11.1.1 棱柱与圆柱-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 11.1.1 棱柱与圆柱 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 棱柱的定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 考点二 棱柱的相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 考点三 棱柱的分类 分类1：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2：侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 考点四 圆柱的定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱； 考点五 圆柱的相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 考点六 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面； 也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 1、一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 2、已知一个圆柱的轴截面是边长为2cm的正方形，则圆柱上底面边上任意一点和下底面圆心连成的直线与下底面所成角的正切值为 3、如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯， AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜， 使AB所在直线与桌面所成的角为， 则此时圆柱母线与水面所在平面所成的角大小为______． 4、有下列命题： ①在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长； ③侧面都是平行四边形的多面体是棱柱； ④体对角线相等的平行六面体是长方体. 共中正确命题的序号是___________（填序号） 5、下面多面体中，是棱柱的共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6、四棱柱有几条侧棱，几个顶点（ ） A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点 C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点 7、将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱， 如图，圆弧长为，圆弧长为，其中与在平面的同侧， 则异面直线与所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 8、如图，往透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③当E在AA1上时，AE＋BF是定值． 其中，正确的说法是(　　) A．①② B．① C．①②③ D．①③ 9、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点， 沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 10、正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到点D1时的最短的路程是_____________． 11、如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1，其中点E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点， 过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分， 各部分形成的几何体是棱柱吗？ 如果是，是几棱柱？并用符号表示；如果不是，请说明理由； 12、在如图所示的半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径， 为母线，点F在圆弧上， 点G在圆弧上且，P为的中点. （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正切值； （3）求二面角的正弦值； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 11.1.1 棱柱与圆柱 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 棱柱的定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 考点二 棱柱的相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 考点三 棱柱的分类 分类1：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2：侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 考点四 圆柱的定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱； 考点五 圆柱的相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 考点六 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面； 也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 1、一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 【提示】注意棱柱的分类与几何特征； 【答案】12； 【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm； 【说明】本题考查了棱柱的分类与几何特征； 2、已知一个圆柱的轴截面是边长为2cm的正方形，则圆柱上底面边上任意一点和下底面圆心连成的直线与下底面所成角的正切值为 【提示】“找”线面角画出来，再利用公式求角即可； 【答案】 【解析】如图所示，在圆柱上底面取一点，作垂直底面与， 连接，， 因为圆柱轴截面为正方形，所以， 又因为垂直底面，所以与下底面所成角为，； 【说明】本题考查了圆柱的定义、几何性质与线面角的交汇； 3、如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯， AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜， 使AB所在直线与桌面所成的角为， 则此时圆柱母线与水面所在平面所成的角大小为______． 【提示】根据题意作出示意图即可得到答案. 【答案】 【解析】如图所示，由题意可知：， 母线与水平面所成角为：， 故答案为： 【说明】本题在考查圆柱的定义、几何特征的同时，考查了空间的角； 4、有下列命题： ①在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长； ③侧面都是平行四边形的多面体是棱柱； ④体对角线相等的平行六面体是长方体. 共中正确命题的序号是___________（填序号） 【提示】通过反例可确定①③错误；由圆锥母线定义知②正确；利用线面垂直的判定和性质可证得体对角线相等的平行六面体各个侧面均为矩形，由此可知④正确； 【答案】②④ 【解析】对于①，若上下底面上的两点连线与底面不垂直，则不是圆柱的母线，①错误； 对于②，由圆锥母线的定义可知②正确； 对于③，若一个直四棱柱与一个斜四棱柱底面大小相同，将其上下底面相接构成一个组合体，如下图所示， 此时满足侧面都是平行四边形，但该多面体不是棱柱，③错误； 对于④，若平行六面体的体对角线相等，则对角面为矩形，如下图所示， 此时四边形与均为矩形，，， 又，， ，平面，平面； 又平面，，， 四边形，，，均为矩形， 同理可得：平面，又平面，， 四边形，均为矩形，该平行六面体为长方体，④正确. 故答案为：②④ 【说明】本题综合考查了柱体的定义与几何特征； 5、下面多面体中，是棱柱的共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【提示】理解棱柱的定义； 【答案】D； 【解析】根据棱柱的结构特征进行判定知，这4个图都满足．故选D； 【说明】本题主要考查棱柱的定义，要学会从不同视角认识棱柱的结构特征； 6、四棱柱有几条侧棱，几个顶点（ ） A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点 C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点 【提示】理解四棱柱的结构特征； 【答案】C； 【解析】四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)； 【说明】本题主要考查四棱柱与棱柱的定义与几何特征；提醒：关注与用好正方体； 7、将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱， 如图，圆弧长为，圆弧长为，其中与在平面的同侧， 则异面直线与所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【提示】注意结合圆柱的定义与几何特征完成“找角”； 【答案】C； 【解析】作出过点的圆柱的母线，连接，如图， 则有，而， 即有，为正三角形， ，因此，， 是异面直线与所成的角， 由平面得，而，从而有，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为；故选：C 【说明】本题是圆柱几何特征与异面直线所成角的交汇； 8、如图，往透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③当E在AA1上时，AE＋BF是定值． 其中，正确的说法是(　　) A．①② B．① C．①②③ D．①③ 【提示】注意阅读理解转化； 【答案】D； 【解析】显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE-DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确．所以四个命题中①③正确．故选D； 【说明】本题综合考查了柱体的定义、几何特征与空间问题的等价转化； 9、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点， 沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 【提示】注意理解多面体的定义与正方体的几何特征； 【答案】； 【解析】由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.； 【说明】本题考查了正方体作为特殊的棱柱的几何特征与构成；通过展开将空间问题平面化； 10、正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到点D1时的最短的路程是_____________． 【提示】注意：展开转化为平面几何问题； 【答案】； 【解析】将所给的正六棱柱按图1部分展开，则AD1＝＝， AD1′＝＝，∵AD1＜AD1′， ∴从A点沿正侧面到上底面到D1的路程最短，最短路程为. ； 【说明】注意结合几何图形“分类讨论”； 11、如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1，其中点E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点， 过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分， 各部分形成的几何体是棱柱吗？ 如果是，是几棱柱？并用符号表示；如果不是，请说明理由； 【提示】注意：结合图形理解棱柱的定义； 【答案】是棱柱； 【解析】截面以上的几何体是三棱柱AEF­A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC­B1HGC1.； 【说明】通过本题理解解决几何体的方法之一：分割；转化为若干个特殊几何体； 12、在如图所示的半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径， 为母线，点F在圆弧上， 点G在圆弧上且，P为的中点. （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正切值； （3）求二面角的正弦值； 【提示】（1）根据几何法利用线线平行找异面直线所成的角为或其补角，借助余弦定理即可求解； （2）根据线面垂直，可得为直线与平面所成的角，在三角形中利用边长即可求解角的正切值； （3）根据，，可得为二面角的平面角，利用三角形即可求解正弦值； 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）过F点作圆柱的母线交于H， 因为与均为圆柱的母线，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以且， 所以为正三角形. 又因为为正三角形，所以，， 所以，所以或其补角为直线与所成的角. 在中，，，， 所以由余弦定理知：， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （2）因为平面，平面，所以 又因为，，平面, 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 在中，，. （3）由（2）知平面,平面, 所以，，因此为二面角的平面角， 在中，，，. 所以二面角的正弦值为； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$