专题02 第11章简单几何体【锥体】（讲义）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 锥 体 【沪教版2020】数学 必修 第三册 教材解读 必修课程第10章讨论了空间中点、线及面的位置关系和一些性质；在此基础上，《第11章 简单几何体》将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的；因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖臑（biē nào）”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 【本章教材目录】第11章 简单几何体 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 【要点方法解读】 解读点007 锥体、台体的定义、相关概念、结构特征与分类 1、锥体、台体的定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 图示及相关概念 记作：棱锥S­ABCD 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 分类1 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 分类2 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【备注】（百度上的定义） 棱锥的斜高：就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离。 棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影构成一个非常有用的直角三角形；它不仅实现了空间问题的平面化，而且把高、斜高、斜高射影、斜高与底面所成角、侧面与底面所成角集中在一个直角三角形中。解之，可得斜高； 棱台的斜高：就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离； 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 图示及相关概念 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 【注解】 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长， 底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 定义 我们把棱锥与圆锥统称为锥体； 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体； 大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台； 由圆锥的形成过程，容易看出圆台也可以看成是由直角梯形绕直角边旋转一周所形成的几何体； 其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台； 与台体有关的问题，我们一方面可以转化为锥体的问题来解决，另一方面也可以把锥体和柱体看作是台体的极端情形； 图示及相关概念 记作：棱台ABCD­A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 图示及相关概念 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 【典例】 1、判断下列命题的真假(正确的画“√”，错误的画“×”) ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；（ ） ②用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；（ ） ③圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；（ ） ④有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；（ ） ⑤棱台的侧棱延长后必交于一点；（ ） 2、给出下列几个结论： ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ②多面体至少有四个面； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 其中，错误的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【说明】解答此类题的关键是正确理解定义与明确定义的前提； 解读点008 锥体的体积 柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 【典例】 1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”） ①锥体的体积是柱体体积的；（ ） ②柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关；（ ） (　　) ③台体的体积可转化为两个锥体的体积之差；（ ） ④如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积相同答案；（ ） 2、设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(　　) A．6　　　　B.　　　　C．2　　　　D．2 【说明】这类题主要考查了椎体、台体的体积公式及其特征； 解读点009 三棱锥体积公式的推导与应用 如图，设是任一给定的三棱锥，其底面面积为， 为高，且； 过顶点分别作，， 连接、、， 显然； 由棱柱的定义，可知为三棱柱，其底面面积为，高为； 下面需要研究的是三棱柱与三棱锥的体积之间的关系； 考察三棱柱的构造可以发现， 比原三棱锥多出的部分是一个四棱锥， 连接， 将这个四棱锥分割成两个等底同高的三棱锥和； 因此，， 另一方面，可将三棱锥视作三棱锥，则它和原三棱锥又是等底同高的三棱锥，于是； 我们证明了三个三棱锥、 与都具有相同的体积， 于是； 由此得； 结论：如图，设是任一给定的三棱锥， 其底面面积为，为高，且； 则三棱锥的体积为； 【说明】以上推导是“割补法”求体积与祖暅原理的交汇； 初步应用；由于任意棱锥都可以分割为若干个同高的三棱锥， 因此，得 结论：如图，任一给定的棱锥， 其底面面积为，为高，且； 则棱锥的体积为； 【典例】 1、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为 ． 2、已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（       ） A． B． C．1 D． 解读点010 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； 2、几种特殊的多面体 （1）直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． （2）正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． （3）正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等；【依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高】 （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 3、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？ 【提示】S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl. 【典例】 1、判断下列命题真假（正确的打“√”，错误的打“×”） ①把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等；（ ） ②无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是四边形；（ ） ③空间几何体的侧面积即是表面积；（ ） ④棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的；（ ） 2、矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为（ ） A．1∶2　　　B．1∶1　　　C．1∶4　　　D．4∶1 【说明】解决表面积问题仔细审题、等价转化是关键； 【针对性即时练】 1、棱长都是3的三棱锥的表面积S为__________________ 2、已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为 3、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是 4、圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则圆锥的高是__________________ 5、正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为__________________ 6、下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱柱的侧面一定是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 7、观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是（ ） A．①是棱柱　　　　　 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 8、已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A．　　　　　　B． C．2π D．4π 9、正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积． 10、长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长； ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 锥 体 【沪教版2020】数学 必修 第三册 教材解读 必修课程第10章讨论了空间中点、线及面的位置关系和一些性质；在此基础上，《第11章 简单几何体》将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的；因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖臑（biē nào）”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 【本章教材目录】第11章 简单几何体 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 【要点方法解读】 解读点007 锥体、台体的定义、相关概念、结构特征与分类 1、锥体、台体的定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 图示及相关概念 记作：棱锥S­ABCD 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 分类1 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 分类2 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【备注】（百度上的定义） 棱锥的斜高：就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离。 棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影构成一个非常有用的直角三角形；它不仅实现了空间问题的平面化，而且把高、斜高、斜高射影、斜高与底面所成角、侧面与底面所成角集中在一个直角三角形中。解之，可得斜高； 棱台的斜高：就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离； 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 图示及相关概念 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 【注解】 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长， 底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 定义 我们把棱锥与圆锥统称为锥体； 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体； 大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台； 由圆锥的形成过程，容易看出圆台也可以看成是由直角梯形绕直角边旋转一周所形成的几何体； 其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台； 与台体有关的问题，我们一方面可以转化为锥体的问题来解决，另一方面也可以把锥体和柱体看作是台体的极端情形； 图示及相关概念 记作：棱台ABCD­A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 图示及相关概念 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 【典例】 1、判断下列命题的真假(正确的画“√”，错误的画“×”) ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；（ ） ②用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；（ ） ③圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；（ ） ④有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；（ ） ⑤棱台的侧棱延长后必交于一点；（ ） 【提示】理解椎体的定义及其相关概念； 【答案】①×；②×；③√；④×；⑤√； 【解析】对于①，应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，所以，①是假命题； 对于②，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，所以，②是假命题； 对于③，由圆锥、圆台的定义与“新定义”：过轴的截面是轴截面；所以，③是真命题； 对于④，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体未必是棱锥。如果其余各面没有一个共同的顶点就不是棱锥；所以，④是假命题； 对于⑤，由棱台定义得，⑤是真命题； 2、给出下列几个结论： ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ②多面体至少有四个面； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 其中，错误的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A； 【解析】①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，所以③是正确的； 【说明】解答此类题的关键是正确理解定义与明确定义的前提； 解读点008 锥体的体积 柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 【典例】 1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”） ①锥体的体积是柱体体积的；（ ） ②柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关；（ ） (　　) ③台体的体积可转化为两个锥体的体积之差；（ ） ④如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积相同答案；（ ） 【提示】注意理解体积的概念与椎体的条件公式； 【答案】①×；②√；③√；④×； 【解析】对于①，注意：等底同高的前提；所以，①是假命题； 对于②，依据体积公式，所以，②是真命题； 对于③；由台体的定义与体积的定义，得③是真命题； 对于④，由体积的定义与柱体和锥体的条件公式，所以，④是假命题； 2、设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(　　) A．6　　　　B.　　　　C．2　　　　D．2 【答案】B； 【解析】由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又因为底面积S＝， 所以体积V＝Sh＝××2＝. 【说明】这类题主要考查了椎体、台体的体积公式及其特征； 解读点009 三棱锥体积公式的推导与应用 如图，设是任一给定的三棱锥，其底面面积为， 为高，且； 过顶点分别作，， 连接、、， 显然； 由棱柱的定义，可知为三棱柱，其底面面积为，高为； 下面需要研究的是三棱柱与三棱锥的体积之间的关系； 考察三棱柱的构造可以发现， 比原三棱锥多出的部分是一个四棱锥， 连接， 将这个四棱锥分割成两个等底同高的三棱锥和； 因此，， 另一方面，可将三棱锥视作三棱锥，则它和原三棱锥又是等底同高的三棱锥，于是； 我们证明了三个三棱锥、 与都具有相同的体积， 于是； 由此得； 结论：如图，设是任一给定的三棱锥， 其底面面积为，为高，且； 则三棱锥的体积为； 【说明】以上推导是“割补法”求体积与祖暅原理的交汇； 初步应用；由于任意棱锥都可以分割为若干个同高的三棱锥， 因此，得 结论：如图，任一给定的棱锥， 其底面面积为，为高，且； 则棱锥的体积为； 【典例】 1、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为 ． 【答案】； 【解析】V三棱锥A－DED1＝V三棱锥E－DD1A ＝××1×1×1＝； 2、已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（       ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】解：如图所示： 连接， 因为，，且， 所以平面， 所以， ， 解读点010 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； 2、几种特殊的多面体 （1）直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． （2）正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． （3）正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等；【依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高】 （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 3、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？ 【提示】S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl. 【典例】 1、判断下列命题真假（正确的打“√”，错误的打“×”） ①把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等；（ ） ②无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是四边形；（ ） ③空间几何体的侧面积即是表面积；（ ） ④棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的；（ ） 【提示】理解侧面积、底面积与表面积的关联与差别； 【答案】①√；②×；③×；④×； 【解析】对于①，由面积的定义，所以，①是真命题； 对于②，反例：可以是三角形，扇形，甚至曲面；所以，②是假命题； (　　) 对于③，表面积应该是：侧面积+底面积；所以，③是假命题； 对于④，(棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形；所以，④是假命题； 2、矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为（ ） A．1∶2　　　B．1∶1　　　C．1∶4　　　D．4∶1 【答案】B； 【解析】S1＝2π·1·2＝4π，S2＝2π·2·1＝4π，∴S1＝S2； 【说明】解决表面积问题仔细审题、等价转化是关键； 【针对性即时练】 1、棱长都是3的三棱锥的表面积S为__________________ 【答案】9； 【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9； 2、已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为 【答案】48； 【解析】正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48； 3、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是 【答案】3π ； 【解析】根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π； 4、圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则圆锥的高是__________________ 【答案】R； 【解析】设底面半径是r，则2πr＝πR，∴r＝，∴圆锥的高h＝＝R； 5、正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为__________________ 【答案】a2　 【解析】如图，在正三棱锥S­ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点， 则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M， 连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h′＝ ＝a， 所以侧面积S＝3××a×a＝a2.] 6、下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱柱的侧面一定是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 【答案】②③④； 【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分不是棱台； ②正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形； ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥； 【说明】判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法： 1、举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱柱、棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确；． 2、直接法： 棱柱 棱锥 棱台 定底面 两个互相平行的面，即为底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 平行 相交于一点 延长后相交于一点 7、观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是（ ） A．①是棱柱　　　　　 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 【答案】B； 【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误； 8、已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A．　　　　　　B． C．2π D．4π 【答案】B； 【解析】绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成 的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥， 如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为， 故所求几何体的体积V＝2××π×()2×＝； 9、正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积． 【提示】在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高，从而求其侧面积，然后求表面积； 【解析】设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′， 如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，则SE⊥AB，且SE＝h′. 因为S侧＝2S底， 所以×3a×h′＝a2×2， 所以a＝h′. 因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2， 所以32＋2＝h′2， 所以h′＝2，所以a＝h′＝6， 所以S底＝a2＝×62＝9， 所以S侧＝2S底＝18， 则S表＝S侧＋S底＝27 10、长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长； 【解析】沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上， 求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法： ①若将C1D1剪开，使A和C1展在同一平面上，可求得AC1＝＝＝4. ②若将AD剪开，使A和C1展在同一平面上，可求得AC1＝＝＝3. ③若将CC1剪开，使A和C1展在同一平面上，可求得AC1＝＝. 相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为. 【说明】1、绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图； 2、由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图； 3、求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展在同一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题； . ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$