精品解析：2024年广东省阳江市江城区中考二模数学试题

2024年广东省初中学业水平模拟考试（江城二模） 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 与6的和不大于0，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 多项式3xy2﹣2y+1的次数及一次项的系数分别是（　　） A. 3，2 B. 3，﹣2 C. 2，﹣2 D. 4，﹣2 5. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 6. 若要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，内接于，为的直径，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．顶点为，把这条抛物线向上平移至顶点落在轴上，则两条抛物线、对称轴和轴围成的图形（图中阴影部分）的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_________． 12. 计算：______． 13. 内角和与外角和相等的多边形的边数是_______. 14. 先从，，0，6四个数中任取一个数记为，再从余下的三个数中任取一个数记为．若，则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是________． 15. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）先化简，再求值：，其中，； （2）如图，在锐角中，，请用尺规作图法，在内部求作一点，使，且．（保留作图痕迹，不要求写作法） 17. 阳江市北山石塔，如图1，建于南宋宝佑年间（1253-1258年），是阁楼花岗岩结构，为广东省内唯一无灰砌石塔．某数学兴趣小组用无人机测量北山石塔的高度，测量方案为：如图2，先将无人机垂直上升至距离石塔底端水平面的点，测得北山石塔顶端的俯角为；再将无人机沿北山石塔的方向水平飞行到达点，测得北山石塔底端的俯角为，求北山石塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 18. 为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80-89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如下： d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 81 m 167.9 八年级 82 81 108.3 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中m的值； （2）该校目前七年级有学生300人，八年级有学生200人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生各有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生成绩较好，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高后作为售价，已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元． （1）设该玩具每件的进价为元和售价为元，求出和的值． （2）调查发现：在（1）情况下，该玩具每件的售价为元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元．设每件玩具的售价上涨了元时，月销售利润为元． ①求与之间函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． ②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？ 20. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． （1）求k的值； （2）求扇形的半径及圆心角的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 21. 综合与实践 根据以下素材，解决问题． 设计拍照打卡板 素材一 小聪为学校设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且点B，F，G，C四点在一条直线上．其中，点A到距离为1.2米，米，米． 素材二 因考虑牢固耐用，小聪计划选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米． 【问题解决】： （1）小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由． （2）小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值． 五、解答题（三）：本大题共2小题、每小题12分，共24分． 22. 综合探究 已知的两边分别与相切于点，，的半径为． （1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数； （2）如图2，点在上运动，当线段经过圆心时，的大小满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若线段与的另一个交点为点，的半径． ①求图中阴影部分的周长； ②连接，为边上的一点，且，延长交于点，求的长． 23. 如图，是边长为的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接. （1）【尝试初探】 如图1，当点在线段上运动时，与相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由. （2）深入探究】 如图2，当点在线段上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值. （3）拓展延伸】 如图3，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省初中学业水平模拟考试（江城二模） 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：，，0不是负数； 是负数； 故选：D． 2. 与6的和不大于0，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．根据“与6的和不大于0”，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标．根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故选：A． 4. 多项式3xy2﹣2y+1的次数及一次项的系数分别是（　　） A. 3，2 B. 3，﹣2 C. 2，﹣2 D. 4，﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用多项式的次数确定方法以及一次项的定义分析得出答案． 【详解】解：多项式3xy2﹣2y+1的次数是：3， 一次项的系数是：﹣2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式里，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．正确掌握多项式的关定义是解题关键． 5. 如图，把一块含有45°角直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】B 【解析】 【详解】∵直尺的对边互相平行， ∴∠1=∠3， ∵∠3+∠2=45°， ∴∠1+∠2=45°， ∵∠1=20°， ∴∠2=45°﹣∠1=25°， 故选：B． 6. 若要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点为二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 故选：B． 7. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质．由是的外角，利用三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ． 故选：A． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、幂的乘方与积的乘方．根据二次根式的性质与幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，内接于，为的直径，若，，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形．根据圆周角定理，勾股定理，三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：连接， 为的直径， ， ，， ， ， 故选：A． 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．顶点为，把这条抛物线向上平移至顶点落在轴上，则两条抛物线、对称轴和轴围成的图形（图中阴影部分）的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与轴交点、二次函数几何变换等知识．依据题意，根据即可计算． 【详解】解：如图连接、． 与轴交于，两点，与轴交于点， ∴顶点的坐标为， 平移后顶点的坐标为， ∴抛物线向上平移了1个单位． ． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质和负指数幂的性质计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题关键． 13. 内角和与外角和相等的多边形的边数是_______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解. 【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意得 （n-2）•180°=360°， 解得n=4． ∴内角和与外角和相等的多边形的边数是4． 故答案为：4 【点睛】本题考查多边形内角和与外角和，熟记公式正确计算是本题的解题关键，难度不大． 14. 先从，，0，6四个数中任取一个数记为，再从余下的三个数中任取一个数记为．若，则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意列表表示出所有可能得情况，然后根据正比例函数的图象经过第一、三象限则，据此求解即可． 【详解】解：列表如下： 0 6 0 0 0 0 0 0 6 0 共有12种等可能结果，其中满足的有2种， 则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是． 故答案为：． 15. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】由把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，∠EFB=60°，易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案． 【详解】在矩形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=60°， ∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处， ∴∠EFB=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°， AE=A′E=2，AB=A′B′， 在△EFB′中， ∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60° ∴△EFB′是等边三角形， Rt△A′EB′中， ∵∠A′B′E=90°-60°=30°， ∴B′E=2A′E，而A′E=2， ∴B′E=4， ∴A′B′=2， 即AB=2， ∵AE=2，DE=6， ∴AD=AE+DE=2+6=8， ∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故答案为16． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）先化简，再求值：，其中，； （2）如图，在锐角中，，请用尺规作图法，在内部求作一点，使，且．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1），3；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，作图复杂作图，等腰三角形的性质． （1）根据平方差公式和多项式除以单项式，可以化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子计算即可； （2）先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点满足条件． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解：如图，点即为所求． ． 17. 阳江市北山石塔，如图1，建于南宋宝佑年间（1253-1258年），是阁楼花岗岩结构，为广东省内唯一无灰砌石塔．某数学兴趣小组用无人机测量北山石塔的高度，测量方案为：如图2，先将无人机垂直上升至距离石塔底端水平面的点，测得北山石塔顶端的俯角为；再将无人机沿北山石塔的方向水平飞行到达点，测得北山石塔底端的俯角为，求北山石塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】北山石塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：延长交于点， 由题意得：，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 北山石塔的高度约为． 18. 为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80-89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如下： d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 81 m 167.9 八年级 82 81 108.3 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中m的值； （2）该校目前七年级有学生300人，八年级有学生200人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生各有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生成绩较好，并说明理由． 【答案】（1）补全图形见解析，82 （2）七年级成绩达到优秀的学生有75人，八年级成绩达到优秀的学生有60人； （3）八年级的学生成绩较好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得七年级成绩位于的有4人；七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，即可求解； （2）先求出八年级成绩优秀的所占的百分比，再分别用300，200乘以各自的百分比，即可求解； （3）从平均数、方差方面分析，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：七年级成绩位于的有4人， 补全图形如下： 七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83， ∴七年级成绩的中位数； 【小问2详解】 解：根据题意得：八年级成绩良好的所占的百分比为 ∴八年级成绩优秀的所占的百分比为， ∴八年级成绩达到优秀的学生有人， 七年级成绩达到优秀的学生有人； 【小问3详解】 八年级的学生成绩较好，理由如下： 从平均数方面看，八年级的平均成绩比七年级更高；从方差方面看，八年级的方差较小，成绩相对更稳定． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求中位数，利用平均数和方程做决策，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高后作为售价，已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元． （1）设该玩具每件的进价为元和售价为元，求出和的值． （2）调查发现：在（1）的情况下，该玩具每件的售价为元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元．设每件玩具的售价上涨了元时，月销售利润为元． ①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． ②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？ 【答案】（1） （2）①；②每件玩具的售价定为36.5元时，月获得最大利润，最大的月利润是2722.5元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意可得，方程组，计算即可得解； （2）①依据题意，月销售利润，再结合售价不能高于40元，可得自变量的取值范围； ②依据题意，由①的结论整理得，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【小问1详解】 解：因该玩具每件的进价为元和售价为元， 由题意得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①因为每件玩具的销售单价上涨了元时，月销售利润为元，由题意得： 与的函数关系式为：， 的取值范围为：； ②由①得： ，， 当时，有最大值为2722.5， 答：每件玩具的售价定为36.5元时，月获得最大利润，最大的月利润是2722.5元． 20. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． （1）求k的值； （2）求扇形的半径及圆心角的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】（1） （2）半径为2，圆心角为 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【小问1详解】 解：将代入中， 得， 解得：； 【小问2详解】 解：过点作的垂线，垂足为，如下图： ， ， ， 半径为2； ， ∴， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数：； 【小问3详解】 解：， ， ， 如下图：由菱形知，， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义． 21. 综合与实践 根据以下素材，解决问题． 设计拍照打卡板 素材一 小聪为学校设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且点B，F，G，C四点在一条直线上．其中，点A到的距离为1.2米，米，米． 素材二 因考虑牢固耐用，小聪计划选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米． 【问题解决】： （1）小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由． （2）小聪发现他设计方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值． 【答案】（1）他的说法对，理由见解析 （2）长度的最大值为0．25米 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，一元一次不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键． （1）过点B作于点G，可证得，据此即可判定； （2）设，可得，的高为米，列不等式，即可求解． 【小问1详解】 他的说法对，理由如下： 如图：过点作于点， ． 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， ． 最高点到地面的距离就是线段长． 【小问2详解】 该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形， 设，则． 又的高为1.2米， 三角形的面积． 又长方形的面积为：（平方米）， 总费用：． 解得， 故长度的最大值为0.25米． 五、解答题（三）：本大题共2小题、每小题12分，共24分． 22. 综合探究 已知的两边分别与相切于点，，的半径为． （1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数； （2）如图2，点在上运动，当线段经过圆心时，的大小满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若线段与的另一个交点为点，的半径． ①求图中阴影部分的周长； ②连接，为边上的一点，且，延长交于点，求的长． 【答案】（1） （2）当时，四边形是菱形，见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，，利用圆的切线的性质定理和四边形的内角和定理解答即可； （2）连接，，如图，利用（1）的方法得到，利用全等三角形的判定与性质得到，利用两组对角相等的四边形为平行四边形的性质得到四边形为平行四边形，再利用菱形的判定定理解答即可； （3）①利用（2）的结论，圆周角定理和扇形的弧长公式和直角三角形的性质解答即可； ②过点作，交的延长线于点，利用相似三角形的判定与性质求得，，进而得到，再利用菱形的性质和（2）的结论解答即可． 【小问1详解】 解：连接，，如图， 的两边分别与相切于点，， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：当线段经过圆心时，时，四边形为菱形，说明理由： 连接，，如图， 由（1）知：， ， ， ， ． 的两边分别与相切于点，， ， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ， ， ∴ ∴ ∴， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形； 【小问3详解】 解：①的半径， ， 由（2）知：四边形为菱形， ， ， 的长． ，， ， ， ， 图中阴影部分的周长为． ②过点作，交的延长线于点，如图， ，， ，． ∵， ，， ，， ， ， ， ， ． ． 四边形为菱形， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，四边形的内角和定理，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆的有关计算，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 23. 如图，是边长为的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接. （1）【尝试初探】 如图1，当点在线段上运动时，与相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由. （2）【深入探究】 如图2，当点在线段上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值. （3）【拓展延伸】 如图3，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长. 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可证明,可得结论； （2）如图2，过点作于点，先根据等边三角形性质和度角的直角三角形的性质求出，，结合（1）证明，推出，利用相似三角形的性质求出，再根据正切的定义求解即可； （3）如图3，过点作于点，先证明，得出，进而可证明，可得，结合已知可得，设，可得，根据等边三角形的性质可得， ，则，然后在直角三角形中，利用勾股定理可得关于的方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 如图1，，理由如下： ∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 如图2，过点作于点， ∵是边长为3的等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图3，过点作于点， ∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 即 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$