2023-2024学年苏科版（2012）八年级数学上册暑假预习--12.等腰三角形的对称性（2）--等腰三角形的判定与等边三角形

欲为诸佛龙象，先做众生牛马。 练习主题 等腰三角形的对称性（2）--等腰三角形的判定与等边三角形 探索： 如图，在△ABC中，∠B=∠C，作△ABC的角平分线AD. 由∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，AD=AD，可证△ABD≌△ACD，可知AB=AC. 于是，我们得到如下定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 三边都相等的三角形叫做等边三角形或正三角形 交流： 等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有什么特殊的性质？ 于是，我们得到如下定理：等边三角形的各个角都等于60° 例1、如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点0作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N． 求证：BM+CN=MN． 例2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC． （1）求∠ECD的度数． （2）若EC=5，求BC的长． 例3、如图，已知△ABC为等边三角形，M是直线BC上任意一点，N是直线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q.求∠AQN的度数. 对应练习： 1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2、如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3 cm，则CD等于（ ） A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 第1题 第2题 第3题 3、如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F．则下列结论中不正确的是（ ） A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．CH=HD D．AC=AF 4、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O，求证： （1）△DBC≌△ECB； （2）OB=OC. 5、（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于点E、F.试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图②，若将图1中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其他条件不变，则刚才的结论还成立吗？请说明理由. 6、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于H. （1）求证：△BCE≌△ACD； （2）求证：FH∥BD 巩固练习： 1、如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD的长为（ ） A. B. C. a-b  D. b-a 2、如图，直线a，b过等边三角形ABC的顶点A，C，且a∥b.若∠1=42°，则∠2的度数为 . 第1题 第2题 第3题 第4题 3、如图，△ABC为等边三角形，以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，则∠ABD= . 4、如图，在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，垂足为E，△BDE是等边三角形，则∠CBE= . 5、如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形. 6、已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD． 试说明：BD=DE． 7、如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ=PA，连接PQ，交AC于点D，求DE的长度. 思考： 1、如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形嘛？ 2、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？ 于是，我们得到如下定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 例4、如图，在等边三角形ABC中，点P在△ABC的内部，点Q在△ABC的外部，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ.问：△APQ是什么形状的三角形？为什么？ 对应练习： 1、如图，在△ABC中，∠B=60°，∠EDC=∠BAC，且D为BC的中点，DE=CE，则AE:AB等于 . 2、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，AE⊥AB. （1）求∠C的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形。 3、如图，点A、C、B在同一条直线上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证： （1）AE=BD； （2）△CMN为等边三角形. ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$