精品解析：山东省青岛第十五中学2023-2024学年高二下学期第三学段质量检测数学试卷

山东省青岛第十五中学2023-2024学年高二下学期第三学段质量检测数学试卷 命题人：邱瑶 审核人：于照 2024年5月 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 在2024年第22届上海国际茶博会中，某展区展出6种茗茶，分别是武夷山大红袍、西湖龙井、安溪铁观音、普洱茶、正山小种、福鼎白茶.将这6种茶排成一排，若武夷山大红袍和西湖龙井不能相邻，则不同的排序方法有（ ） A. 240种 B. 280种 C. 340种 D. 480种 5. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设事件A，B满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线的图象绕原点逆时针旋转后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为和轴）．设，，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 已知为数列的前项和，数列满足：，，记不超过的最大整数为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1 B. 独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率 C. 已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析与之间的具有线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是 和0. 3 11. 已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 的最小值为 C. 若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D. 若点，则周长的最小值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________.（用数字作答） 13. 点为圆C：上一点，点B在圆C上运动，点M满足．则点M的轨迹方程为______． 14. 已知函数存在两个极值点，则的取值范围为________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示： ChatGPT应 用的广泛性 服务业就业人数的 合计 减少 增加 广泛应用 60 10 70 没广泛应用 40 20 60 合计 100 30 130 （1）根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？ （2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值; （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知数列，数列是等差数列且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和; （3）设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和S. 18. 盒中有6只乒乓球，其中黄色4只，白色2只.每次从盒中随机取出1只用于比赛. （1）若每次比赛结束后都将比赛用球放回盒内，记事件“三次比赛中恰有两次使用的是黄色球”，求； （2）已知黄色球是今年购置的新球，在比赛中使用后仍放回盒内；白色球是去年购置的旧球，在比赛中使用后丢弃. ①记事件“第一次比赛中使用的是白色球”，=“第2次比赛中使用的是黄色球”，求概率； ②已知，记事件“在第次比赛结束后恰好丢弃掉所有白球”，求概率. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于E，F两点，H为线段EF的中点. （1）求椭圆的方程; （2）已知点，且，求直线的方程. （3）点为直线上一点，且不在轴上，是椭圆长轴的两个端点，直线与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设的面积分别为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛第十五中学2023-2024学年高二下学期第三学段质量检测数学试卷 命题人：邱瑶 审核人：于照 2024年5月 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 故的系数为. 故选：C. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正太分布的性质，利用对称性即可求解. 【详解】因为， 由正态分布的对称性可知， 所以. 故选：B. 3. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂直得切线斜率，再由导数的几何意义求解． 【详解】由题意题中切线的斜率为2， 由，则， 所以，， 故选：A． 4. 在2024年第22届上海国际茶博会中，某展区展出6种茗茶，分别是武夷山大红袍、西湖龙井、安溪铁观音、普洱茶、正山小种、福鼎白茶.将这6种茶排成一排，若武夷山大红袍和西湖龙井不能相邻，则不同的排序方法有（ ） A. 240种 B. 280种 C. 340种 D. 480种 【答案】D 【解析】 【分析】不相邻问题插空法，先将其它4种茶排序，再将武夷山大红袍和西湖龙井插入5个空，即可. 【详解】先将除武夷山大红袍和西湖龙井之外的4种茶排序，形成5个空， 再将武夷山大红袍和西湖龙井插入5个空，则不同的排法有种. 故选：D. 5. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把方程中的换成即可得到所求直线方程. 【详解】直线关于轴对称的直线为：，即. 故选：B. 6. 设事件A，B满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助条件概率公式及对立事件的概率公式计算即可得. 【详解】由事件A，B满足，则有， . 故选：B. 7. 将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线的图象绕原点逆时针旋转后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为和轴）．设，，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出旋转后实轴所在直线方程，求出双曲线的两个顶点坐标，再由两点间的距离公式可得解. 【详解】旋转后两条渐近线分别为和，夹角为， 旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线， 所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为，斜率为，方程为， 联立，解得或， 所以旋转后的双曲线的两个顶点为或， 所以实轴长为. 故选：C 8. 已知为数列的前项和，数列满足：，，记不超过的最大整数为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由递推公式可得为常数列，可得，，由放缩法和裂项相消可得的取值范围，可得结果． 【详解】当时，， ， ，则为常数列， ， ，， 又时，， ， 又易得，即， . 故选：D． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望、方差公式可判断A,B,C，利用离散型随机变量的均值的性质可判断D. 【详解】对于，由题意可得服从二项分布，故，故正确； 对于：因为， 所以，故B错误； 对于，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1 B. 独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率 C. 已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析与之间的具有线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是 和0. 3 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据相关系数的定义即可；对于B，根据独立性检验的定义即可；对于C，利用残差的计算公式即可；对于D，利用对数的公式，将进行转换即可. 【详解】对于A, 相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A错； 对于B，独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率，故B正确； 对于C，当时，，残差：，故C正确； 对于D，，，即， 即故D正确. 故选：BCD. 11. 已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 的最小值为 C. 若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D. 若点，则周长的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】首先求出抛物线的解析式，设出MN坐标联立进行求解当时，，进而判断选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为，交y轴于，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合的周长为进而进行判断选项D即可． 【详解】解：由题意得点在抛物线C：上， 所以，解得，所以C：，则， 设直线：，与联立得， 设，，所以，， 所以， 当时，，故A项错误； ，则， 当且仅当，时等号成立， 故B项正确； 如图，过点M作准线的垂线，垂足为，交y轴于， 取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线， 垂足为，则，是梯形的中位线， 由抛物线的定义可得， 所以， 所以以MF为直径的圆与y轴相切， 所以为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为， 又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为， 又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为， 故C项正确； 过G作GH垂直于准线，垂足为H， 所以的周长为， 当且仅当点M的坐标为时取等号， 故D项错误． 故选:BC． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________.（用数字作答） 【答案】2187 【解析】 【分析】根据题意，，利用赋值法求解. 【详解】根据题意，， 则， 令，得. 故答案为：2187 13. 点为圆C：上一点，点B在圆C上运动，点M满足．则点M的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，设出，，利用向量关系，建立等量关系即可求解. 【详解】因为点在圆上，则，解得. 设点，，则由题意可得，，解得，， 又因为点满足圆的方程，代入可得，化简得. 故答案为： 14. 已知函数存在两个极值点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由写出根与系数关系、判别式，求得的表达式，并转化为用来表示，利用基本不等式得的取值范围. 【详解】令，则， 由，解得或, 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 但由于，利用对勾函数的性质，此时单调递增， 所以， 所以取值范围是. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示： ChatGPT应 用的广泛性 服务业就业人数的 合计 减少 增加 广泛应用 60 10 70 没广泛应用 40 20 60 合计 100 30 130 （1）根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？ （2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）没有 （2）的分布列为 1 2 3 ，【解析】 【分析】（1）根据题意求，并与临界值对比判断； （2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 零假设为：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关. 根据表中数据得， 所以根据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关. 【小问2详解】 由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中， 有人认为人工智能会在服务业中广泛应用， 有人认为人工智能不会在服务业中广泛应用， 则的可能取值为， 又， 所以的分布列为 1 2 3 所以. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值; （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为和，减区间为，极大值为-1，极小值为 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值； （2）结合参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 该函数的定义域为， 则，列表如下： 1 2 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为和，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 当时，由可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，， 所以，，故实数的取值范围是. 17. 已知数列，数列是等差数列且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和; （3）设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和S. 【答案】（1）， （2） （3）3045 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合等差数列可得，即可得； （2）由（1）可得：，利用错位相减法分析求解； （3）由（1）可得，分析可知，分类讨论的奇偶性，结合题意分析求解. 【小问1详解】 因为，可得， 代入中，可得， 且数列是等差数列，则公差， 所以数列的通项公式， 所以，即的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可知： 因为， 则， 两式相减得 ， 所以. 【小问3详解】 由（1）可得， 则， 可得， 故当为奇数时，， 所以都是集合A中的元素， 由， 当为偶数时，且， 令，可得， 所以2，4，6，8为集合A中的元素， 所以. 18. 盒中有6只乒乓球，其中黄色4只，白色2只.每次从盒中随机取出1只用于比赛. （1）若每次比赛结束后都将比赛用球放回盒内，记事件“三次比赛中恰有两次使用的是黄色球”，求； （2）已知黄色球是今年购置的新球，在比赛中使用后仍放回盒内；白色球是去年购置的旧球，在比赛中使用后丢弃. ①记事件“第一次比赛中使用的是白色球”，=“第2次比赛中使用的是黄色球”，求概率； ②已知，记事件“在第次比赛结束后恰好丢弃掉所有白球”，求概率. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）记3次比赛中，使用黄色球的次数为随机变量，则，由二项分布的概率公式求解即可； （2）①由条件概率和全概率公式求解即可； ②分析题意，由相互独立事件的概率乘法公式和等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知，每次比赛中，使用黄色球的概率为， 记3次比赛中，使用黄色球的次数为随机变量，则， 故； 【小问2详解】 记事件“第次比赛使用黄色球”， 事件“第次比赛使用白色球”， ①根据题意，， ， 故； ②由题意，表示第次比赛中使用了最后一只白色球，即第2次使用白色球， 不妨设第次比赛中，首次使用白色球， 故在第次比赛中，使用黄色球， 即比赛流程为， 根据规则可知，在前局比赛中，每次比赛开始前盒中均有4只黄球2只白球，故每次比赛选择黄球的概率均为， 第局比赛前，盒中有4只黄球2只白球，此时选择白球的概率为， 第至局比赛（共计局）中，每次比赛前盒中均有4只黄球1只白球，故每次比赛选择黄球的概率均为， 第次比赛中，比赛前盒中有4只黄球1只白球，故比赛选中白球的概率为， 故， 考虑到的取值可能从1变化到， 故 . 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于E，F两点，H为线段EF的中点. （1）求椭圆的方程; （2）已知点，且，求直线的方程. （3）点为直线上一点，且不在轴上，是椭圆长轴的两个端点，直线与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设的面积分别为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或者; （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的定义得到，在中，利用余弦定理列出方程求得的值，即可求解； （2）设的方程为:，联立方程组，求得，结合，列出方程求得的值，即可求解； （3）设，得到，，联立方程组求得和，结合，令，结合函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由椭圆的定义得，因为，所以， 在中，由余弦定理得， 即， 又，即，代入整理得，解得，所以， 所以椭圆的方程为:. 【小问2详解】 解：由题意，设的方程为:，且， 联立方程组，整理得， 则且， 所以，则， 因为，所以，即， 整理得，因为，可得或， 直线的方程为或者. 【小问3详解】 解：设且，则，， 联立方程组，整理得，可得， 同理可得，联立，整理得，可得， 所以， 令，则， 当，即，即时，取得最大值. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $