专题03 第11章简单几何体【多面体与旋转体】（讲义）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 多面体与旋转体 【沪教版2020】数学 必修 第三册 教材解读 必修课程第10章讨论了空间中点、线及面的位置关系和一些性质；在此基础上，《第11章 简单几何体》将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的；因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖臑（biē nào）”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 【本章教材目录】第11章 简单几何体 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 【要点方法解读】 解读点011 多面体及其相关概念 1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2、多面体可以用它的面的数量进行命名：有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥,有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋2面体；由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥; 3、与平面上的正多边形类比：在空间中可以考虑正多面体；如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体； 【典例】 1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”） ①棱柱的底面互相平行；（ ） ②棱柱的各个侧面都是平行四边形；（ ） ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；（ ） ④长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体；（ ） ⑤用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分为棱台；（ ） 【说明】本题主要考查了多面体及其相关概念；并渗透了用特殊几何体转化简单的组合体； 2、如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（ ） A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B．该几何体有12条棱、6个顶点 C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有9个面，其中有一个为四边形，其余的为三角形 【说明】棱柱、棱锥、棱台间的关系：棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，它们都是凸多面体； 解读点012 四面体及其相关 注意四面体（四个面都是三角形的三棱锥）在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用； 【典例】 1、面数最少的多面体有________个面. 2、四个面都是正三角形的三棱锥各棱长均为a，其两条相对棱的中点分别为M，N，则MN的长是________． 解读点013 多面体的展开与折叠 1、由多面体画平面展开图，一般要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图； 2、由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推； 3、求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题； 1、如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 2、如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. （1）折起后形成的几何体是什么几何体？ （2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ （3）每个面的三角形面积为多少？ 解读点014 旋转体及其相关概念 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 圆柱、圆锥和圆台的概念 （1）圆柱、圆锥和圆台的定义 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台； （2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念 绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线； 【典例】 1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”） ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；(　 　) ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(　 　) ③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；(　 　) ④圆锥的轴截面是等腰三角形，且只有一个；(　 　) ⑤圆台所有母线的延长线交于一点；(　 　) 【说明】通过本题的求解，说明仔细理解概念的前提与关键词是判断命题真假的保障； 2、如图将图ABCD所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到右图所示的几何体的是哪一个图形(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 解读点015 简单组合体的结构特征与转化 组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证 【典例】 1、请描述如图所示的几何体是如何形成的. 2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　) A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 【针对性即时练】 1、已知正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的棱长为3，连接两个面的重心E，F，则线段EF的长为________． 2、已知正四棱锥的底面边长为4 cm，高与侧棱夹角为45°，则其斜高长为________ cm. 3、将半径为2，中心角为90°的扇形卷成圆锥的侧面，则圆锥的轴截面面积为 4、用长和宽分别为3π 和π 的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是________． 5、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 6、已知命题 ①长方体和正方体不是棱柱； ②五棱柱中五条侧棱相等； ③三棱柱中底面三条边都相等； ④由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． 其中正确命题的序号是： 7、若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(　　) A． B． C． D． 8、下列说法中正确的是(　　) A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 9、一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积； 10、（1）个正三棱柱的底面边长是4，高为6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积； （2）一个正四棱锥的底面边长是2，高是3，求它的侧棱长与斜高； ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 多面体与旋转体 【沪教版2020】数学 必修 第三册 教材解读 必修课程第10章讨论了空间中点、线及面的位置关系和一些性质；在此基础上，《第11章 简单几何体》将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的；因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖臑（biē nào）”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 【本章教材目录】第11章 简单几何体 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 【要点方法解读】 解读点011 多面体及其相关概念 1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2、多面体可以用它的面的数量进行命名：有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥,有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋2面体；由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥; 3、与平面上的正多边形类比：在空间中可以考虑正多面体；如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体； 【典例】 1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”） ①棱柱的底面互相平行；（ ） ②棱柱的各个侧面都是平行四边形；（ ） ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；（ ） ④长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体；（ ） ⑤用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分为棱台；（ ） 【提示】注意：理解与归纳多面体及其特殊几何体的几何特征； 【答案】①√；②√；③×；④×；⑤×； 【解析】对于①，由棱柱的定义，得①是真命题； 对于②，由棱柱的定义；可归纳得：棱柱的两个主要结构特征：①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形；通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”； 所以，②是真命题； 对于③，特别注意：有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体才叫棱锥；所以，③是假命题； 对于④，注意：上、下底面为矩形的直四棱柱才是长方体；所以，④是假命题； 对于⑤，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，所以，⑤是假命题； 【说明】本题主要考查了多面体及其相关概念；并渗透了用特殊几何体转化简单的组合体； 2、如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（ ） A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B．该几何体有12条棱、6个顶点 C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有9个面，其中有一个为四边形，其余的为三角形 【答案】D； 【解析】由图可知，该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，有12条棱、6个顶点、8个面，故D不正确； 【说明】棱柱、棱锥、棱台间的关系：棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，它们都是凸多面体； 解读点012 四面体及其相关 注意四面体（四个面都是三角形的三棱锥）在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用； 【典例】 1、面数最少的多面体有________个面. 【答案】4； 【解析】面数最少的多面体是四面体(三棱锥)，有4个面；. 2、四个面都是正三角形的三棱锥各棱长均为a，其两条相对棱的中点分别为M，N，则MN的长是________． 【答案】a； 【解析】如图所示，三棱锥A－BCD，M，N分别为BC，AD的中点， 连接MN，NC，BN， ∴BN＝CN＝a， ∴△BNC为等腰三角形，MN⊥BC， ∴MN＝＝a； 解读点013 多面体的展开与折叠 1、由多面体画平面展开图，一般要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图； 2、由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推； 3、求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题； 1、如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 【解析】　①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台. 2、如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. （1）折起后形成的几何体是什么几何体？ （2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ （3）每个面的三角形面积为多少？ 【解析】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥； （2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形； （3）S△PEF＝a2， S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2， S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE ＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2. 解读点014 旋转体及其相关概念 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 圆柱、圆锥和圆台的概念 （1）圆柱、圆锥和圆台的定义 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台； （2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念 绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线； 【典例】 1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”） ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；(　 　) ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(　 　) ③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；(　 　) ④圆锥的轴截面是等腰三角形，且只有一个；(　 　) ⑤圆台所有母线的延长线交于一点；(　 　) 【提示】注意：仔细理解旋转体的定义及其相关概念； 【答案】①×；②×；③×；④×；⑤√；　 【解析】对于①，直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥；所以，①是假命题； 对于②，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；所以，②是假命题； 对于③，用一个平行于底面的平面去截圆锥得到一个圆锥与圆台；所以，③是假命题； 对于④，圆锥的轴截面是等腰三角形，但其轴截面有无数个；所以，④是假命题； 对于⑤由圆台的特征性质；所以，⑤是真命题； 【说明】通过本题的求解，说明仔细理解概念的前提与关键词是判断命题真假的保障； 2、如图将图ABCD所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到右图所示的几何体的是哪一个图形(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 【答案】B； 解读点015 简单组合体的结构特征与转化 组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证 【典例】 1、请描述如图所示的几何体是如何形成的. 【解析】①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体； 思维升华　1.判定实物图是由哪些简单几何体组成，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体，具有一定的空间想象能力； 2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　) A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 【提示】根据旋转体的概念，作出直观图，可得答案； 【答案】D； 【解析】图①是一个等腰梯形，为较长的底边， 以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图②，包括一个圆柱、两个圆锥， 故选：D 【针对性即时练】 1、已知正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的棱长为3，连接两个面的重心E，F，则线段EF的长为________． 【答案】1； 【解析】如图所示，E为△ABD的重心，F为△ADC的重心，取BD的中点M，CD的中点N，连接AM，AN，MN，则EF∥MN，且EF＝MN， 又MN＝BC＝， ∴EF＝1. 2、已知正四棱锥的底面边长为4 cm，高与侧棱夹角为45°，则其斜高长为________ cm. 【答案】2； 【解析】如图所示，∠ASO＝45°， ∴SO＝AO＝×4＝2(cm)． E为BC的中点，SE为BC边的斜高， ∴SE＝＝＝2(cm)． 3、将半径为2，中心角为90°的扇形卷成圆锥的侧面，则圆锥的轴截面面积为 【答案】 ； 【解析】设圆锥的底面半径和高分别为r，h， ∵扇形弧长为圆锥底面周长， ∴×2π×2＝2πr，∴r＝. ∴高h＝＝. ∴轴截面面积S＝×2r·h＝. 4、用长和宽分别为3π 和π 的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是________． 【答案】或； 【解析】以3π 为底面周长得2πr1＝3π ，∴r1＝； 以π 为底面周长得2πr2＝π ，∴r2＝；答案：或； 5、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 【答案】 【解析】由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm； 6、已知命题 ①长方体和正方体不是棱柱； ②五棱柱中五条侧棱相等； ③三棱柱中底面三条边都相等； ④由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． 其中正确命题的序号是： 【答案】②，④； 【解析】长方体和正方体是四棱柱，①错；棱柱的侧棱平行且相等，②正确；三棱柱中底面三条边不一定相等，③错；④正确 7、若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B； 【解析】以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥构成， 正四棱锥的底面边长为1，高为，∴V＝2××1×1×＝.故选B． 8、下列说法中正确的是(　　) A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 【答案】A； 【解析】棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错. 9、一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积； 【解析】如图，设圆锥SO的底面圆直径为AB，SO为高，SA为母线， 则SO＝2，∠ASO＝30°， 在Rt△SAO中， AO＝SO·tan30°＝2×＝， SA＝＝＝， 而S△ASB＝SO·AB＝SO·AO＝2×＝， 所以圆锥的母线长为，它的轴截面面积为. 10、（1）个正三棱柱的底面边长是4，高为6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积； （2）一个正四棱锥的底面边长是2，高是3，求它的侧棱长与斜高； 【解析】（1）如图，正三棱柱ABC－A′B′C′，符合题意的截面为△A′BC. 在Rt△A′B′B中，A′B′＝4，BB′＝6. ∴A′B＝ ＝＝2. 同理A′C＝2. 在等腰△A′BC中，BO＝×4＝2. ∵A′O⊥BC， ∴A′O＝ ＝ ＝4. ∴S△A′BC＝BC·A′O＝×4×4＝8. ∴此截面的面积为8. （2）如图示，正四棱锥S－ABCD， 其中AB＝2，高SO＝3， ∴AO＝AC＝＝. ∴侧棱长为SA＝＝＝， 取AB的中点E，连接OE，SE， 则SE为斜高，且OE＝1， ∴SE＝＝. 【说明】正棱锥中的计算问题，经常把要求的线段转化到直角三角形中．常用的直角三角形如图所示：高为SO，斜高为SD，则△SOA，△SOD，△SDC，△CDO均为直角三角形． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$