精品解析：重庆市2024届高三第三次联合诊断检测数学试卷

2024年重庆市高考数学三诊试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用子集的概念求解. 【详解】集合，集合， 若，又，所以，解得 故选：B 2. 设复数z满足，则z的虚部为（    ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设复数，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得的值，即可求解. 【详解】设复数， 因为复数z满足，可得， 即，则，，解得， 所以复数的虚部为. 故选：A. 3. 已知一种服装的销售量单位：百件与第x周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x，y的经验回归方程为，则（    ） x 1 2 3 4 5 y 6 6 a 3 1 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图表中的数据，求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解. 【详解】解：由统计图表中的数据，可得， ，即样本中心为， 因为两变量的经验回归方程为， 则，解得 故选：C. 4. 若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得圆锥底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式，即可求解. 【详解】圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为，所以底面圆的半径为， 所以该圆锥的侧面积为. 故选：C 5. 重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质计算即可。 【详解】为保证调研结果的代表性，设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人， 则， 解得， 即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为 故选：C 6. 已知是定义域为的奇函数且满足，则（    ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到是周期为2的周期函数，结合，即可求解. 【详解】由是定义域为的奇函数，则，且， 又由满足，即， 则有，可得，即函数是周期为2的周期函数， 故. 故选：B. 7. 当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（    ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解. 【详解】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 8. 已知，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简和同角三角函数关系求出，利用余弦二倍角公式求出答案. 【详解】因，所以，， 因为， 所以， 所以， 解得或舍， 则 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解. 【详解】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 10. 已知双曲线C：，则其离心率可能为（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分类讨论符号，利用离心率的定义求解. 【详解】解：当时，原方程化为， 此时，，， 由，可得； 当时，原方程化为， 此时，，， ，可得 其离心率可能为或 故选：BD 11. 若函数既有极小值又有极大值，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求得，转化为在上有两个不同的实数根，根据二次函数的性质，列出不等式组，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为既有极小值又有极大值， 可得方程在上有两个不同的实数根， 则满足，可得，所以，，， 例如：时，满足上式，此时不成立． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】借助平面向量的三角形法则，用作为基底，分别表示向量，然后用平面向量的线性运算即可得解. 【详解】因为在单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，又， 所以，， 所以， 故答案为： 13. 已知，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算可得和，即可求解. 【详解】解：因为，，所以， 因为，所以，所以，即， 所以，，则 故答案为： 14. 已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正方体的空间垂直关系去证明平面内的点都满足，再去证明动点M在以为圆心，以为半径的圆上，从而利用点M在圆上的性质去解决最值问题. 【详解】解：如图所示，设， 由正方体性质可知平面， 由于平面，，又因为线段的中点， 所以， 即点在平面内， 又因为，所以与点在以点为球心，1为半径的球面上， 又因为平面， 到平面的距离为的一半，由正方体的边长为1，则， 又，， 在平面内，且以H为圆心，为半径的半圆弧上， 到平面的距离的最小值为， 四棱锥体积的最小值为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：借助空间关系可知到线段两端点距离相等的点M在线段的中垂面上，又由到定点距离为1的点M又在球面上，从而得到点M的轨迹是中垂面截平面的小圆. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，再利用导数的几何意义求解； （2）求导，根据在区间上单调递增，由恒成立求解. 【小问1详解】 解：当时，， ， 则，， 所以当时，在点处切线方程为 【小问2详解】 ， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 因为当时，， 所以，即a的取值范围是 16. 已知函数的最小正周期为 （1）求函数的单调递增区间； （2）已知的三边长分别为a，b，c，其所对应的角为A，B，C，且，，，求该三角形的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由，求得，再由，得到，结合余弦定理，列出方程求得，进而求得的周长. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为， 所以，即，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，可得，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理，可得， 所以，所以， 则的周长为 17. 我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声单位：分贝和热效率的频率分布直方图如图所示： 假设数据在组内均匀分布，且以相应频率作为概率. （1）求a，b的值； （2）如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于的概率； （3）当，设供暖器的噪声不超过（分贝）的概率为，供暖器的热效率不低于的概率为，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，； （2）由事件的独立性求出每1件供暖器噪声和热效率符合题意的概率为，从而得到抽2件中恰有1件符合题意的概率； （3）计算出，分，两种情况，计算出，并根据单调性求出值域，求出答案. 【小问1详解】 由题意得， 解得， ， 解得； 【小问2详解】 供暖器的噪声不超过25分贝的概率为， 其热效率不低于的概率为， 每1件供暖器噪声和热效率符合题意的概率为， 抽2件中恰有1件符合题意的概率为； 【小问3详解】 ， ，则， 当 ，则 当，， ，则， 的取值范围是 18. 设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知 （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求： ①点P的轨迹方程； ②面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①且；② 【解析】 【分析】（1）求得圆心，半径为，设与轴交于点，在直角中，求得，结合抛物线C过点，进而求得抛物线的方程； （2）联立方程组取得，，设动点，得到的方程，求得点的坐标，得出直线方程，联立方程组求得，进而且，得出点P的轨迹方程；再设，结合点到直线的距离公式，求得的表达式，结合且，进而的其取值范围. 【小问1详解】 解：由圆，可化为标准方程， 所以圆心，半径为， 设与轴交于点，如图所示， 因为圆D和抛物线C都关于x轴对称，则E，F两点也关于x轴对称，且， 所以在直角中，，所以，则， 又由抛物线C过点，即，则， 所以抛物线C方程为. 【小问2详解】 联立方程组，解得点，，则， 设动点， 则直线的斜率为，直线， 直线的斜率为，直线， 将抛物线C代入直线AN得， 解得点，则直线BN的斜率为， 所以直线， ①联立方程组，整理得， 因为点P在直线l的左边，则，即， 所以，则， 又因为，且，由，可得且， 所以点P的轨迹方程为且. ②设，则P到直线l的距离， 因为，则， 则， 又因为且，所以，所以 【点睛】方法策略点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 19. 已知且，设是空间中个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上，表示点，间的距离，记集合 （1）若四面体满足：，，且 ①求二面角的余弦值： ②若，求 （2）证明： 参考公式： 【答案】（1）①；② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解；②根据条件，得出，即可求解； (2）设，从两个方面结合参考公式给出证明即可． 【小问1详解】 以C为原点，方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，，， ①设平面CAD的法向量， 则，即，取， 设平面BAD的法向量为， 则，即，取， 所以， 即二面角的余弦值为； ②，，， 所以； 【小问2详解】 设，，，下证， 设S中任意不同的两点的个距离中，距离等于的有个，，2，，k， 则， 记S中n个不同点分别为，，，，设到点的距离等于的点的个数为个，，k；，2，，， 则，，， 所以， 考虑由S中的点构成的满足的点组的个数， 一方面，当A取，时，这样的点组有个，故有， 另一方面，因为S中任意四个点不共面，所以对任，点A的选取至多有3种，故有 ①， 所以 ， 结合①得 【点睛】本题考查空间向量的在立体几何中的运用，合理的建系是解决问题的关键，再利用空间中夹角的相关公式即可得到对应答案。组合数的应用，需要根据可能得情况讨论不同的组合数量，结合参考公式得出答案，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年重庆市高考数学三诊试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 设复数z满足，则z的虚部为（    ） A. B. C. 3 D. 3. 已知一种服装的销售量单位：百件与第x周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x，y的经验回归方程为，则（    ） x 1 2 3 4 5 y 6 6 a 3 1 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（    ） A. B. C. D. 5. 重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（    ） A. B. C. D. 6. 已知是定义域为的奇函数且满足，则（    ） A. B. 0 C. 1 D. 7. 当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（    ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知，且，则（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 命题“存在，使得”为真命题一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线C：，则其离心率可能为（    ） A 2 B. C. D. 11. 若函数既有极小值又有极大值，则（    ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若，则______. 13. 已知，，且，则______. 14. 已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 16. 已知函数的最小正周期为 （1）求函数的单调递增区间； （2）已知的三边长分别为a，b，c，其所对应的角为A，B，C，且，，，求该三角形的周长. 17. 我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声单位：分贝和热效率的频率分布直方图如图所示： 假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率. （1）求a，b的值； （2）如果供暖器噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于的概率； （3）当，设供暖器的噪声不超过（分贝）的概率为，供暖器的热效率不低于的概率为，求的取值范围. 18. 设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知 （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求： ①点P的轨迹方程； ②面积取值范围. 19. 已知且，设是空间中个不同点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上，表示点，间的距离，记集合 （1）若四面体满足：，，且 ①求二面角的余弦值： ②若，求 （2）证明： 参考公式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$