微专题 对三垂线定理的证明 理解与应用（解题策略）-2024-2025学年高二数学重难点微专题（沪教版2020必修第三册）

( 微专题 对三 垂线定理的 证明 、 理解 与 应用 ) 【解析版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 三垂线定理： 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 已知 PO、PA分别是 平面的垂线、斜线, OA是PA在平面上的射影，a ； 则a⊥OAa⊥PA; 题型1、三垂线定理的证明、理解 例1、叙述并证明三垂线定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）； 已知：如右图： 点P是平面α外一点，PA是平面α的斜线，交α于点A； 过点P作平面α的垂线点PO，垂足是O， 直线OA是PA在平面α上的投影; 求证：对平面α上的任一直线a，直线a⊥OA是直线a⊥PA充要条件； 【提示】注意空间线线垂直与线面垂直的互相转化； 【证明】先证充分性，即证明从直线a⊥直线OA 可以推出直线a⊥直线PA； 因为PO⊥平面α，而a 平面，所以， PO⊥直线a．这样，连同假设条件， 直线a垂直于两条相交直线PO与PA， 从而它垂直于这两条相交直线所确定的平面PAO； 而直线PA平面，于是，直线a⊥直线PA； 再证必要性，即反过来从直线a⊥直线PA，可以推出直线a⊥直线OA； 同上，我们有PO⊥直线a，这个条件连同假设条件直线a⊥直线PA， 推出直线a垂直于两条相交直线犘犗PO与PA 所确定的平面PAO； 而直线OA平面PAO，于是, 直线a⊥直线OA； ( 学习笔记 )【说明】纵观以上证明过程；这里三垂线定理的“充要条件”证明，主要依托空间线面垂直 的判定与性质定理，以及空间线线垂直与线面垂直关系的灵活互相转化； 题型2、利用三垂线定理的证明相关垂直 例2、如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 【答案】C； 【解析】因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MA； 又M在平面ABCD外，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交； 【说明】注意考查三垂线定理与异面直线判定定理； 例3、如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α， C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C． 钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【解析】PB⊥α且PC⊥AC，所以AC⊥BC； 【说明】主要考查三垂线定理； 题型3、利用三垂线定理求直线与平面所成的角 例4、如图所示， 在Rt△BMC中，斜边BM＝5， 它在平面ABC上的射影AB长为4， ∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值. 【提示】注意利用三垂线定理先完成找角； 【解析】由题意知A是M在平面ABC上的射影， ∴MA⊥平面ABC， ∴MC在平面CAB上的射影为AC. ∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角. 又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°， ∴MC＝BMsin ∠MBC＝5sin 60°＝5×＝. 在Rt△MAB中，MA＝＝＝3. ( 学习笔记 )在Rt△MAC中，sin ∠MCA＝＝＝， 即MC与平面CAB所成角的正弦值为； 【说明】本题主要依据三垂线定理，求直线与平面所成角；一般步骤： （1）作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线， 再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关， 才能便于计算； （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. （3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算； 例5、等腰直角三角形的斜边在平面内，若与所成的角为， 求：斜边上的中线与所成的角的大小； 【提示】设在平面内的射影为点O，连接，则， 就是与所成的角，设， 根据勾股定理和直角三角形的有关知识求出线面角的正弦值； 【答案】； 【解析】如图，设在平面内的射影为点O，连接， 则，就是与所成的角， 设，则，所以， ，所以，所以；故答案为：； 【说明】三垂线定理；与线面角的定义简单交汇；解决此类问题的关键是： 借助三垂线定理的基本图形熟练掌握线面角的定义与作法； 题型4、利用三垂线定理求二面角 例6、如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. （1）二面角B－PA－D的平面角的大小为________； （2）二面角B－PA－C的平面角的大小为________. ( 学习笔记 )【答案】（1）90°；（2）45°； 【解析】（1）∵PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD. ∴AB⊥PA，AD⊥PA. ∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角. 又由题意知∠BAD＝90°， ∴二面角B－PA－D的平面角的大小为90°. （2）∵PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD. ∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角. 又四边形ABCD为正方形， ∴∠BAC＝45°， 故二面角B－PA－C的平面角的大小是45°. 例7、如图所示，点P在四边形ABCD所在平面外， PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点， 当点M满足________时， 平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等) 【解析】由题意得BD⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 题型6、与三垂线定理相关的综合题 例8、如图，S为直角三角形ABC所在平面外一点， ∠ABC＝90°，且SA＝SB＝SC． （1）求证：点S到斜边AC中点D的连线SD⊥平面ABC； （2）若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面SAC． 【证明】（1）取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC， ∴DE⊥AB． 又SA＝SB，E为AB的中点， ∴SE⊥AB． 又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE． ∴AB⊥SD． ( 学习笔记 )又SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC． 又AB∩AC＝A，∴SD⊥平面ABC． （2）若BA＝BC，则BD⊥AC． 又SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD． 又∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC． 三垂线定理在几何学中有着广泛的应用，该定理主要描述了平面内的一条直线（射影）、 平面的一条斜线（斜线）和平面内的一条直线（直线）之间的垂直关系; 三垂线定理的应用通常有： 1、证明线线垂直。在几何证明中，可以通过构造平面内的垂线和射影， 利用三垂线定理证明两条直线垂直； 例如，如果有一条直线与一个平面垂直，那么这条直线也与该平面内的任何直线垂直； 2、计算几何量。三垂线定理可以用于计算三角形的面积和三角形的垂心，以及其他相关的几何量； 解决空间几何问题。 在解决空间几何问题时，三垂线定理可以用来找出平面角的度数或者异面直线所成的角； 3、以后研究多面体。在研究多面体时，三垂线定理可以帮助理解多面体中的角度和距离关系； 1、已知在平面内，，平面，则直线与的位置关系是________. 【提示】注意：首先“平面”，然后“”等价； 【答案】垂直 【解析】在中，因为，，所以，； 又因为，平面，是斜线在平面上的射影， 所以，, 【说明】本题考查了三垂线定理的直接应用； 2、等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°， 则斜边上的中线CM与α所成的角为________． 【提示】注意：通过点C在平面α上的射影，创设三垂线定理的“前提”； ( 学习笔记 )【答案】45°； 【解析】如图，设C在平面α内的射影为点O， 连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角； 设AC＝BC＝1，则AB＝， 所以CM＝，CO＝，所以sin∠CMO＝＝，所以∠CMO＝45°； 3、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________． 【提示】注意：PA⊥平面ABC； 【答案】4； 【解析】由PA⊥平面ABC， 在△ABC中，作AD⊥BC于点D，连接PD； 则PD⊥BC，即PD就是点P到BC的距离； 在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4. 在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4； 4、如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条． 【答案】4； 【解析】因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O， 所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直， 所以图中共有4条直线与AC垂直． 5、若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，有下列关系： ① ②平面 ③ ④， 其中正确的是___________. 【提示】注意：首先“平面”，然后“” 先由题意，得到，根据线面垂直的判定定理以及性质，可判断①②④正确； 推出与不垂直；假设，根据线面垂直的判定定理与性质推出， ( 学习笔记 )得出矛盾，即可得出③错. 【答案】①②④ 【解析】因为为以为直径的圆上异于的一点， 所以， 因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面，所以平面， 因此；即①正确； 又，且平面， 所以平面；即②正确； 又平面，所以；即④正确； 因为平面，所以，即是以为直角的直角三角形， 所以与不垂直； 若，根据，，平面， 可得平面，则，这与“，不垂直”矛盾， 故，不垂直；即③错； 故答案为：①②④； 【说明】本题主要考查了三垂线定理，线面垂直，线线垂直的判断， 熟记线面垂直的判定定理和性质即可； 6、如图，点P在四边形ABCD所在平面外， 底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD， 则图中共有直角三角形的个数为________． 【答案】4； 【解析】∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC， 又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB； ∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形； 7、已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC， 则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【提示】注意：垂线、斜线与射影； 【答案】B； 【解析】如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O， ( 学习笔记 )连接OA，OB，OC. 所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC， 且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°， 所以△PAO≌△PBO≌△PCO， 所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心． 8、已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是(　　) A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 【答案】C； 【解析】PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确； ⇒ BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB. 故A正确；同理B正确；C不正确． 9、如图所示，点P在三角形ABC所在平面外中， PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心， 求证：OQ⊥平面PBC. 【证明】如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE. ∵PA⊥平面ABC，AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心)， ∴PE⊥BC（三垂线定理）， ∴点Q在PE上． ∵ ⇒BC⊥平面PAE⇒BC⊥OQ.① 连接BO并延长交AC于点F，则BF⊥AC. 连接BQ并延长交PC于点M，则BM⊥PC. 连接MF. ∵PA⊥平面ABC，BF⊥AC，∴BF⊥PC(三垂线定理)． ∵⇒PC⊥平面BMF⇒PC⊥OQ.② 由①②，知OQ⊥平面PBC； 10、如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点， ( 学习笔记 )AN⊥PM，N为垂足. （1）求证：AN⊥平面PBM； （2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 【证明】（1）因为，AB为⊙O的直径，所以，AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，所以，PA⊥BM. 又因为，PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，所以，BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以，BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，所以，AN⊥平面PBM； （2）由（1）知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又因为，AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，所以，PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，所以，PB⊥NQ. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 微专题 对三 垂线定理的 证明 、 理解 与 应用 ) 【原卷版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 三垂线定理： 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 已知 PO、PA分别是 平面的垂线、斜线, OA是PA在平面上的射影，a ； 则a⊥OAa⊥PA; 题型1、三垂线定理的证明、理解 例1、叙述并证明三垂线定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）； 已知： 求证： 【提示】； 【证明】 【说明】纵观以上证明过程；这里三垂线定理的“充要条件”证明，主要依托空间线面垂直 的判定与性质定理，以及空间线线垂直与线面垂直关系的灵活互相转化； ( 学习笔记 )题型2、利用三垂线定理的证明相关垂直 例2、如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 【说明】注意考查三垂线定理与异面直线判定定理； 例3、如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α， C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C． 钝角三角形 D．无法确定 【说明】主要考查三垂线定理； 题型3、利用三垂线定理求直线与平面所成的角 例4、如图所示， 在Rt△BMC中，斜边BM＝5， 它在平面ABC上的射影AB长为4， ∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值. ( 学习笔记 )【说明】本题主要依据三垂线定理，求直线与平面所成角；一般步骤： （1）作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线， 再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关， 才能便于计算； （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. （3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算； 例5、等腰直角三角形的斜边在平面内，若与所成的角为， 求：斜边上的中线与所成的角的大小； 【说明】三垂线定理；与线面角的定义简单交汇；解决此类问题的关键是： 借助三垂线定理的基本图形熟练掌握线面角的定义与作法； 题型4、利用三垂线定理求二面角 例6、如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. （1）二面角B－PA－D的平面角的大小为________； （2）二面角B－PA－C的平面角的大小为________. ( 学习笔记 )例7、如图所示，点P在四边形ABCD所在平面外， PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点， 当点M满足________时， 平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 题型6、与三垂线定理相关的综合题 例8、如图，S为直角三角形ABC所在平面外一点， ∠ABC＝90°，且SA＝SB＝SC． （1）求证：点S到斜边AC中点D的连线SD⊥平面ABC； （2）若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面SAC． ( 学习笔记 ) 三垂线定理在几何学中有着广泛的应用，该定理主要描述了平面内的一条直线（射影）、 平面的一条斜线（斜线）和平面内的一条直线（直线）之间的垂直关系; 三垂线定理的应用通常有： 1、证明线线垂直。在几何证明中，可以通过构造平面内的垂线和射影， 利用三垂线定理证明两条直线垂直； 例如，如果有一条直线与一个平面垂直，那么这条直线也与该平面内的任何直线垂直； 2、计算几何量。三垂线定理可以用于计算三角形的面积和三角形的垂心，以及其他相关的几何量； 解决空间几何问题。 在解决空间几何问题时，三垂线定理可以用来找出平面角的度数或者异面直线所成的角； 3、以后研究多面体。在研究多面体时，三垂线定理可以帮助理解多面体中的角度和距离关系； 1、已知在平面内，，平面，则直线与的位置关系是________. 2、等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°， 则斜边上的中线CM与α所成的角为________． 3、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________． 4、如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条． 5、若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，有下列关系： ① ②平面 ③ ④， 其中正确的是___________. ( 学习笔记 )6、如图，点P在四边形ABCD所在平面外， 底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD， 则图中共有直角三角形的个数为________． 7、已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC， 则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 8、已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是(　　) A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 9、如图所示，点P在三角形ABC所在平面外中， PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心， 求证：OQ⊥平面PBC. ( 学习笔记 )10、如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点， AN⊥PM，N为垂足. （1）求证：AN⊥平面PBM； （2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$