专题01 第11章简单几何体【柱体】（讲义）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 柱 体 【沪教版2020】数学 必修 第三册 教材解读 必修课程第10章讨论了空间中点、线及面的位置关系和一些性质；在此基础上，《第11章 简单几何体》将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的；因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖臑（biē nào）”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 【本章教材目录】第11章 简单几何体 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 【要点方法解读】 解读点001 多面体的定义及其相关概念 1、多面体的定义及其相关概念 空间几何体 分类 定义 图形及表示 相关概念 多面体 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 【典例】 1、下列不属于构成空间几何体的基本元素的是（ ） A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形（不包括内部的点） 2、下列说法中正确的命题序号是 ①几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的；②空间中并没有孤立的点、线、面，它们只是作为几何体的组成元素而共存于几何体中；③几何中画出的点，不考虑它的大小，画出的线，不考虑它的粗细，画出的面，不考虑它的厚度和面积；④任何一个平面图形都是一个平面． 解读点002 棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 相关概念：（仅供参考来自百度） 1、立方体：也称正方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体。它有12条边和8个顶点。侧面和底面均为正方形的直平行六面体叫正方体，即棱长都相等的六面体，又称“立方体”“正六面体”。正方体是特殊的长方体。正方体的动态定义：由一个正方形向垂直于正方形所在面的方向平移该正方形的边长而得到的立体图形。 2、长方体：是底面为长方形的直四棱柱（或上、下底面为矩形的直平行六面体）。其由六个面组成的，相对的面面积相等，可能有两个面（可能四个面是长方形，也可能是六个面都是长方形）是正方形。 【典例】 1、下面四个说法： ①长方体和正方体不是棱柱； ②五棱柱中五条侧棱相等； ③三棱柱中底面三条边都相等； ④由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． 其中正确说法的个数为（ ） A．0　　　 B．2 C．3　　　 D．4 2、关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)． ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体． 【说明】有关棱柱的结构特征问题的解题策略； （1）紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析： ①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征； （2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除； 解读点003 圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 【典例】 1、下列命题中正确的是（ ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 2、边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ） A．10 cm B．5 cm C．5 cm D． cm 【说明】注意理解圆柱的性质： （1）圆柱的上下底面为两个相等的圆面； （2）圆柱的轴截面为矩形，一组对边为底面的直径，一组对边为母线； （3）平行于底面的截面是与底面全等的圆面； 解读点004 祖暅原理及其简单应用 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 【说明】祖暅原理； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 【典例】 1、祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等；设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、祖暅（公元世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与距离为的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立.据此，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积是（       ） A． B． C． D． 解读点005 柱体的体积角度与弧度的互化 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高) 【典例】 1、若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为（ ） A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 2、如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（ ） A．5π B．6π C．20π D．10π 【说明】求几何体体积，通常有方法： 1、直接法求几何体的体积，关键是弄清几何体的结构类型，准确求出底面积和高； 2、间接法：（1）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；（2）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积； 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解； 解读点006 柱体的表面积公式 1、多面体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和； 所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 【说明】对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的； 2、柱体的表面积公式 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【说明】 1、柱体的表面由底面和侧面组成；其中，底面是多边形或圆；因此，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积；其中，所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积； 其中，直棱柱的表面积：由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边；所以，直棱柱的侧面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长． 面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长； 同理，对于圆柱，因为侧面是一个曲面，不能像直棱柱那样直接求面积，但仍可以采用平面展开图的方法来求侧面积；将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，同样得到一个矩形，此矩形的一边等于圆柱的母线长（即其高），另一边等于底面圆的周长；这样，我们就得到了圆柱的表面积； 2、求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积； 【典例】 1、已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ） A．22　 B．20 C．10 D．11 2、圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A．4πS B．2πS C．πS D．πS 【说明】求简单几何体的表面积（或）应注意：无论求旋转体的侧面积还是多面体的表面积，应明确展开图的形状，再求解侧面积公式中所需要的基本量．对于旋转体，应在各旋转体的轴截面中，利用关键的直角三角形或直角梯形求解各基本量；对于多面体，关键是利用直角三角形或直角梯形，求出侧面的高． 特别注意：表面积与侧面积的不同； 【针对性即时练】 1、若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为 (cm3) 2、已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为 3、长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1∶2∶3，体对角线长为2，则这个长方体的体积是 4、已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm2，则圆柱 OO′的底面半径 r＝______cm. 5、中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为6的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ．    6、下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④棱柱的侧棱总与底面垂直． 其中正确说法的序号是________． 7、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A．12π B．12π C．8π D．10π 8、一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（ ） 　　 A． B． C．2　　　 D． 9、圆柱内有一个内接长方体 ABCD­A1B1C1D1，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100π cm 2， 求：（1）圆柱的底面半径；（2）高； 10、如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积． 【说明】计算柱体体积的关键及常用技巧： 1、计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高． 2、技巧： （1）充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高； （2）由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积； ( 11 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其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 【要点方法解读】 解读点001 多面体的定义及其相关概念 1、多面体的定义及其相关概念 空间几何体 分类 定义 图形及表示 相关概念 多面体 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 【典例】 1、下列不属于构成空间几何体的基本元素的是（ ） A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形（不包括内部的点） 【答案】D； 【解析】空间中的几何体是由点、线、面构成的，而线有直线和曲线，面有平面和曲面，只有多边形(不包括内部的点)不属于构成几何体的基本元素； 2、下列说法中正确的命题序号是 ①几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的；②空间中并没有孤立的点、线、面，它们只是作为几何体的组成元素而共存于几何体中；③几何中画出的点，不考虑它的大小，画出的线，不考虑它的粗细，画出的面，不考虑它的厚度和面积；④任何一个平面图形都是一个平面． 【答案】①②③； 【解析】由点、线、面的定义，平面是没有大小的，一个平面图形并不是一个平面； 【说明】对于空间多面体概念的理解，注意以下两个方面： 1、多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体； 2、多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分； 解读点002 棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 相关概念：（仅供参考来自百度） 1、立方体：也称正方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体。它有12条边和8个顶点。侧面和底面均为正方形的直平行六面体叫正方体，即棱长都相等的六面体，又称“立方体”“正六面体”。正方体是特殊的长方体。正方体的动态定义：由一个正方形向垂直于正方形所在面的方向平移该正方形的边长而得到的立体图形。 2、长方体：是底面为长方形的直四棱柱（或上、下底面为矩形的直平行六面体）。其由六个面组成的，相对的面面积相等，可能有两个面（可能四个面是长方形，也可能是六个面都是长方形）是正方形。 【典例】 1、下面四个说法： ①长方体和正方体不是棱柱； ②五棱柱中五条侧棱相等； ③三棱柱中底面三条边都相等； ④由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． 其中正确说法的个数为（ ） A．0　　　 B．2 C．3　　　 D．4 【答案】B； 【解析】长方体和正方体是四棱柱，①错；棱柱的侧棱平行且相等，②正确；三棱柱中底面三条边不一定相等，③错；④正确，故选B； 2、关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)． ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体． 【答案】②； 【解析】①不正确，反例如图所示． ②正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等， 所以侧面均为平行四边形． ③不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体． 【说明】有关棱柱的结构特征问题的解题策略； （1）紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析： ①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征； （2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除； 解读点003 圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 【典例】 1、下列命题中正确的是（ ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D； 【解析】由圆柱的概念可知D正确； 2、边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ） A．10 cm B．5 cm C．5 cm D． cm 【答案】D； 【解析】作出侧面展开图，如图所示． ∴EG＝＝ ＝ (cm)，故选D； 【说明】注意理解圆柱的性质： （1）圆柱的上下底面为两个相等的圆面； （2）圆柱的轴截面为矩形，一组对边为底面的直径，一组对边为母线； （3）平行于底面的截面是与底面全等的圆面； 解读点004 祖暅原理及其简单应用 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 【说明】祖暅原理； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 【典例】 1、祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等；设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据逆否命题的等价性判断与的关系； 【答案】B； 【解析】“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等”，所以； 反之“两个同高的几何体，体积相等，则等高处的截面积恒相等”不成立，即由推不出， 所以，是的必要不充分条件； 2、祖暅（公元世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与距离为的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立.据此，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积是（       ） A． B． C． D． 【提示】根据祖恒原理可得出椭半球的体积为，即可得解； 【答案】A； 【解析】由题意可知，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积为 . 解读点005 柱体的体积角度与弧度的互化 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高) 【典例】 1、若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为（ ） A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 【答案】B 【解析】V长方体＝3×4×5＝60(cm3)； 2、如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（ ） A．5π B．6π C．20π D．10π 【答案】D； 【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π； 【说明】求几何体体积，通常有方法： 1、直接法求几何体的体积，关键是弄清几何体的结构类型，准确求出底面积和高； 2、间接法：（1）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；（2）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积； 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解； 解读点006 柱体的表面积公式 1、多面体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和； 所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 【说明】对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的； 2、柱体的表面积公式 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【说明】 1、柱体的表面由底面和侧面组成；其中，底面是多边形或圆；因此，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积；其中，所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积； 其中，直棱柱的表面积：由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边；所以，直棱柱的侧面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长． 面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长； 同理，对于圆柱，因为侧面是一个曲面，不能像直棱柱那样直接求面积，但仍可以采用平面展开图的方法来求侧面积；将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，同样得到一个矩形，此矩形的一边等于圆柱的母线长（即其高），另一边等于底面圆的周长；这样，我们就得到了圆柱的表面积； 2、求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积； 【典例】 1、已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ） A．22　 B．20 C．10 D．11 【答案】A； 【解析】所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22； 2、圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A．4πS B．2πS C．πS D．πS 【答案】A； 【解析】底面半径是，所以正方形的边长是2π＝2，故圆柱的侧面积是(2)2＝4πS； 【说明】求简单几何体的表面积（或）应注意：无论求旋转体的侧面积还是多面体的表面积，应明确展开图的形状，再求解侧面积公式中所需要的基本量．对于旋转体，应在各旋转体的轴截面中，利用关键的直角三角形或直角梯形求解各基本量；对于多面体，关键是利用直角三角形或直角梯形，求出侧面的高． 特别注意：表面积与侧面积的不同； 【针对性即时练】 1、若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为 (cm3) 【答案】60 cm3 ； 【解析】V长方体＝3×4×5＝60(cm3). 2、已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为 【答案】22； 【解析】所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22； 3、长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1∶2∶3，体对角线长为2，则这个长方体的体积是 【答案】48； 【解析】依题意，设三条棱的长分别为x，2x，3x，则＝2，解得x＝2，即三条棱长分别为2，4，6，于是体积V＝2×4×6＝48. 4、已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm2，则圆柱 OO′的底面半径 r＝______cm. 【答案】3； 【解析】圆柱 OO′的侧面积为 2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积为 2×πr2＝2πr2(cm2)， 所以 2πr2＋8πr＝42π， 解得 r＝3 或 r＝－7(舍去)， 所以圆柱的底面半径为 3 cm. 5、中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为6的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ．    【提示】由题目所给信息可得即求相应台体体积，由台体体积公式可得答案. 【答案】56 【解析】由题可得即求相应台体体积，设台体上底面面积为，下底面面积为，台体高为，则台体体积为. 故答案为：56； 6、下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④棱柱的侧棱总与底面垂直． 其中正确说法的序号是________． 【答案】③； 【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； ②错误，棱柱的底面可以是三角形； ③正确，由棱柱的定义易知； ④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是③. 答案：③ 7、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A．12π B．12π C．8π D．10π 【答案】B； 【解析】设所截正方形的边长为 a，则 a2＝8，即 a＝2.所以圆柱的母线长为 2，底面圆半径 r＝，所以圆柱的表面积为 2π×2＋π()2×2＝8π＋4π＝12π； 8、一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（ ） 　　 A． B． C．2　　　 D． 【答案】 D； 【解析】因为 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点， 所以，棱柱 EFCB­E1F1C1B1 的体积 V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC； 设甲中水面的高度为 h，则 S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝，故选 D. 9、圆柱内有一个内接长方体 ABCD­A1B1C1D1，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100π cm 2， 求：（1）圆柱的底面半径；（2）高； 【解析】设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则： 所以 即圆柱的底面半径为 5 cm，高为 10 cm. 答案：5；10； 10、如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积． 【解析】　V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)， V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)， V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)， ∴此几何体的体积： V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)． 【说明】计算柱体体积的关键及常用技巧： 1、计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高． 2、技巧： （1）充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高； （2）由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积； ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$