精品解析：江西省上饶市第一中学2024届高三下学期模拟预测数学试题

上饶市第一中学2024届高三模拟考试 数学试卷 考试时间：2024年5月 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：朱四样 孙晶晶 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，上交答题卡． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两集合，再求两集合的交集即可. 【详解】∵， ， ∴. 故选：D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得复数， 复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 3. 已知直线过点交圆于两点，则“是直线的斜率为0”的（ ） A. 必要而不充分条件 B. 充分必要条件 C. 充分而不必要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可. 【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为，代入方程中，得，显然； 当直线的不存在斜率时，直线的方程为，代入方程中，得，显然， 因此是必要而不充分条件， 故选：A 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数量积求出，再根据向量夹角的坐标公式求解即可. 【详解】因为，，，即，解得，所以， 所以． 故选：C． 5. 在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得 ，再由，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，因为， 可得，且， 由正弦定理得， 又因为 ， 可得， 所以的面积为. 故选：A. 6. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小即得. 【详解】由，得，， ，且，所以. 故选：B 7. 越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查数据显示，两个地区分别有的人参加户外极限运动，两个地区的总人口数的比为．若从这两个地区中任意选取一人，则此人参加户外极限运动的概率为；若此人参加户外极限运动，则此人来自地区的概率为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设事件,分别求出相关事件的概率，利用全概率公式求，利用贝叶斯公式求即可. 【详解】设 “此人参加户外极限运动”，“此人来自地区”， “此人来自地区”. 依题意，, 依题意， ； . 故选：D. 8. 如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和半圆组成，过的左焦点作直线与曲线仅交于两点，过的右焦点作直线与曲线仅交于两点，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性将问题转化为求解椭圆截直线的弦长的最小值，利用韦达定理和弦长公式可表示出所求弦长，由此可确定最小值. 【详解】由题意知：； ，由对称性可知：为椭圆截直线的弦长， 由题意知斜率不为0，设，其与椭圆交于点和， 由得：，则， ，， ， 当时，取得最小值 ，的最小值为 . 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本数据的第80百分位数是7.5 B. 随机变量，若，则 C. 已知随机事件，且，若，则事件相互独立 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出第80百分位数判断A；利用二项分布的方差公式计算判断B；利用条件概率化简判断C；利用正态分布对称性求出概率判断D. 【详解】对于A，由，所以数据的第80百分位数是8，A错误； 对于B，由，，得，解得，因此，B正确； 对于C，由，得，即， 则事件相互独立，C正确； 对于D，由服从正态分布，，得，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为 ，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为曲线的一个对称中心 C. 直线为曲线的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合五点法求函数解析式，即可判断A；代入检验结合最值与对称轴、零点与对称中心之间的关系判断BC；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】由题意可知：函数的最大值为2，即， 因为，即， 且，可得， 设的最小正周期为，则，即 ，故A正确； 且，可得， 所以， 对于选项B：因为， 所以点不为曲线的一个对称中心，故B错误； 对于选项C：因为为最小值， 所以直线为曲线的一条对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且 在内单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 为偶函数 B. C. 的周期为2 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解. 【详解】因为定义域为R， R，，， A选项，令，则， 即，所以为奇函数，故A错误； B选项，用替换，用替换， 则，即， 又为R上的奇函数，所以， 因此，故B正确； C选项，令，则， 所以，即， 又，所以， 因此，故C正确； D选项，令，则， 即①， 令，则， 即，所以②， ①②整理得， 即，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法.求函数值时，通常令等式中的变量取等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中项的系数为___________. 【答案】42 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则有. 故答案为：. 13. 在公差为正数的等差数列中，若 ，，，成等比数列，则数列的前10项和为____________. 【答案】165 【解析】 【分析】由等比和等差数列的性质求出公差，再由前项和公式求出结果即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，即， 因公差大于零，解得，（舍）， 所以， 故答案为：165. 14. 已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为___________；若，则 的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，即可根据向量的坐标运算求解数量积，利用三角函数的性质求解最值，由，求出，根据三角函数的性质即可求出最值． 【详解】如图：以为原点，以 所在的直线为,轴建立如图所示的坐标系， 则 ，，，， 动点在以点为圆心且与相切的圆上， 设圆的半径为， ，， ， ， 圆的方程为， 设点的坐标为，则， ，故的最大值为， ，， ， ，， ， ， ， 故 的最大值为3， 故答案为：，3 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当 时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和 判断导数的正负求得的单调区间； （2）由，转化得恒成立，令，利用导数判断单调性求出最大值得解. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当 时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由，得. 设，则. 令 ，得，令，得 ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值. 所以 . 16. 在几何体中，底面是边长为2的正三角形．平面，若． （1）求证：平面平面 ； （2）是否在线段上存在一点，使得二面角的大小为．若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，设分别为边的中点，连接， 因为平面， 所以，,进而， 即四边形为平行四边形，可得， 在底面正三角形中，为边的中点，则 ， 又平面，且平面，所以． 由于 ，且平面，所以平面． 因为平面，则平面， 又平面，则平面平面 ． （2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而根据线面垂直即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则． 设点，则． 设平面 的法向量为，平面 的法向量为． 由题意知即 令，则，即， 即取，则， 由， ，解得：，由于点为线段上一点，故，所以， 当时，二面角所成角为锐角，即存在点满足，此时． 17. 某商场为庆祝开业十周年，开展了为期一个月的有奖促销活动，消费者一次性消费满200元，即可参加抽奖活动．抽奖盒子中装有大小相同的2个黄球和2个白球，规则如下：每次从盒子中任取两个球，若取到的两个球均为黄球，则中奖并获得奖品一份，活动结束；否则将取出的两个球放回盒中，并再放入一个大小相同的红球，按上述规则，重复抽奖，参加抽奖的消费者最多进行三次，即使第三次没有中奖，抽奖也会结束． （1）现某消费者一次性消费200元，记其参加抽奖的次数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，表示第天参加抽奖活动的人数，该商场对活动前5天参加抽奖活动的人数进行统计，得到数据如下： 第天 1 2 3 4 5 人数 经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系． （i）计算相关系数，并说明与的线性相关程度的强弱；（结果精确到0.01） （ii）请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并据此估计第10天参加抽奖的消费者人数． 附：①相关系数： 最小二乘估计分别为： ②参考数据：． 【答案】（1）随机变量的分布列： 1 2 3 期望为. （2）（i），与线性相关程度很强； （ii）为，132名 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到的所有可能取值为 ，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式求得数学期望； （2）（i）由表格中的数据，求得，利用公式求得回归系数，即可得到结论；（ii）根据公式求得，由，得到，进而求得的值，得出回归直线方程，令时，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 解：根据题意，可得随机变量的所有可能取值为 ， 可得，， （或） 所以随机变量的分布列： 1 2 3 所以，期望为. 【小问2详解】 解：（i）由表格中的数据，可得， ， 所以， 所以变量与线性相关程度很强. （ii）由， 因为，可得， 所以，所以回归方程为， 当时，可得 故估计第10天有132名消费者参与抽奖． 18. 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程； （2）若斜率存在且不为0的直线经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点. 【答案】（1） （2）证明：由（1）得右焦点， 设直线，，，则 联立，消去得， 则 又直线， 令得 又 即时，， 直线BD过x轴上的定点. 【解析】 【分析】（1）根据对称性得到椭圆上的点，再将点代入椭圆方程求解即可. （2）设直线，，，则，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理计算直线BD与x轴的焦点坐标即可. 【小问1详解】 根据椭圆对称性，点，必在椭圆上， 则不在椭圆上，在椭圆上， ，解得 所以的方程为 【小问2详解】 略 19. 在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列． （1）若数列为1阶等比数列，，，求的通项公式及前n项的和； （2）若数列为m阶等差数列，求证：为m阶等比数列； （3）若数列既是m阶等差数列，又是阶等差数列，证明：是等比数列． 【答案】（1）， （2）证明如下： 因为为m阶等差数列，所以对任意的，都存在， 使得成立， 所以， 即，所以为m阶等比数列； （3）证明如下： 因为既是m阶等差数列，又是阶等差数列， 所以对，有与同时成立， 所以与同时成立， 所以，，成等比，，，成等比， 由，，成等比，得，，也成等比， 设 ， ， 所以，所以数列是等比数列. 【解析】 【分析】（1）由题意可知数列为正项等比数列，求出首项和公比，再根据等比数列通项公式和求和公式求解即可； （2）由为m阶等差数列，所以对任意的，都存在，可得，即可证明； （3）由数列既是m阶等差数列，又是阶等差数列，可得，，成等比，，，成等比，设 ， ，即可证明. 【小问1详解】 因为为1阶等比数列，所以为正项等比数列， 设公比为，则为正数， 由已知得，解得， 因为，所以，所以， 所以的通项公式为， 前n项的和为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新的概念来创设全新的问题情境，要求学生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息迁移，达到灵活解题的目的，遇到新定义的问题，应耐心读题，分析新定义，弄清新定义的性质，按新定义的要求运算求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上饶市第一中学2024届高三模拟考试 数学试卷 考试时间：2024年5月 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：朱四样 孙晶晶 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，上交答题卡． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线过点交圆于两点，则“是直线的斜率为0”的（ ） A. 必要而不充分条件 B. 充分必要条件 C. 充分而不必要条件 D. 即不充分也不必要条件 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则有（ ） A. B. C. D. 7. 越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查数据显示，两个地区分别有的人参加户外极限运动，两个地区的总人口数的比为．若从这两个地区中任意选取一人，则此人参加户外极限运动的概率为；若此人参加户外极限运动，则此人来自地区的概率为，那么（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和半圆组成，过的左焦点作直线与曲线仅交于两点，过的右焦点作直线与曲线仅交于两点，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本数据的第80百分位数是7.5 B. 随机变量，若，则 C. 已知随机事件，且，若，则事件相互独立 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为 ，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为曲线的一个对称中心 C. 直线为曲线的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 为偶函数 B. C. 的周期为2 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中项的系数为___________. 13. 在公差为正数的等差数列中，若 ，，，成等比数列，则数列的前10项和为____________. 14. 已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为___________；若，则 的最大值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 16. 在几何体中，底面是边长为2的正三角形．平面，若． （1）求证：平面平面 ； （2）是否在线段上存在一点，使得二面角的大小为．若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 17. 某商场为庆祝开业十周年，开展了为期一个月的有奖促销活动，消费者一次性消费满200元，即可参加抽奖活动．抽奖盒子中装有大小相同的2个黄球和2个白球，规则如下：每次从盒子中任取两个球，若取到的两个球均为黄球，则中奖并获得奖品一份，活动结束；否则将取出的两个球放回盒中，并再放入一个大小相同的红球，按上述规则，重复抽奖，参加抽奖的消费者最多进行三次，即使第三次没有中奖，抽奖也会结束． （1）现某消费者一次性消费200元，记其参加抽奖的次数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，表示第天参加抽奖活动的人数，该商场对活动前5天参加抽奖活动的人数进行统计，得到数据如下： 第天 1 2 3 4 5 人数 经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系． （i）计算相关系数，并说明与的线性相关程度的强弱；（结果精确到0.01） （ii）请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并据此估计第10天参加抽奖的消费者人数． 附：①相关系数： 最小二乘估计分别为： ②参考数据：． 18. 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程； （2）若斜率存在且不为0的直线经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点. 19. 在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列． （1）若数列为1阶等比数列，，，求的通项公式及前n项的和； （2）若数列为m阶等差数列，求证：为m阶等比数列； （3）若数列既是m阶等差数列，又是阶等差数列，证明：是等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $