11.4.1 球-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 11.4.1 球 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 球面、球体 及其相关概念 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球；记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 考点二 球的截面 球的截面是什么？ 【解析】球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆； 考点三 纬线、经线 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆 （如图）的圆周称为纬线， 按照南北方向分为南纬和北纬； 过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线； 按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 1、球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系： 2、用一个平面截半径为25 cm的球，截面圆的面积是225π cm2，则球心到截面的距离为________ cm. 3、如图所示，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P－ABCDEF， 则该正六棱锥的体积为________. 4、如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°； 将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体， 试说明这个组合体的由 拼接而成的； 5、用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是(　　) A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．棱柱 6、下列说法正确的是(　　) A．到定点的距离等于定长的点的集合是球 B．球面上不同的三点可能在同一条直线上 C．用一个平面截球，其截面是一个圆 D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面 7、下列关于球体的说法正确的序号是 ①球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 ②球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 ③一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 ④球的对称轴只有1条 8、某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm， 如图所示， 则该地球仪的半径是 cm； 9、如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的空间图形形状为 10、下列命题正确的命题的序号是 ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆； ②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径； ③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面； ④球面上任意三点可能在一条直线上； ⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段； 11、已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求：这个球的半径。 12、把地球看成一个半径为6 370 km的球，已知我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度(π≈3.141 6, cos 40°≈0.766 0，结果精确到1 km)． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 11.4.1 球 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 球面、球体 及其相关概念 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球；记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 考点二 球的截面 球的截面是什么？ 【解析】球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆； 考点三 纬线、经线 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆 （如图）的圆周称为纬线， 按照南北方向分为南纬和北纬； 过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线； 按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 1、球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系： 【提示】注意结合定义，转化为平面问题； 【答案】r＝； 【解析】球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝. 【说明】本题的求法与结论得关注； 2、用一个平面截半径为25 cm的球，截面圆的面积是225π cm2，则球心到截面的距离为________ cm. 【提示】注意通过作截面转化； 【答案】20； 【解析】由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝15(cm)，则球心到截面的距离d＝＝20(cm)； 【说明】本题考查了r＝的应用； 3、如图所示，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P－ABCDEF， 则该正六棱锥的体积为________. 【提示】注意用好“对称性”； 【答案】4； 【解析】由题意知正六棱锥的底面边长和高都是2，故V＝××22×6×2＝4； 【说明】本题考查了利用“对称性”转化为平面计算，然后，代公式； 4、如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°； 将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体， 试说明这个组合体的由 拼接而成的； 【提示】注意特殊几何体的形成过程； 【答案】一个圆锥和一个半球； 【解析】如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的． ； 【说明】本题考查了分解法； 5、用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是(　　) A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．棱柱 【答案】D； 【解析】用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面； 6、下列说法正确的是(　　) A．到定点的距离等于定长的点的集合是球 B．球面上不同的三点可能在同一条直线上 C．用一个平面截球，其截面是一个圆 D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面 【提示】理解球的定义； 【答案】D； 【解析】对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的； 【说明】本题考查了球的定义及其理解； 7、下列关于球体的说法正确的序号是 ①球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 ②球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 ③一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 ④球的对称轴只有1条 【提示】理解球、球面等概念； 【答案】②③； 【解析】空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以①错误，②正确；由球体的定义，知③正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以④错误； 【说明】本题考查球的相关概念； 8、某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm， 如图所示， 则该地球仪的半径是 cm； 【提示】理解“纬线”的； 【答案】； 【解析】如图所示,由题意知,北纬30°所在小圆的周长为12 π， 则该小圆的半径r=6 cm， 其中∠ABO=30°, 所以该地球仪的半径R=(cm). 答案：； 【说明】本题考查了“纬度线”及其转化计算； 9、如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的空间图形形状为 【答案】一个球体中间挖去一个圆柱 【答案】圆面绕着直径所在的轴旋转形成球，矩形绕着轴旋转形成圆柱．故选B. 10、下列命题正确的命题的序号是 ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆； ②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径； ③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面； ④球面上任意三点可能在一条直线上； ⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段； 【答案】②③⑤； 【解析】本题主要考查球的概念与性质,正确理解球的有关性质是解题的关键.当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故①错;②正确;③正确;球面上任意三点一定不共线,故④错误;根据球的半径的定义可知⑤正确. 11、已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求：这个球的半径。 【提示】注意作好截面转化； 【答案】3； 【解析】如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R， 则πr＝5π，πr＝8π，∴r＝5，r＝8， 又∵R2＝r＋d＝r＋d，∴d－d＝8－5＝3， 即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，又d1－d2＝1， ∴解得 ∴R＝＝＝3，即球的半径等于3. 【说明】1、用平行于底面的平面去截柱、锥、台等空间图形，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解；2、利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键． 12、把地球看成一个半径为6 370 km的球，已知我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度(π≈3.141 6, cos 40°≈0.766 0，结果精确到1 km)． 【提示】注意利用“找”北纬40°进行转化； 【解析】作出截面图，如图所示； 设A是北纬40°圆上的一点， AK是北纬40°圆的半径，O为球心， 所以OK⊥AK.设北纬40°的纬线长为c km， 因为∠AOB＝∠OAK＝40°， 所以，c＝2π·AK ＝2π·OA·cos∠OAK ＝2π·OA·cos 40° ≈2×3.141 6×6 370×0.766 0 ≈30 658. 即北纬40°的纬线长约为30 658 km. 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$