11.2.3 锥体的表面积-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 11.2.3 锥体的表面积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 正棱锥的侧面积 正棱锥的表面积 S正棱锥侧＝ch′ （c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高） S正棱锥表＝ch′+S底 （c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高） 考点二 正棱台的侧面积 正棱台的表面积 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ S正棱台表＝(c＋c′)h′+S上底+S下底 （c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高） 考点三 圆锥的侧面积 圆锥的表面积 S圆锥侧＝πrl S圆锥表＝πrl +S底 （r为底面半径，l为侧面母线长（（； 考点四 圆台的侧面积 圆台的表面积 S圆台侧＝π(r1＋r2)l S圆台表＝π(r1＋r2)l+S上底+S下底 （r1为上底面半径，r2为下底面半径， l为侧面母线长）； 1、若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为_______ 2、棱长都是3的三棱锥的表面积S为_________________ 3、正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30 °，则该四棱锥的侧面积为 4、如图，设正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍， 正三棱锥的高SO＝3，则此正三棱锥的表面积为 5、已知正方体的8个顶点中，其中有4个顶点为各侧面均为等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（ ） A．1∶ B．1∶ C．2∶ D．3∶ 6、若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A．π B．2π C．2π D．4π 7、一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 8、圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________cm2.(结果中保留π) 9、若圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，则圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为________. 10、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， 在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周， 则旋转体的表面积为 ． 11、某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h降雨量的等级划分如下: 等级 24 h降雨量(精确到0.1) 小雨 ≤9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h降雨量的等级是(　　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 12、如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积. 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 11.2.3 锥体的表面积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 正棱锥的侧面积 正棱锥的表面积 S正棱锥侧＝ch′ （c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高） S正棱锥表＝ch′+S底 （c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高） 考点二 正棱台的侧面积 正棱台的表面积 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ S正棱台表＝(c＋c′)h′+S上底+S下底 （c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高） 考点三 圆锥的侧面积 圆锥的表面积 S圆锥侧＝πrl S圆锥表＝πrl +S底 （r为底面半径，l为侧面母线长（（； 考点四 圆台的侧面积 圆台的表面积 S圆台侧＝π(r1＋r2)l S圆台表＝π(r1＋r2)l+S上底+S下底 （r1为上底面半径，r2为下底面半径， l为侧面母线长）； 1、若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为_______ 【提示】注意：“侧面展开图是面积为2π的半圆面”； 【答案】； 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2， 又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π， 所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝＝＝.； 【说明】本题考查了圆锥的结构特征与公式； 2、棱长都是3的三棱锥的表面积S为_________________ 【提示】注意：“棱长都是3”； 【答案】9； 【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9； 【说明】多面体的侧面积：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，则侧面积为各个三角形面积的和； 棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和； 3、正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30 °，则该四棱锥的侧面积为 【提示】注意：高、斜高及其在底面的射影，高、侧棱及其在底面的射影构成的直角三角形，； 【答案】32； 【解析】如图所示，在正四棱锥P­ABCD中，连接AC，BD交于点O， 连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE， 易知PO为正四棱锥P­ABCD的高，PE为斜高， 则OE＝PE，因为OE＝AB＝2，所以PE＝4，则S侧＝4××4×4＝32. 故四棱锥的侧面积为32. 【说明】本题考查了正四棱锥的定义与几何特征； 4、如图，设正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍， 正三棱锥的高SO＝3，则此正三棱锥的表面积为 【提示】理解正三棱锥的结构特征； 【答案】27； 【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB， 与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′. 因为S侧＝2S底， 所以·3a·h′＝a2×2. 所以a＝h′. 因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2，所以32＋＝h′2； 所以h′＝2，所以a＝h′＝6，所以S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18； 所以S表＝S侧＋S底＝9＋18＝27，答案：27； 【说明】本题考查了正三棱锥的结构特征与侧面积、表面积公式；. 5、已知正方体的8个顶点中，其中有4个顶点为各侧面均为等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（ ） A．1∶ B．1∶ C．2∶ D．3∶ 【提示】注意阅读理解，两几何体的之间的结构特征以及关联； 【答案】B； 【解析】三棱锥B′­ACD′为适合条件的三棱锥，四个面为全等的等边三角形， 设正方体的棱长为1，则B′C＝，S△B′AC＝， 三棱锥的表面积S锥＝4×＝2， 又正方体的表面积S正＝6； 因此S锥∶S正＝2∶6＝1∶， 【说明】本题考查了锥体的定义与表面积公式； 6、若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A．π B．2π C．2π D．4π 【提示】知道与用好圆锥的侧面积公式； 【答案】A 【解析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l. 由题意可知r＝h＝l，则(r)2＝1， 则r＝1，l＝， 所以该圆锥的侧面积为πrl＝π. 【说明】本题主要考查了圆锥的侧面积公式； 求解几何体表面积的类型及求法 求多面体的表面积 将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 7、一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 【提示】注意圆柱与圆锥间的关联； 【答案】2∶1； 【解析】S圆柱＝2·π＋2π··a＝πa2，S圆锥＝π＋π··a＝πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1. 【说明】本题考查了圆柱与圆锥的表面积公式； 8、圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________cm2.(结果中保留π) 【提示】注意数形结合地理解； 【答案】1 100π； 【解析】如图所示，设圆台的上底面周长为c cm， 因为扇环的圆心角是180°， 故c＝π·SA＝2π×10(cm)， 所以SA＝20 cm； 同理可得SB＝40 cm， 所以AB＝SB－SA＝20 cm， 所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)； 故圆台的表面积为1 100π cm2； 答案：1 100π； 9、若圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，则圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为________. 【提示】注意几何体几何特征间的关联； 【答案】－1　 【解析】如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有＝， 即＝，∴R＝2r，圆锥的母线长l＝R， ∴＝＝ ＝＝ ＝－1. 【说明】本题考查了待定系数法、几何体间的关联引起相应参数间的关联与比例可以“约分”的技巧； 10、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， 在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周， 则旋转体的表面积为 ． 【提示】阅读理解与等价转化：组合体为一个圆柱在中间挖去了一个等高的圆锥，分别计算各部分的表面积即可． 【答案】(9＋4)πa2. 【解析】如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥． 在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a， AB＝(2a－a)tan 60°＝a，DC＝＝2a. 又DD′＝DC＝2a， ∴S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧 ＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·a＋π·(2a)2＋π·a·2a ＝(9＋4)πa2. 【说明】本题揭示了求组合体的表面积的解题策略： 1对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响. 2对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化. 11、某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h降雨量的等级划分如下: 等级 24 h降雨量(精确到0.1) 小雨 ≤9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h降雨量的等级是(　　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【提示】阅读理解等价转化； 【答案】B 【解析】由题意知， 一个半径为=100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为=50(mm)， 高为150 mm的圆锥，所以积水深度d=12.5(mm),属于中雨； 【说明】本题通过考查有关圆锥的计算，结合给定的“模型”进行预测； 12、如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积. 【提示】注意理解与“分解”已知几何体； 【解析】由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为. 所求旋转体的表面积由三部分组成： 圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面.S圆锥底面＝4π，S圆锥侧＝8π，S圆柱侧＝2π， 故所求几何体的表面积为：4π＋8π＋2π＝12π＋2π. 所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积， 即V旋转体＝×π×22×2－π×12×＝π， 故所求旋转体的体积为π. 【说明】本题考查了求组合体的表面积和体积；求组合体的表面积和体积.首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的，组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差). 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$