11.3.2 旋转体-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【解析版】 11.3.2 旋转体 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 考点二 旋转面 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 考点三 母线、顶点 直线a称为圆柱面或圆锥面的母线；在圆锥面的情况中，母线与转轴的交点O旋转以后仍然是一个点（仍记为O），这个点称为圆锥面的顶点； 1、已知圆锥的母线长为5，底面圆直径为8，则圆锥的高h＝ 【提示】理解圆锥的几何结构； 【答案】3； 【解析】如图，∵圆锥的底面直径AB＝8， ∴圆锥的底面半径R＝OA＝4， 又∵SA＝5，∴圆锥的高h＝SO＝＝3． 【说明】本题考查了圆锥的定义与结构特征； 2、一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1︰4，截去 小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为 cm 【提示】注意将空间计算化为平面计算； 【答案】9； 【解析】如图所示，设圆台的母线长为x cm， 截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，根据三角形相似的性质，得＝，解得x＝9； 【说明】本题考查了利用圆台的几何特征通过相似比进行转化； 3、直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成． 【提示】注意圆锥的定义； 【答案】两个圆锥； 【解析】所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的； 【说明】本题考查了几何体的“分解法； 4、圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm，则它的轴截面的面积是________(cm2) 【提示】注意用好转化 【答案】63 cm2； 【解析】画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)， AM＝＝9(cm)， ∴S四边形ABCD＝＝63(cm2)； 【说明】本题考查了依据轴截面进行转化为平面计算； 5、下列说法正确的是（ ） A．矩形绕其一边所在直线旋转一周其余三边形成的面所围成的几何体是圆柱 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台 D．圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； 【提示】理解特殊旋转体的相关概念； 【答案】A； 【解析】由圆柱的定义可知，A正确； 由圆台的定义可知，B不正确，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴； C错误，应是用一个与圆锥底面平行的平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； D错误，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴； 故选A； 【说明】本题考查了特殊旋转体的定义与结构特征； 6、如图是由哪个平面图形旋转得到的(　　) 【提示】理解与明确圆柱、圆锥、圆台的形成； 【答案】A； 【解析】图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形； 【说明】本题考查了圆锥、圆台的定义与“分解法”； 7、一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________ cm. 【答案】10； 【解析】如图所示，在Rt△ABO中， AB＝20 cm，∠A＝30°，所以AO＝AB·cos 30°＝20×＝10(cm)； 8、已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示). 【答案】 【解析】设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r，所以，4r2＝Q，解得r＝， 所以，此圆柱的底面半径为； 9、圆锥母线长为8，底面半径为2，A为底面圆周上一点，从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后，再回到A，则绳长最短的长度为 ； 【答案】8； 【解析】如图所示，将圆锥沿过A点的母线展开， 设A点展开后另一点为A′点，则绳子最短长度为线段AA′的长度； 因为底面半径为2，所以孤长′＝2π×2＝4π.因为展开图对应的扇形半径R＝8， 所以圆心角α＝＝，即△A′OA为直角三角形． 所以AA′＝＝8； 10、有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 cm 【提示】注意等价转化； 【答案】5π； 【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)， 由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置， 故线段AC的长度即为铁丝的最短长度； AC＝＝5π cm，故铁丝的最短长度为5π cm； 【说明】求几何体表面上两点间的最小距离的步骤：1、将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；2、将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；3、结合已知条件求得结果； 11、如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁， 现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面一周且由A点爬到B点， 问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 【提示】将圆柱体侧面展开，利用平面中两点之间线段最短求解； 【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形， 如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离． ∵AA′为底面圆的周长， ∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2， ∴AB′＝＝＝2， 即蚂蚁爬行的最短距离为2； 【考点】本题考查了有关旋转体“面上的最短问题“，一般”展开“往往是有效的方法； 12、如图所示，圆锥底面圆的半径OA＝6，轴截面的顶角∠ASB是直角， 过两条母线的截面SCB截去底面圆周的，求截面的面积； 【提示】注意仔细阅读转化； 【解析】由题意知，轴截面顶角∠ASB＝90°，OA＝6， ∴SA＝SB＝SC＝6.如图，连接OB，OC，作SD⊥BC于D. ∵弧BC的长为底面圆周长的，∴∠BOC＝×360°＝60°. ∴OB＝OC＝BC＝6． ∴SD＝＝＝3. ∴S△SCB＝×6×3＝9. ∴截面面积为9. 【说明】与圆锥有关的截面问题的解决策略：1、画出圆锥的轴截面；2、在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【原卷版】 11.3.2 旋转体 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 考点二 旋转面 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 考点三 母线、顶点 直线a称为圆柱面或圆锥面的母线；在圆锥面的情况中，母线与转轴的交点O旋转以后仍然是一个点（仍记为O），这个点称为圆锥面的顶点； 1、已知圆锥的母线长为5，底面圆直径为8，则圆锥的高h＝ 2、一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1︰4，截去 小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为 cm 3、直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成． 4、圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm，则它的轴截面的面积是________(cm2) 5、下列说法正确的是（ ） A．矩形绕其一边所在直线旋转一周其余三边形成的面所围成的几何体是圆柱 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台 D．圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； 6、如图是由哪个平面图形旋转得到的(　　) 7、一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________ cm. 8、已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示). 9、圆锥母线长为8，底面半径为2，A为底面圆周上一点，从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后，再回到A，则绳长最短的长度为 ； 10、有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 cm 11、如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁， 现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面一周且由A点爬到B点， 问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 12、如图所示，圆锥底面圆的半径OA＝6，轴截面的顶角∠ASB是直角， 过两条母线的截面SCB截去底面圆周的，求截面的面积； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$