图中的值； (2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）. (3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率. 【答案】(1)；； (2)平均值81.5，中位数82； (3) 【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则，解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得； （2）甲样本数据的平均值估计值为 ， 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为， ， 解得，所以乙样本数据的中位数为82. （3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人， 将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为， 则从这6人中随机抽取2人的基本事件有 ，共15个， 所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为. 4．（23-24高一上·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”. (1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率； (2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率； (3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下： A组:； B组:. 写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）. 【答案】(1)0.3 (2) (3)81或84 【详解】（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，        所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3. （2）样本中，组中有人，组中有人，                 从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为： 共包含15 个样本点, 记事件A：两人来自同一组， 则，共包含7个样本点， 所以这2人来自同一组的概率 . （3）这两组学生的得分记录：A组:； B组:. 方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等， 对比两组数据，可知：或. 5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）2024年入冬以来，为了减少甲流对师生身体健康的影响，某学校规定师生进出学校需佩戴口罩，现将该学校1000位师生一周的口罩使用数量统计如下表所示，其中每周的口罩使用数量在6只以上（包含6只）的有700人． 口罩使用数量 频率 (1)求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图（不要求写出过程，画图即可）； (2)根据频率分布直方图估计该学校师生一周口罩使用数量的分位数和平均数（每组数据用每组中间值代替）； (3)按分层抽样的方法在前三组中抽取一个容量为6的样本，记第一组抽取的2人为．第二组抽取的1人为，第三组抽取的3人为，从这6人中随机抽取两人检查其健康状况记为事件，请列出事件的样本空间，并求这两人恰好来自同一组的概率． 【答案】(1)；直方图见解析 (2)个，个 (3)答案见解析， 【详解】（1）由每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有700人得： ， 故所求， 频率分布直方图如下： （2）由（1）知，又因为口罩使用数量在的频率是0.3， ， 所以假设分位数为， 则， 由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为： （个）， 故估计所求分位数为9个，平均数估计为7个. （3）可知样本空间： ， 共含有15个样本点，可以认为这个样本点出现的可能性是相等的． 记“这两个人来自同一组”为事件，则， 样本点有4个，故. 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