11.4.3 球的表面积-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【解析版】 11.4.3 球的表面积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 球的表面积 球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2， 即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形． 1、若一个球的直径为 2，则此球的表面积为 【提示】用好球的表面积公式； 【答案】4π； 【解析】因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S＝4πR2＝4π； 2、体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 【提示】用好球的表面积公式，依据两个几何体的几何特征； 【答案】12π； 【解析】设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2。设球的半径为R，则2R＝a，即R＝。所以球的表面积S＝4πR2＝12π； 3、若一球与正方体的所有棱都相切，则正方体的棱长与球的半径之比为 _； 【提示】注意两几何体几何量之间的联系； 【答案】∶1； 【解析】若一球与正方体的所有棱都相切，则球的直径和正方体的面对角线的长相等，故正方体的棱长与球的半径之比为∶1； 4、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________． 【提示】注意两几何体几何量之间的联系； 【答案】； 【解析】 如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O， ∵正四棱锥P­ABCD中AB＝2，∴AO′＝. ∵PO′＝4， ∴在Rt△AOO′中， 5、正方体的外接球与内切球的表面积之比为（ ） A． B．3 C．3 D． 【提示】注意阅读理解正方体的外接球与内切球的几何的相同点与区别点； 【答案】C； 【解析】设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1， 则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R＝，所以R＝， 正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r＝1，即r＝，所以＝， 正方体的外接球与内切球的表面积之比为＝＝3； 【说明】本题揭示了待定系数法在几何体计算中的作用； 6、若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是(　　) A．S球＜S圆柱＜S正方体　B．S正方体＜S球＜S圆柱 C．S圆柱＜S球＜S正方体 D．S球＜S正方体＜S圆柱 【提示】注意阅读与转化几何体之间的几何关联； 【答案】A； 【解析】设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a， 则πr2·2r＝πR3＝a3，＝，＝2π， S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2， ＝＝·＝ ＜1， ＝＝·＝ ＞1；故选A； 【说明】本题是几何体的计算与比较大小的交汇；对球的表面积与体积公式的几点认识： 1、从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数； 2、由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的； 3、球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍； 7、圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________ cm2. 【提示】注意通过阅读理解，等价转化“体积间等量关系”； 【答案】100π； 【解析】设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53.∴r＝5； ∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π (cm2)； 8、若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积S正方体、S圆柱、S球的大小关系是 【提示】注意几何体的几何量之间的关联； 【答案】S球＜S圆柱＜S正方体； 【解析】设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a， 则πr2·2r＝πR3＝a3，＝，＝2π， S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2， ＝＝·＝ ＜1， ＝＝·＝ ＞1；. 9、已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______． 【答案】50π 【解析】球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直， 是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同， 长方体的对角线长为＝5，外接球的半径为. 外接球的表面积为4π＝50π. 10、已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2， 则球的表面积为 ． 【答案】π； 【解析】设截面圆心为O′，球心为 O，连接 O′A，OA，OO′， 设球的半径为 R. 因为O′A＝××2＝. 在 Rt△O′OA 中，OA2＝O′A2＋O′O2， 所以 R2＝＋R2， 所以 R＝， 所以 S球＝4πR2＝π. 11、在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【提示】注意题设“外接球”及其表面积的求法与过程； 【答案】D； 【解析】，，故底面三角形外接圆半径为， ，当时等号成立， 故，故， 当离平面最远时，外接球表面积最小， 此时，在平面的投影为中点， 设球心为，则在上，故， 化简得到， 双勾函数在上单调递增， 故，故. 故选：D. 【说明】本题是几何的表面积计算与基本不等式、证明函数单调性的综合； 12、蹴鞠，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠(如图所示) 最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动， 类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入 第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠(近似看作球体)的表面上 有四个点S，A，B，C，满足S－ABC为正三棱锥，M是SC的中点，且AM⊥SB，侧棱SA＝1，则该鞠的表面积为 【提示】通过阅读与建模进行转化； 【答案】3π； 【解析】如图，N为BC的中点，则MN∥SB，又AM⊥SB，∴AM⊥MN， 又S－ABC为正三棱锥且侧棱SA＝1，∴MN＝，AN＝AB，若∠ASB＝θ， 则AM2＝－cos θ，AB2＝2－2cos θ，在Rt△AMN中，AM2＋MN2＝AN2， 即－cos θ＝(2－2cos θ)，可得cos θ＝0， 又0<θ<π，∴θ＝，∴SA，SB，SC两两垂直，易得外接球半径R＝， ∴该鞠的表面积为4πR2＝3π； 【说明】本题是球的相关计算与及位置关系、三角的综合； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【原卷版】 11.4.3 球的表面积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 球的表面积 球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2， 即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形． 1、若一个球的直径为 2，则此球的表面积为 2、体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 3、若一球与正方体的所有棱都相切，则正方体的棱长与球的半径之比为 _； 4、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________． 5、正方体的外接球与内切球的表面积之比为（ ） A． B．3 C．3 D． 6、若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是(　　) A．S球＜S圆柱＜S正方体　B．S正方体＜S球＜S圆柱 C．S圆柱＜S球＜S正方体 D．S球＜S正方体＜S圆柱 7、圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________ cm2. 8、若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积S正方体、S圆柱、S球的大小关系是 9、已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______． 10、已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2， 则球的表面积为 ． 11、在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 12、蹴鞠，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠(如图所示) 最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动， 类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入 第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠(近似看作球体)的表面上 有四个点S，A，B，C，满足S－ABC为正三棱锥，M是SC的中点，且AM⊥SB，侧棱SA＝1，则该鞠的表面积为 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$