衔接点02 根式、分式的化简（能力进阶）-2024年初升高数学无忧衔接（通用版）

衔接点02 根式、分式的化简 1、能熟练把二次根式化简为最简根式 2、了解分式和最简分式 3、能熟练应用分式基本性质约分和通分 1、初中知识再现 （1）二次根式的定义 一般地，形如的式子叫做二次根式. （2）二次根式性质： ① ②[来源:学科网] ③ ④ （3）分式 形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式. （4）分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变.用式子表示为： 2、高中相关知识 2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式 2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：. 2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有： ①与 ②与 2.4繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如：或等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算. 对点特训一：二次根式有意义的条件 典型例题 例题1．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）函数有意义，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 例题2．（2024·江苏盐城·一模）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ． 精练 1．（2024·山东聊城·一模）使有意义的x的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 2．（2024年西藏自治区中考二模数学模拟试题）函数中自变量x的取值范围是 ． 对点特训二：求二次根式中的参数 典型例题 例题1．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 例题2．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足，则的值是 . 精练 1．（23-24八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 2．（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 对点特训三：二次根式的乘法与除法及其混合运算 典型例题 例题1．（23-24九年级上·四川成都·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 例题2．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）计算： (1) (2) 精练 1．（2024·河北衡水·一模）设，其中，，则M的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）小亮的作业本上有以下四题：（1）；（2）；（3）；（4）做错的题目是（    ） A．（1） B．（1）（3） C．（4） D．（1）（4） 对点特训四：最简二次根式 典型例题 例题1．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 例题2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 精练 1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 2．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 对点特训五：二次根式的加法与减法及其混合运算 典型例题 例题1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）点在数轴上的位置如图所示，则可以近似表示运算结果的点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 例题2．（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 精练 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）计算： (1) (2) 对点特训六：分母有理化 典型例题 例题1．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫作分母有理化． (1)化简：； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． (3)计算：． 例题2．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)仿照上面的解题过程化简： ＝ ＝ ． (2)请直接写出的化简结果： ． (3)利用上面的结论，通过计算试比较与的大小，并说明理由． 精练 1．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，，求． 2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）观察以下式子的化简过程： ①， ②， ③， ④， …… 根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题： (1)如果n为正整数，那么的值为______； (2)根据以上规律计算：的值． 对点特训七：二次根式化简求值 典型例题 例题1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 例题2．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，求代数式的值． 精练 1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知，，．求值： (1)； (2)求的值． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）计算：式子______（请直接写出这个常数）； （2）已知，求的值； （3）若的整数部分为x，小数部分为y，直接写出的值． 对点特训八：分式的意义 典型例题 例题1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 例题2．（2024·广东深圳·一模）先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值． 精练 1．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 2．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）先化简，然后从，1，，2中选一个合适的数代入求值． 对点特训九：分式的化简求值 典型例题 例题1．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知 ，求代数式的值． 例题2．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中a满足． （2）已知，探究m与n的关系． 精练 1．（23-24八年级下·重庆铜梁·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）先化简，然后从的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值． 对点特训十：分式的基本性质 典型例题 例题1．（23-24八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 例题2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 题型归类练 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 第02讲 根式、分式的化简(分层精练） A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·海南儋州·阶段练习）在、、、、、中分式的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若，则x的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2024·贵州遵义·一模）要使无意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024八年级下·江苏·专题练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·山东·一模）已知，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）若实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）化简的结果是 ． 10．（2024·西藏·二模）先化简再求值：，其中，． 三、解答题 11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式的值，其中． 12．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）观察下列等式∶ 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； … 按照以上规律，解决下列问题∶ (1)写出你猜想的第个等式 ；（用含的等式表示） (2)根据上面的结论计算的结果． ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点02 根式、分式的化简 1、能熟练把二次根式化简为最简根式 2、了解分式和最简分式 3、能熟练应用分式基本性质约分和通分 1、初中知识再现 （1）二次根式的定义 一般地，形如的式子叫做二次根式. （2）二次根式性质： ① ②[来源:学科网] ③ ④ （3）分式 形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式. （4）分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变.用式子表示为： 2、高中相关知识 2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式 2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：. 2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有： ①与 ②与 2.4繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如：或等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算. 对点特训一：二次根式有意义的条件 典型例题 例题1．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）函数有意义，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义以及二次根式有意义，根据分母不为0以及被开方数为非负数，据此即可作答． 【详解】解：∵函数有意义 ∴ 解得且 故选：D 例题2．（2024·江苏盐城·一模）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：依题意， 解得， 故答案为：． 精练 1．（2024·山东聊城·一模）使有意义的x的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数，分母不等于0求解即可． 【详解】解： 由题意得，且， 解得且． 故选：A． 2．（2024年西藏自治区中考二模数学模拟试题）函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是求解函数的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式与二次根式有意义的条件可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 对点特训二：求二次根式中的参数 典型例题 例题1．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 例题2．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足，则的值是 . 【答案】 【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b为有理数， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键． 精练 1．（23-24八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 2．（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 对点特训三：二次根式的乘法与除法及其混合运算 典型例题 例题1．（23-24九年级上·四川成都·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法和除法，二次根式的加法，以及二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，正确；     B．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；     C．，故不正确；     D．，故不正确． 故选：A． 例题2．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了二次根式的混合运算，，，熟悉其运算规则是解决问题的关键． （2）本题考查了二次根式与平方差公式和完全平方公式的结合，熟悉二次根式混合运算规则和公式是解决问题的关键． 【详解】（1）解： ． （2） ． 精练 1．（2024·河北衡水·一模）设，其中，，则M的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法运算；先利用乘法分配律展开，再利用二次根式乘法法则进行运算，代值运算即可求解；掌握（，）是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， ； 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）小亮的作业本上有以下四题：（1）；（2）；（3）；（4）做错的题目是（    ） A．（1） B．（1）（3） C．（4） D．（1）（4） 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的性质与化简以及二次根式的乘除法． （1）根据二次根式的性质得到； （2）根据二次根式的乘法进行计算； （3）先判断，再根据二次根式的性质进行计算； （4）根据二次根式的加法法则进行判断，非同类二次根式不能合并． 【详解】解：因为，所以（1）错误； 因为，所以（2）正确； 因为有意义，所以，所以，所以（3）正确； 与不是同类二次根式，不能合并，所以（4）错误； 综上分析可知，正错误的是（1）（4）． 故选：D． 对点特训四：最简二次根式 典型例题 例题1．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，由题意，将化为最简二次根式，从而得到，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及同类二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，是最简二次根式，且可以与合并， ，解得， 故选：C． 例题2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案； 根据所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可； 本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）， ∵与可以合并， ∴， 解得：； 由得：， ， ． 精练 1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的概念，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同是同类二次根式，先化简，根据最简二次根式被开方数相等，由此可得出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解： 由题意可得：， 解得：． 当时，与是同类二次根式． 故答案为：4． 2．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值； （2）将和的值代入代数式得出答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴，， 解得，． （2）解：当，时． 【点睛】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键． 对点特训五：二次根式的加法与减法及其混合运算 典型例题 例题1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）点在数轴上的位置如图所示，则可以近似表示运算结果的点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、估算无理数的大小、实数与数轴，先根据二次根式混合运算的法则得出，再估算出的大小，结合数轴即可得出答案． 【详解】解：， ， ，即， ， 由数轴可得：点在到之间， 故选：C． 例题2．（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）先化简再计算即可； （2）把括号里的每一项都除以，再化简即可； 【详解】（1）解： （2）解： 精练 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘除，根据二次根式的加减、二次根式的乘除的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法和除法，最后加减即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 对点特训六：分母有理化 典型例题 例题1．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫作分母有理化． (1)化简：； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，无理数的估算： （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）将进行分母有理化为，进而可得的整数部分为，小数部分为，代入即可求解； （3）先分母有理化得到，据此把所求式子对应项分母有理化，然后根据二次根式的加减计算法则化简求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解： ； （2）解： ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 例题2．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)仿照上面的解题过程化简： ＝ ＝ ． (2)请直接写出的化简结果： ． (3)利用上面的结论，通过计算试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化． （1）把分子分母有乘以，然后利用平方差公式计算； （2）利把分子分母有乘以，然后利用平方差公式计算； （3）利用（2）中的结论得到，然后比较大小即可． 【详解】（1）， 故答案为：，，； （2）， 故答案为：； （3），理由如下： 由（2）中规律可得：，， ∵， ∴ ∴． 精练 1．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，，求． 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 先利用分母有理化进行化简，然后再求出和的值，从而利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴ ． 2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）观察以下式子的化简过程： ①， ②， ③， ④， …… 根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题： (1)如果n为正整数，那么的值为______； (2)根据以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分母有理化： （1）根据题干给定的等式，化简即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）原式 ． 对点特训七：二次根式化简求值 典型例题 例题1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意得出，，再利用完全平方公式将式子变形为，代入计算即可得出答案； （2）由二次根式有意义的条件得出且，从而得出，代入得出，利用完全平方公式将式子展开，再将的值代入计算即可得出答案． 【详解】解∶（1）∵，， ∴，， ； （2）根据题意得且， ∴， ∴， ∴． 例题2．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）；；（2）7 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式． （1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案； （2）先由x与y的值计算出和的值，再代入原式计算即可． 【详解】解：（1） ， 当，时，原式． （2）∵， ， ∴， ， ． 精练 1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知，，．求值： (1)； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）根据（1）得，，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：由（1）得，， ∴ ． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）计算：式子______（请直接写出这个常数）； （2）已知，求的值； （3）若的整数部分为x，小数部分为y，直接写出的值． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】本题考查分式、二次根式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式，分母有理化等知识． （1）展开去括号，再合并即可得答案； （2）利用可得答案； （3）先分母有理化，再求出、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ； （3）， 又∵， ，， ． ∴的值为． 对点特训八：分式的意义 典型例题 例题1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据，且计算即可，本题考查了分式有意义条件，熟练掌握是解题的关键． 【详解】分式有意义． 故，且， 解得，且 故答案为：且#且． 例题2．（2024·广东深圳·一模）先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，再从不等式组中选择一个适当的整数代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 当或时，原式无意义， 故取整数时， 原式． 精练 1．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件结合已知条件列式计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，即． 故答案为:． 2．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）先化简，然后从，1，，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】，2 【分析】本题考查分式化简求值，涉及通分、因式分解、分式加减乘除混合运算、约分、分式有意义的条件等知识，先将分式分子分母因式分解、再由分式加减乘除混合运算法则，利用通分、约分化简，再根据分式有意义的条件取得的值，代值求解即可得到答案，熟练掌握分式加减乘除混合运算法则，根据分式有意义的条件取值是解决问题的关键． 【详解】解： ， 分式分母不能为0， ，则原式． 对点特训九：分式的化简求值 典型例题 例题1．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知 ，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，先计算除法，再计算加法即可化简，然后把变形为a2+2a=2，代入化简式计算即可．熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： = = = = =， ∵ ∴， ∴原式=． 例题2．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中a满足． （2）已知，探究m与n的关系． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，分式的化简求值： （1）先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法化简，再求出，最后利用整体代入法求解即可； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式得到，两边同时平方推出，则． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 精练 1．（23-24八年级下·重庆铜梁·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式化简求值，二次根式运算，根据分式的混合运算先化简，再代入求值，即可求解．掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式= ， 当时，原式． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）先化简，然后从的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，然后计算分式除法化简，再根据分式有意义的条件选择符合题意的x的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∵，且x为整数， ∴当时，原式；当时，原式． 对点特训十：分式的基本性质 典型例题 例题1．（23-24八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数． 【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==． 故选D． 【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号． 例题2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 题型归类练 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、等号右边分子分母同时乘以，得左边，故A错误，不合题意； B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意； C、，故C错误，不合题意； D、分子分母同时乘以，即，故D正确，符合题意． 故选：D 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键； （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 第02讲 根式、分式的化简(分层精练） A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·海南儋州·阶段练习）在、、、、、中分式的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：在、、、、、中分式有、、，共3个， 故选：B． 3．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的除法运算，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】解：， 故选A． 4．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若，则x的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 符合题意的为2， 故选D． 5．（2024·贵州遵义·一模）要使无意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件为分式的分母为0，即可求解． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴． 故选：A 6．（2024八年级下·江苏·专题练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查分式化简，关键是根据约分进行计算．根据分式进行计算判断即可． 【详解】解：、，正确； 、不能约分，错误； 、，错误； 、，错误； 故选：． 7．（2024·山东·一模）已知，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了分式的加减和二元一次方程组的解法，先对等号右边的分式进行加减，根据等号左右两边相等，得到关于的二元一次方程组，求解即可，根据分式方程的左右两边相等，得到关于的方程组是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 8．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）若实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，整式的加减，化简绝对值；根据数轴可得，则进而根据二次根式以及绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：D． 二、填空题 9．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）化简的结果是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，由二次根式有意义的条件得出，从而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 10．（2024·西藏·二模）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确对分式的分子和分母分解因式是解题的关键． 首先把所求的式子分子和分母分解因式，把除法转化为乘法，计算乘法，再进行分式的减法运算即可化简，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ， 把，代入得：原式． 故答案为：，． 三、解答题 11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简括号内的式子，再算括号外的乘除法，最后将求出x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 12．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）观察下列等式∶ 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； … 按照以上规律，解决下列问题∶ (1)写出你猜想的第个等式 ；（用含的等式表示） (2)根据上面的结论计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则，得出规律是解此题的关键． （1）根据题目中所给式子呈现的规律即可得出答案； （2）根据（1）中得出的规律，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； … 第个等式， 故答案为：； （2）解： ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$