第10讲 勾股定理（5大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第10讲 勾股定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想； 2．能应用勾股定理求直角三角形中未知边的长； 3. 能应用已有的数学知识验证勾股定理。 1.如图，若将每个小正方形的面积看作1，以B′C′为边的正方形的面积是9，以A′C′为边的正方形的面积是16，那以A′B′的面积为多少呢？ 25 2.如图一，使用的方法是？如图二，使用的方法是？ 图一的方法是拼补法；图二是分割法。 图一图二 图一 3.上图求完后，可以发现三个正方形的面积关系是？ 两个小正方形的面积相加=大正方形的面积 而由于正方形的面积公式为边长²，所以可以得出 ²+ ²= ²。 因此，直角三角形的斜边、直角边有如下关系： 直角三角形两个 的平方和等于 的平方，这个定理称为 。也称为 。在古代我们把较短的直角边称为“ ”，较长的直角边称为“ ”，斜边称为“ ”。因此有了 的结论。 几何语言：∵∠C=90°∴a²+b²=c² 注：在使用勾股定理的时候，可以灵活运用公式，，， 4.勾股定理的证明 图一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 证明：　 ，所以． 证明名称： 图二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 证明： 　，所以． 　　　　　　 证明名称： 图三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 证明： ，所以． 证明名称： 图四：如图（4）所示 证明：证▲ACI≌▲ADB，由同底等高可以得出 ，由，得出 同理可得，，所以AB²+BC²=AC² （4） 证明名称： 考点一：用勾股定理求解三角形 例1．已知直角三角形的两直角边长为3和4，则这个直角三角形的斜边长为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 【变式1-1】在中，，，，则正方形的面积为（    ） A．81 B．144 C．225 D．169 【变式1-2】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，则的长为 ． 【变式1-3】在中，，，，求． 考点二：用勾股定理求图形面积 例2．如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ） A．6 B．5 C．8 D．7 【变式2-1】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2-2】如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积差为 ． 【变式2-3】如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长． 考点三：勾股定理的证明方法 例3. 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3-2】到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 【变式3-3】课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：． 类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积． 考点四：赵爽弦图 例4．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（      ） A．19 B．13 C．42 D．29 【变式4-1】用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（    ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【变式4-2】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 【变式4-3】现有个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，斜边长为，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；根据面积相等，直接得等式______，化简最后结果是______，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 考点五：用勾股定理证明线段平方关系 例5．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则 ． 【变式5-3】如图，是等腰直角三角形，，求证：． 1．某城市中有如图所示的公路，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是（    ） A．从特殊到一般思想 B．从一般到特殊思想 C．方程思想 D．归纳思想 3．如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在中，，把沿直线向右平移个单位长度得到，则四边形的周长为（    ）      A．20 B．19 C．18 D．17 5．如图，在中，，于，若，，则（    ） A． B． C． D．5 6．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 7．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何圈形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点D为边上一动点，过D作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 10．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 11．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是 ． 12．如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．    13．在中，，，，分别是，，的对边，若，则的面积为 ． 14．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为 ． 15．如图，直线，垂足为，线段，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．求的长． 16．如图，在中，，，，于．求：    (1)的长和的面积； (2)的长． 17．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 18．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 勾股定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想； 2．能应用勾股定理求直角三角形中未知边的长； 3. 能应用已有的数学知识验证勾股定理。 1.如图，若将每个小正方形的面积看作1，以B′C′为边的正方形的面积是9，以A′C′为边的正方形的面积是16，那以A′B′的面积为多少呢？ 25 2.如图一，使用的方法是？如图二，使用的方法是？ 图一的方法是拼补法；图二是分割法。 图一图二 图一 3.上图求完后，可以发现三个正方形的面积关系是？ 两个小正方形的面积相加=大正方形的面积 而由于正方形的面积公式为边长²，所以可以得出B′C′²+A′C′²=A′B′²。 因此，直角三角形的斜边、直角边有如下关系： 直角三角形两个直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，这个定理称为勾股定理。也称为毕达哥拉斯定理。在古代我们把较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。因此有了勾三股四弦五的结论。 几何语言：∵∠C=90°∴a²+b²=c² 注：在使用勾股定理的时候，可以灵活运用公式，，， 4.勾股定理的证明 图一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 证明：　 ，所以． 证明名称：邹元治证明 图二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 证明： 　，所以． 　　　　　　 证明名称：赵爽弦图 图三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 证明： ，所以． 证明名称：1876年美国总统伽菲尔德证明 图四：如图（4）所示 证明：证▲ACI≌▲ADB，由同底等高可以得出 ，由，得出 同理可得，，所以AB²+BC²=AC² （4） 证明名称：欧几里得证明 考点一：用勾股定理求解三角形 例1．已知直角三角形的两直角边长为3和4，则这个直角三角形的斜边长为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可得斜边长为计算即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得，斜边长为：， 故选：A． 【变式1-1】在中，，，，则正方形的面积为（    ） A．81 B．144 C．225 D．169 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出的值是解题关键． 【详解】解：因为，所以正方形的面积为， 故选C． 【变式1-2】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及用尺规画线段，正确认识尺规作图和掌握勾股定理是解题关键．先通过尺规作图确定，，再利用勾股定理求，即可求解． 【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】在中，，，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意可得． 【详解】解：如图， 根据勾股定理可得：． 考点二：用勾股定理求图形面积 例2．如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ） A．6 B．5 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可知面积为4和面积为3的正方形的边长的平方和等于面积为S的正方形边长的平方，据此可得答案． 【详解】解：每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， ∴由勾股定理得：； 故选：D． 【变式2-1】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理的几何意义：，解得即可． 【详解】解：由题意：，， ∴ ∵正方形的面积依次为， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-2】如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积差为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．由勾股定理可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴正方形和正方形的面积差为． 故答案为：． 【变式2-3】如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长． 【答案】△ABC的面积为，CD的长为cm 【分析】根据直角三角形面积公式即可求解三角形的面积，再根据直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高． 【详解】解：∵∠ACB=90 ∴ ∵ ∴ ∴ 答：△ABC的面积为，CD的长为cm． 【点睛】本题考查直角三角形的性质及其面积公式，解题的关键是熟知三角形面积不变． 考点三：勾股定理的证明方法 例3. 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：把斜边定为c， A、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、根据图形只能说明，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选C． 【变式3-1】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； B、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； C、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，不能证明勾股定理，符合题意； D、通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】53 【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和． 【变式3-3】课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：． 类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积． 【答案】（1）见解析（2）13 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式； （1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案． 【详解】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴； （2）解：如图2，则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积. 考点四：赵爽弦图 例4．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（      ） A．19 B．13 C．42 D．29 【答案】D 【分析】本题考查“赵爽弦图”为背景的代数式求值，涉及勾股定理、三角形面积及正方形面积等知识，熟练掌握“赵爽弦图”图形构成，数形结合，掌握代数式求值方法是解决问题的关键． 根据题意，求出大正方形边长、直角三角形面积、大正方形面积，进而得到，，利用完全平方和公式展开后，代入求值即可得到答案． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， ，且直角三角形的斜边长为， 大正方形的边长为，则， 大正方形的面积为16，小正方形的面积是3， ，即，则， ， 故选：D． 【变式4-1】用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（    ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】本题考查图形的面积．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n，分别求出组成阴影部分的两个三角形的面积，进而表示出阴影部分的面积，即可判断出与阴影部分面积相同的图形在哪个选项中． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 【变式4-2】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 【答案】76 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 【变式4-3】现有个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，斜边长为，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；根据面积相等，直接得等式______，化简最后结果是______，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)；；；； (2)． 【分析】（）根据题意和图形即可求解； （）根据空白部分的面积整个图形的面积个直角三角形的面积，可得空白部分的面积，把，代入计算即可求解； 本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； 根据面积相等，得等式，化简得，； 故答案为：；；；； （2）解：由图可得，空白部分的面积整个图形的面积个直角三角形的面积， ∴空白部分的面积 , ， ． 考点五：用勾股定理证明线段平方关系 例5．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理． 由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D 【变式5-1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 【变式5-2】如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则 ． 【答案】12 【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∴， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8， 同理可证FG2+LK2=HL2=4， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键． 【变式5-3】如图，是等腰直角三角形，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，把绕点A顺时针旋转，得到，证明，得到，勾股定理得到，等量代换后即可得出结论． 【详解】 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， 把绕点A顺时针旋转，得到，连接，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 1．某城市中有如图所示的公路，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线性质解题即可． 【详解】 是公路的中点 即两点间的距离为 故选：A． 2．探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是（    ） A．从特殊到一般思想 B．从一般到特殊思想 C．方程思想 D．归纳思想 【答案】A 【分析】本题考查了探究勾股定理的思路，掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】解：∵先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质． ∴这种研究思路主要体现的数学思想是从特殊到一般． 故选：A． 3．如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理先求出的长，再计算的长即可． 本题考查勾股定理，正确记忆计算公式是解题关键． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中， ， 故选：A． 4．如图，在中，，把沿直线向右平移个单位长度得到，则四边形的周长为（    ）      A．20 B．19 C．18 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查图形平移的性质，勾股定理，根据平移可得，，根据勾股定理可求出的值，再根据四边形周长公式求解即可． 【详解】解：∵把沿直线向右平移个单位长度得到， ∴，， 在中，∵， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：C． 5．如图，在中，，于，若，，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，然后根据面积法计算的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 故选：C． 6．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故选：C． 7．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④． 【详解】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作 ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论个数是4． 故选：D． 8．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何圈形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点D为边上一动点，过D作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，先连接，过作于，求解及，再利用等面积法可得答案． 【详解】解：连接，    过作于， ∵等腰，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ， 故选：C． 9．如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查勾股定理的应用．由正方形的边长分别为4和8可得中间的直角三角形的一直角边和斜边分别是4和8，再用勾股定理可求另一直角边，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵正方形的边长分别为4和8， ∴ ∵是直角三角形， ∴ ∴正方形的面积． 故答案为：48． 10．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解． 【详解】解：在中，为斜边， 米， 少走的距离为 （米）， 故答案为：4． 11．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用， ∴， ∴， 即的值是5， 故答案为：5． 12．如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，运用勾股定理建立方程求出是关键；由折叠知，则，在中由勾股定理建立方程，即可求出，在中由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：， ； 由折叠知， 则； 在中，， 即， 解得：； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 13．在中，，，，分别是，，的对边，若，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了勾股定理、乘法公式的应用，根据勾股定理得到，代入整理后的结果,得到，即可得到的面积． 【详解】解：在中，，，，分别是，，的对边， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 即 解得 ∴， 即的面积为3． 故答案为：3 14．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论． 【详解】解： 由作图可知平分， 设则有 ∴ 故答案为：5． 15．如图，直线，垂足为，线段，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得到，得到由旋转得到，即可得到结论． 【详解】解：，线段， 在中， 由题意可知：， ∴． 16．如图，在中，，，，于．求：    (1)的长和的面积； (2)的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积； （2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴． （2）解：， ， ． 【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 17．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 18．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （）由题意得：，图中是梯形，求出面积，根据，得出，从而有，再根据阴影部分面积为即可求解； 本题考查了整式运算的实际应用，完全平方公式的应用和勾股定理，正确理解完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（）阴影部分的面积是， 故答案为：； （）由题意得：，图中是梯形， ∵，，高为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 两式相加得：， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可知：阴影部分面积为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$