衔接点03 因式分解（能力进阶）-2024年初升高数学无忧衔接（通用版）

衔接点03 因式分解 1、熟练掌握提公因式法和公式法 2、能灵活应用十字相乘法 3、了解分组分解法 一、初中知识再现 1、因式分解定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解. 2、提公因式法 （1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: （2）概念内涵: ①因式分解的最后结果应当是“积”； ②公因式可能是单项式,也可能是多项式； ③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: 3、公式法： 3.1公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 3.2公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 4、十字相乘法 4.1十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 特别说明： （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则,同号(若，则,异号)，然后依据一次项系数的正负再确定,的符号 （2）若中的,为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 4.2首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 5、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 6、求根公式法 对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：. 二、高中相关知识 1、乘法公式中的立方和、立方差公式： ① ② 2、因式分解中的立方和、立方差公式 ① ② 对点特训一：提公因式法因式分解 典型例题 例题1．（23-24八年级下·全国·课后作业）将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先利用提公因式法法进行因式分解，即可确定公因式和另一个因式． 【详解】解： ， ∴公因式是，另一个因式为． 故选：B 例题2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了分解因式和代数式求值综合．解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，整体代入法求代数式的值． 先提取公因式，然后把，代入整式即可得出答案． 【详解】∵，， ∴ ． 故答案为：15． 精练 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）把多项式分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了提公因式法分解因式等知识，利用提公因式法将分解为，问题得解． 【点睛】解：． 故选：C 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法成为解题的关键． （1）先提取公因式a，然后再运用完全平方公式因式分解即可； （2）直接提取公因式即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解：． 对点特训二：运用公式法分解因式 典型例题 例题1．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 解：原式 ． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： 请用配方法分解因式： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解—配方法，熟练掌握完全平方公式与完全正确平方公式是解题的关键． （1）仿例题中的配方法，根据完全平方公式和平方差公式即可得求解； （2）仿例题中的配方法，根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 例题2．（23-24七年级下·江苏常州·期中）把下列各式进行因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提取公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）利用完全平方公式进行二次分解即可； （2）利用平方差公式进行因式分解即可； （3）原式提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： 精练 1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】(1)先提取公因式，再套用公式分解即可． (2) 先提取公因式，再套用公式分解即可． (3)平方差公式分解即可． (4)完全平方公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查因式分解．掌握分组分解法，是解题的关键． （1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用平方差公式法进行因式分解，根据结果进行说明即可． 【详解】（1）解： ； （2） ∴因式能被9整除． 对点特训三：首项系数为“1”的二次三项式因式分解 典型例题 例题1．（2024·江西吉安·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，根据十字相乘法即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 例题2．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法进行因式分解． 【详解】解： ∵， ∴． 故答案为：． 题型归类练 1．（23-24九年级下·上海·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，利用十字相乘法求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．（23-24八年级上·重庆璧山·期末）因式分解的结果是 ． 【答案】 【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握进行因式分解是解题的关键． 【详解】， 故答案为：． 对点特训四：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解 典型例题 例题1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若是多项式（m为系数）的一个因式，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法，利用十字相乘法很容易确定的值，解题的关键是熟练掌握十字相乘法． 【详解】解：∵多项式分解因式后含有因式， ， 则， 故选：C． 例题2．（2023八年级上·全国·专题练习）十字相乘法分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查十字法因式分解的应用： （1），从而运用十字相乘法可分解因式； （2），从而运用十字相乘法可分解因式 【详解】（1） （2） ． 精练 1．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键． 2．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式： (1)． 【答案】(1) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解： （1）运用十字相乘法进行因式分解，即可作答； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：． 对点特训五：含参数的十字相乘法 典型例题 例题1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）解下列关于x的不等式： (1)． 【答案】当时，；当时，不等式无解；当时，． 【分析】本题考查利用因式分解法解一元二次不等式． （1）将不等式左边因式分解，再根据“两数相乘，同号得正，异号得负”即可转化为一元一次不等式组，根据a的取值分类讨论求解即可． 【详解】（1）， 不等式化为， ∴或 ∴或， 当，即时，； 当，即时，不等式无解； 当，即时，． 例题2．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）分解因式： (1) 【答案】(1) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可； 【详解】（1）解： ； 题型归类练 1．（23-24八年级上·四川内江·期中）因式分解 (1) 【答案】(1) 【分析】 本题考查了因式分解． （1）运用十字相乘法分解因式即可． 熟练掌握各种分解因式的方法是解题的关键． 【详解】（1）． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）（1）因式分解： 【答案】（1） 【详解】解：（1）原式． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 对点特训六：十字相乘法的综合应用 典型例题 例题1．（23-24八年级上·云南保山·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式． 如：①因为，所以和是的因式． ②若是的因式，则求常数的值的过程如下： 解：是的因式， 存在一个整式，使得． 当时，，此时． 将代入得，，解得． (1)是的因式吗？______（填“是”或“不是”）； (2)若整式是的因式，求常数的值． 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法等和因式分解-分组分解法的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力． （1）根据因式分解-十字相乘法分解因式即可作出判断； （2）根据多项式乘法将等式展开有：，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：， 不是的因式， 故答案为：不是， （2）解：∵整式是的因式， 存在一个整式，使得， 当时，， 此时． 将代入得， ， 解得：． 例题2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为(为整数 因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有，即可将形如的多项式因式分解成(为整数． 例如：． 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是______； 【拓展应用】（3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 精练 1．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 材料 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 ． (1)根据材料 ，把分解因式． (2)结合材料和材料，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了因式分解．掌握十字相乘法和完全平方公式进行因式分解是解题的关键． （1）根据进行解答即可； （2）①将看成一个整体，令，分解因式，然后再还原即可；②令，原式可变为，即，进行因式分解可得，代换后进行因式分解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）①解：令， 原式 ∴； ②解：令， 原式 ∴原式 ， ∴． 2．（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 对点特训七：分组分解法（四项式，五项式，六项式等） 典型例题 例题1．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②． (2)已知的三边，，满足，试判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)等腰三角形 【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）①先分组，然后用提公因式法进行因式分解即可得到答案；②先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得到答案； （2）先利用因式分解，得到，再根据三角形的三边关系，得到，推出，即可判断的形状． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：等腰三角形，理由如下： ， ， ，，是的三边， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 例题2．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）在“探究性学习“小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）分组，利用提公因式法分解得到，再求得，整体代入求解即可； （3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非负数的性质即可求解. 【详解】（1）解 ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴原式； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 精练 1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题． （1）可先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式因式分解； （2）的公因式是，再次提公因式后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴， ∴ 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可； （2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； ②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 对点特训八：因式分解的应用 典型例题 例题1．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，画出图形，根据图形因式分解即可，利用等积法进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：如图： ∴， 故选：C． 例题2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案： 方案1：第一次提价的百分率为p，第二次提价的百分率为q． 方案2：第一、二次提价的百分率均为． 其中p、q是不相等的正数．设产品的原单价为a元时，上述两种方案使该产品的单价变为： (1)方案1：______；方案2：______； (2)两种方案中哪种提价多？请说明理由． 【答案】(1)， (2)方案2提价最多 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，得出每种方案提价后的单价．利用作差法比较大小． （1）根据各方案中的提价百分率，即可提出提价后的单价； （2）用作差法即可进行比较． 【详解】（1）解：方案1：提价后的单价：， 方案2：提价后的单价：， 故答案为：，． （2）解： ， ∵， ∴，则， ∴， ∴提价最多的是方案2． 精练 1．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 【答案】40岁，14岁 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意得到，将变形为，整体代入求出，即可求出，问题得解． 【详解】解：由题意，得， ∵， ∴， 解得， ∴． 答：父亲今年40岁，儿子今年14岁． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法．    (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； （）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积，长方体的体积公式，再结合结论即求解； （）由，，求出，然后代入求值即可； 本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． 【详解】（1）图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为 ∵拼图前后图形的面积不变， ， ∴可得一个多项式的分解因式为， 故答案为：； （2）由题意，得到的几何体的体积为， ∵，，， ∴长方体的体积为， ∵，，， ∴长方体的体积为， ∴， 则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为， 故答案为：；；；； （3）∵，， ∴， ∴ ， ． 一、单选题 1．（2024·河南驻马店·一模）下列等式，成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，解题关键是掌握整式运算法则，准确进行计算； 根据完全平方公式、平方差公式、幂的运算，因式分解判断即可． 【详解】解：A. ，原选项不符合题意； B. ，原选项符合题意； C. ，原选项不符合题意； D. ，原选项不符合题意； 故选：B． 2．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的值是（    ） A． B．24 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值． 先运用提公因式法分解因式，再把已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 3．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解．熟练掌握综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解的是解题的关键． 根据综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A中，因式分解不彻底，故不符合要求； B中，因式分解不彻底，故不符合要求； C中，不是因式分解，故不符合要求； D中，因式分解正确，故符合要求； 故选：D． 4．（23-24八年级上·河南南阳·期末）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，分别对各项因式分解，再逐一判断即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、不是完全平方公式，不能因式分解，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 5．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用提公因式法和公式法逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，分解因式不彻底，故此选项不符合题意； B．不符合分解因式的定义，故原选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，因式分解正确，符合题意． 故选：D． 6．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列多项式分解因式结果不含因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，含因式，不符合题意； 、，含因式，不符合题意； 、，不含因式，符合题意； 、，含因式，不符合题意； 故选：． 7．（23-24八年级上·重庆万州·期末）在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式.设，利用多项式相等得，，故可分解.此时，我们就说多项式既能被整除，也能被整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（    ） （1）能被整除； （2）若能被整除，则或； （3）若能被整除，则，. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】 本题考查了因式分解的应用，整式除法，解三元一次方程组； （1）因式分解，即可判断； （2）因式分解，即可判断； （3）由因式分解可设，展开对比系数得方程组，解方程组，即可判断； 理解因式分解，能对所给整式进行正确的因式分解是是解题的关键． 【详解】解：（1），能被整除，结论正确； （2），则或，结论正确； （3）能被整除， 将整式因式分解后， 有一个因式为， 设 ， ， ， 解得：， 结论正确； 综上所述：（1）（2）（3）都正确，正确的个数为； 故选：D． 8．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，根据提公因式法、公式法及十字相乘法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 二、填空题 9．（23-24八年级上·山东临沂·期末）若多项式可分解为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的法则．先将的括号展开，求出a和b的值，代入求解即可． 【详解】解：， ∵多项式可分解为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 10．（23-24八年级上·山东德州·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握．题型可以简单总结为以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简，该题属于①，将代数式化简再将已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：2． 三、解答题 11．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用平方差公式分解即可； （）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解； （）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解； （）先把看成一个整体，先利用完全平方公式进行分解，然后用平方差公式进行二次分解即可； 本题考查了因式分解的综合运用，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ； （4）解：原式， ， ， ． 12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． (1)例如：①， 是非负数，即，， 则这个代数的最小值是2，这时相应的x的值是； ②， 是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是__________，这时相应的x的值是__________； (2)知识再现：当__________时，代数式的最小值是__________； (3)知识运用：若，当__________时，y有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； (4)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)；2 (2)3；3 (3)1；大； (4) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式形式是解题关键． （1）根据解答过程即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解； （4）由题意得，则，即可求解； 【详解】（1）解：是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2 故答案为：；2 （2）解：， 是非负数，即，， 当时，代数式的最小值是 故答案为：3；3 （3）解：∵ 是非负数，即， ， ∴ ∴当时，y有最大值，这个值是， 故答案为：1；大； （4）解：∵， ∴， ∴ 是非负数，即， ∴ 即：的最小值为 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点03 因式分解 1、熟练掌握提公因式法和公式法 2、能灵活应用十字相乘法 3、了解分组分解法 一、初中知识再现 1、因式分解定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解. 2、提公因式法 （1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: （2）概念内涵: ①因式分解的最后结果应当是“积”； ②公因式可能是单项式,也可能是多项式； ③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: 3、公式法： 3.1公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 3.2公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 4、十字相乘法 4.1十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 特别说明： （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则,同号(若，则,异号)，然后依据一次项系数的正负再确定,的符号 （2）若中的,为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 4.2首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 5、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 6、求根公式法 对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：. 二、高中相关知识 1、乘法公式中的立方和、立方差公式： ① ② 2、因式分解中的立方和、立方差公式 ① ② 对点特训一：提公因式法因式分解 典型例题 例题1．（23-24八年级下·全国·课后作业）将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 例题2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，，则 ． 精练 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）把多项式分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）分解因式： (1)； (2)． 对点特训二：运用公式法分解因式 典型例题 例题1．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 解：原式 ． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： 请用配方法分解因式： (1) ； (2)． 例题2．（23-24七年级下·江苏常州·期中）把下列各式进行因式分解 (1) (2) (3) 精练 1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 对点特训三：首项系数为“1”的二次三项式因式分解 典型例题 例题1．（2024·江西吉安·一模）因式分解： ． 例题2．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： ． 题型归类练 1．（23-24九年级下·上海·阶段练习）分解因式： ． 2．（23-24八年级上·重庆璧山·期末）因式分解的结果是 ． 对点特训四：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解 典型例题 例题1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若是多项式（m为系数）的一个因式，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 例题2．（2023八年级上·全国·专题练习）十字相乘法分解因式： (1) (2) 精练 1．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： ． 2．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式： (1)． 对点特训五：含参数的十字相乘法 典型例题 例题1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）解下列关于x的不等式： (1)． 例题2．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）分解因式： (1) 题型归类练 1．（23-24八年级上·四川内江·期中）因式分解 (1) 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）（1）因式分解： 对点特训六：十字相乘法的综合应用 典型例题 例题1．（23-24八年级上·云南保山·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式． 如：①因为，所以和是的因式． ②若是的因式，则求常数的值的过程如下： 解：是的因式， 存在一个整式，使得． 当时，，此时． 将代入得，，解得． (1)是的因式吗？______（填“是”或“不是”）； (2)若整式是的因式，求常数的值． 例题2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为(为整数 因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有，即可将形如的多项式因式分解成(为整数． 例如：． 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是______； 精练 1．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 材料 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 ． (1)根据材料 ，把分解因式． (2)结合材料和材料，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 2．（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 对点特训七：分组分解法（四项式，五项式，六项式等） 典型例题 例题1．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②． (2)已知的三边，，满足，试判断的形状． 例题2．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）在“探究性学习“小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 精练 1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 对点特训八：因式分解的应用 典型例题 例题1．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案： 方案1：第一次提价的百分率为p，第二次提价的百分率为q． 方案2：第一、二次提价的百分率均为． 其中p、q是不相等的正数．设产品的原单价为a元时，上述两种方案使该产品的单价变为： (1)方案1：______；方案2：______； (2)两种方案中哪种提价多？请说明理由． 精练 1．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法．    (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 一、单选题 1．（2024·河南驻马店·一模）下列等式，成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的值是（    ） A． B．24 C． D．10 3．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河南南阳·期末）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列多项式分解因式结果不含因式的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·重庆万州·期末）在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式.设，利用多项式相等得，，故可分解.此时，我们就说多项式既能被整除，也能被整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（    ） （1）能被整除； （2）若能被整除，则或； （3）若能被整除，则，. A．0 B．1 C．2 D．3 8．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24八年级上·山东临沂·期末）若多项式可分解为，则的值为 ． 10．（23-24八年级上·山东德州·期末）若，则 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． (1)例如：①， 是非负数，即，， 则这个代数的最小值是2，这时相应的x的值是； ②， 是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是__________，这时相应的x的值是__________； (2)知识再现：当__________时，代数式的最小值是__________； (3)知识运用：若，当__________时，y有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； (4)知识拓展：若，求的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$