精品解析：2024年湖南省初中学业水平考试BEST联考中考三模数学试题

2024年湖南省初中学业水平考试模拟试卷 数学(BEST联考三) 考试时量：120分钟满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. “仓廪实，天下安”．确保粮食丰产丰收、大国粮仓根基稳固，是维护社会和谐稳定、经济健康发展、国家长治久安的重要保障．2023年，全国粮食总产量创历史新高，增产17760000000斤．数据17760000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国是第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)的国家．下列奥运会徽是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线直线b， 为直角三角形，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不同种类的药品的保存温度有区别．已知甲药品的保存温度为，乙药品的保存温度为．若将甲、乙两种可以共同存放的药品放在一起保存，则下列能符合要求的温度是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 一组数据，，，，的众数和中位数都是5 B. 圆内接四边形的对角互补 C. 式子在实数范围内有意义的条件是 D. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 8. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴于点B．若，则k的值为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 不能确定 10. 如图，点E在线段 上(点E不与点A，C重合)，设， ．已知，，连接．下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分) 11. 分解因式：________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则______． 13. 如图，在菱形中，对角线 和相交于点O，点E为的中点，连接．若 ， ，则 ______． 14. 若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____． 15. 2024年4月23日是第29个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占 、“语言表达”占 、“形象风度”占 、“整体效果”占 进行计算．小芳这四项的得分依次为85，95，92，88，则她的最后得分是______分． 16. 如图，正六边形 中，对角线 与相交于点，则___________度． 17. 如图，一个圆锥形烟囱帽的底面圆半径为，母线长为 ．若将这个烟囱帽的外侧面用油漆涂成红色，则需要涂成红色部分的面积为______．(结果保留) 18. 如图，在等腰 中，．以点C为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，连接；以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点G，F，再分别以点G，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在 内部交于点H，作射线 ，交 于点D．若，则的度数为______． 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22、23、24题每小题8分，第25题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 计算：． 20. 解不等式组： 21. 如图2是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线(整个过程中风筝线近似的看作线段)与水平线构成的角的余弦值是，线段表示小红的身高，为． （1）若风筝的水平距离，求此时风筝线的长度； （2）若她从点A跑动 到达点B处，风筝线与水平线构成角，风筝的水平移动距离，从点A跑到点B的过程中风筝线的长度保持不变，求小红跑动前风筝的高度(参考数据：)． 22. 某校开展数学文化节活动，预计用3600元网购数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．已知《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用1800元购买《几何原本》比用1800元购买《九章算术》可多买20本． （1）求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元； （2）学校实际购买时，恰逢该网上书店进行促销活动，所有图书均按原价的八折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共120本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？ 23. 为推进特色学校创建工作，丰富学生们的体育活动，某校准备成立四个球类活动社团：A．篮球；B．乒乓球；C．足球；D．羽毛球．为了解学生对四个球类活动社团的喜爱情况，随机选取学校部分学生进行调查，要求每名学生从中选择一个最喜爱的社团．根据调查结果，绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查中，抽查的学生总数是______人，扇形统计图中m的值是______； （2）补全条形统计图； （3）现从参加羽毛球社团的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机选取两名同学参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 24. 如图， 是 的直径，弦 ，垂足为H，过点C作直线分别与 的延长线交于点E，F，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若，；求的长． 25. 定义：如果两个相似三角形的其中一组对应角有一条公共边，则称它们为“友谊三角形” （1）【初步理解】如图1，在四边形中，对角线 平分 ， ，求证：和为“友谊三角形”； （2）【尝试应用】在(1)的基础上，如图2，若，， ，求四边形的周长； （3）【拓展应用】如图3，在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的点，且 ， ．若点C是直线 在第一象限上的一点，且 和 为“友谊三角形”，求四边形 的面积． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线(a，b，c为常数，且 )与x轴交于，B两点，与y轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上有一点P，过点P作轴，垂足为M，交直线于点N．若的面积为，试求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新的抛物线，如图2，点E为新抛物线上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，是否存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖南省初中学业水平考试模拟试卷 数学(BEST联考三) 考试时量：120分钟满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算等知识．熟练掌握实数的大小比较，无理数的估算是解题的关键． 由，可得，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2. “仓廪实，天下安”．确保粮食丰产丰收、大国粮仓根基稳固，是维护社会和谐稳定、经济健康发展、国家长治久安的重要保障．2023年，全国粮食总产量创历史新高，增产17760000000斤．数据17760000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据17760000000用科学记数法可以表示为 故选：D 3. 中国是第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)的国家．下列奥运会徽是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，掌握同底数幂除法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项的方法是解题关键．根据运算法则逐项判断即可． 【详解】A．，该选项正确； B．，该选项错误； C．，该选项错误； D．无法运算，该选项错误； 故选：A． 5. 如图，直线直线b，为直角三角形，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 先求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵为直角三角形，， ， ∵直线， ， ， 故选：B． 6. 不同种类的药品的保存温度有区别．已知甲药品的保存温度为，乙药品的保存温度为．若将甲、乙两种可以共同存放的药品放在一起保存，则下列能符合要求的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了不等式的应用，解题的关键是读懂题意，搞懂甲药品冷库储藏温度和乙药品冷库储藏温度的要求．根据甲、乙两种药品的存放范围，得出甲、乙两种共同存放在一起的温度范围，即可得出答案， 【详解】解：∵甲药品的保存温度为，乙药品的保存温度为， ∴甲、乙两种共同存放在一起保存时的温度范围是：， ∴四个选项中，只有C选项符合要求． 故选：C． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 一组数据，， ，，的众数和中位数都是5 B. 圆内接四边形的对角互补 C. 式子在实数范围内有意义的条件是 D. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数，圆内接四边形对角互补，二次根式有意义的条件，等腰三角形的性质，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 一组数据，， ，，重新排列为： ，，，， 则众数和中位数都是5，故该选项正确，不符合题意； B. 圆内接四边形的对角互补，故该选项正确，不符合题意； C. 式子在实数范围内有意义的条件是 ，故该选项正确，不符合题意； D. 等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的角平分线互相重合，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 8. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 根据y随x的增大而增大，而增大可得到，然后再解不等式即可解答． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而增大， ，解得： ． 故选C． 9. 如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴于点B．若，则k的值为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义．根据反比例函数中比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数性质确定得值． 【详解】解：轴， ， ， ． 故选：A． 10. 如图，点E在线段上(点E不与点A，C重合)，设， ．已知，，连接．下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 根据得出，，再结合选项一一判断即可； 【详解】解：∵，， ∴，， A．若，则， ， ∴ ，故A正确； B．若，则，故B正确； C．作于点H，则， ∴(直角三角形中斜边最长)，故C正确； D．∵， ， ∵， ， ，故D错误； 故选：D． 二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分) 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 12. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称两点坐标特征，根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数这一特征求解即可． 【详解】解：已知点与点关于原点对称， 则，即 故答案为： 13. 如图，在菱形中，对角线和相交于点O，点E为的中点，连接．若 ， ，则 ______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得，由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ∵是的中点， ， ， 故答案为：5． 14. 若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____． 【答案】k≤5 【解析】 【详解】解：由题意得，42-4×1×（k-1）≥0, 解之得 k≤5. 点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根. 15. 2024年4月23日是第29个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占 、“语言表达”占 、“形象风度”占 、“整体效果”占 进行计算．小芳这四项的得分依次为85，95，92，88，则她的最后得分是______分． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：她的最后得分是(分)， 故答案为：90． 16. 如图，正六边形 中，对角线与相交于点，则___________度． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，明确正六边形的每条边相等，每个角相等是解答此题的关键．由正六边形的性质得出，，，由等腰三角形的性质得出，，求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵六边形 是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： ． 17. 如图，一个圆锥形烟囱帽的底面圆半径为，母线长为 ．若将这个烟囱帽的外侧面用油漆涂成红色，则需要涂成红色部分的面积为______．(结果保留) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为 ， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案为：． 18. 如图，在等腰中，．以点C为圆心，以 长为半径画弧，交于点E，连接；以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点G，F，再分别以点G，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点H，作射线 ，交于点D．若，则的度数为______． 【答案】 ##26度 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 根据作图可知，平分，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出 ，，，根据角平分线定义求出即可． 【详解】根据作图可知，平分， ， ， ， ， ， ∵平分， ， 故答案为： ． 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22、23、24题每小题8分，第25题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 20. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，得出答案即可，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：， 移项得： 不等式左右同除以 得： ； ， 去括号得：， 移项得：， 解得：； ∴该不等式组的解集为 ． 21. 如图2是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线(整个过程中风筝线近似的看作线段)与水平线构成的角的余弦值是，线段表示小红的身高，为． （1）若风筝的水平距离，求此时风筝线的长度； （2）若她从点A跑动 到达点B处，风筝线与水平线构成角，风筝的水平移动距离，从点A跑到点B的过程中风筝线的长度保持不变，求小红跑动前风筝的高度(参考数据：)． 【答案】（1）风筝线的长度为 （2）小红跑动前风筝的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识．熟练掌握解直角三角形的应用，勾股定理是解题的关键． （1）由题意知，，即，计算求解即可； （2）由题意知，，， ，设风筝线长为．则，，可求，，由，可得，可求，则．由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，即， 解得，， 答：此时风筝线的长度为； 【小问2详解】 解：由题意知，，， ， 设风筝线长为． ∴，， 解得，，， ∴，即， 解得， ∴． 由勾股定理得， ∴． 答：小红跑动前风筝的高度为． 22. 某校开展数学文化节活动，预计用3600元网购数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．已知《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用1800元购买《几何原本》比用1800元购买《九章算术》可多买20本． （1）求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元； （2）学校实际购买时，恰逢该网上书店进行促销活动，所有图书均按原价的八折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共120本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？ 【答案】（1）《几何原本》的单价为30元，《九章算术》的单价为45元 （2）学校至少购买了60本《几何原本》 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的知识，解题的关键是掌握分式方程的运用，一元一次不等式方程的运用． （1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元，根据题意，列出方程求解即可； （2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，根据题意，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：《几何原本》的单价为30元，《九章算术》的单价为45元； 【小问2详解】 设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》． 由题意得， 解得． 答：学校至少购买了60本《几何原本》． 23. 为推进特色学校创建工作，丰富学生们的体育活动，某校准备成立四个球类活动社团：A．篮球；B．乒乓球；C．足球；D．羽毛球．为了解学生对四个球类活动社团的喜爱情况，随机选取学校部分学生进行调查，要求每名学生从中选择一个最喜爱的社团．根据调查结果，绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查中，抽查的学生总数是______人，扇形统计图中m的值是______； （2）补全条形统计图； （3）现从参加羽毛球社团的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机选取两名同学参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）50；36 （2） 补全条形统计图如下图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，解题的关键是掌握列表或画树状图的方法求出所有的结果数． （1）由“D”有10人占被调查的可得本次调查的学生总数，由“A”有18人，本次调查的学生总数50人，求出扇形统计图中m的值； （2）求出“B”的人数，再补全条形统计图即可； （3）列树状图求出所有结果数，再用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：抽查的学生总数是 人， 扇形统计图中m的值是， 故答案为：50，36； 【小问2详解】 解：选择B的学生人数为：（人）． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，一共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的情况有2种， ∴恰好选中甲和乙两名同学的概率为． 24. 如图，是的直径，弦 ，垂足为H，过点C作直线分别与 的延长线交于点E，F，且 ． （1）求证：是的切线； （2）若，；求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵是的直径，弦 ， ∴， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴，即． 又∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由垂径定理得到 ，由圆周角定理和已知条件证明 ，进而可证明，由此即可证明是的切线； （2）由垂径定理和圆的性质得到，解直角三角形得到 ，则 ，解直角三角得到，，则，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ． ∵ ，， ∴， ∴， ∴ ． 在 中， ． 在 和 中， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 25. 定义：如果两个相似三角形的其中一组对应角有一条公共边，则称它们为“友谊三角形” （1）【初步理解】如图1，在四边形中，对角线平分 ， ，求证：和为“友谊三角形”； （2）【尝试应用】在(1)的基础上，如图2，若，， ，求四边形的周长； （3）【拓展应用】如图3，在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的点，且 ， ．若点C是直线 在第一象限上的一点，且 和 为“友谊三角形”，求四边形 的面积． 【答案】（1） 解：∵对角线平分∠BAD， ∴ ． 在中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ，且为 和的公共边， ∴和为“友谊三角形”． （2）23； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了新定义“友谊三角形”等腰三角形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判断与性质等知识，掌握“友谊三角形”的定义是解题的关键． （1）根据“友谊三角形”的定义，由相似三角形的性质可求证； （2）由，得到 ，进上步得到 ，证明 ，得出，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当 时，②当 时，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， 即， ∴，， ∴四边形的周长为： ． 【小问3详解】 解：∵点C是直线 在第一象限上的一点， ∴平分 ，即 ． 又∵ 和 为“友谊三角形”， ∴有下列两种情形： ①当 时，，即 ， ∴， 如图，作 轴于点M， 轴于点N， ∴ 和 都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ②当 时， ，而 ， ∴此情况不存在， 综上所述，四边形 的面积为． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线(a，b，c为常数，且 )与x轴交于，B两点，与y轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）在直线 下方的抛物线上有一点P，过点P作轴，垂足为M，交直线 于点N．若的面积为，试求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新的抛物线，如图2，点E为新抛物线上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，是否存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点P的坐标为 （3）存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出直线 的函数解析式为 ，根据题意得到也是等腰直角三角形，由，求出，进而得到，即可求出答案； （3）根据平移法则得到抛物线的解析式为，设点，分为 为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将点，分别代入， 得， 解得． ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴ ，即 ， ∴， ∴， ，， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可得点B的坐标为． 由点，可求得直线 的函数解析式为 ． ∵ ，， ∴是等腰直角三角形． 又∵轴， ∴也是等腰直角三角形， ∴． ∵的面积为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即点M的坐标为， ∴点P的横坐标为， ∴点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：存在．理由如下： ∵点，点， ∴ ， ， ∴． ∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， ∴抛物线的解析式为． 设点． ①当 为对角线时，如图1， ∴，解得， 此时点E的坐标为． ②当为对角线时，如图2， ∴，解得， 此时点E的坐标为； ③当为对角线时，如图3， ∴，解得， 此时点E的坐标为． 综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，等腰三角形的性质，二次函数与特殊四边形的综合题，二次函数的面积问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想及分类讨论的数学思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $