精品解析：2024学年江苏省徐州市新沂市九年级第二次中考模拟数学试卷

2024年九年级第二次质量检测 数学试题 注意事项 1.本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟. 2.答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置. 3.答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、既是轴对称图形又是中心对称图形； D、是中心对称图形而不是轴对称图形； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，积的乘方法则，单项式除单项式法则，幂的乘方法则，是解题的关键．根据合并同类项法则，积的乘方法则，单项式除单项式法则，幂的乘方法则，逐一判断各个选项，即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项错误， B． ，故该选项正确， C． ，故该选项错误， D． ，故该选项错误， 故选：B． 4. 已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，有理数的加减法，乘法，以及绝对值的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据数轴可知，，根据有理数的加减法、乘法规则和绝对值的几何意义，即可逐一判断． 【详解】解：A、 ，， ，结论正确，该选项不符合题意； B、 ， ，结论错误，该选项符合题意； C、 ，， ，结论正确，该选项不符合题意； D、 ， ，结论正确，该选项不符合题意； 故选：B． 5. 某校组织学生体育锻炼，小明记录了他一周参加锻炼的时间，并绘制了如图所示的统计图．下列数据正确的是（ ） A. 平均数为70 B. 众数为75 C. 中位数为70 D. 方差为0 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平均数、众数、中位数、方差．分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断． 【详解】解：7个数据按照从小到大排列为：，，，，，，， 中位数是70分钟，选项C符合题意； 67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，选项B不符合题意； 平均数为（分钟），选项A不符合题意； 方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，选项D不符合题意； 故选：C． 6. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二函数图象与几何变换，直接根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是，即． 故选：D． 7. 在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质．由菱形的性质得，而，即可根据“”证明，得，则，由，，得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， ∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小 ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 49的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是理解平方根的概念并能正确计算． 根据平方根的定义，若一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，来求解49的平方根． 【详解】解∶49的平方根是． 故答案为：． 10. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得： 移项得： 即的取值范围是． 12. 小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是________． 【答案】##92度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键．延长交于，由三角形的外角性质得，再由平行线的性质得出即可． 【详解】解：如图，延长交于， ， ． ， ， 故答案为：． 13. 蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．先求出正六边形的外角为，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 正六边形的外角和为， 它的每一个外角都为， ， 为等边三角形， ， 共需要正六边形的个数为， 故答案为：6． 14. 关于的方程有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据根的判别式大于或等于零求解即可． 【详解】解：由题意得，， ． 故答案为：． 15. 若圆锥的底面半径为3，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长的计算．设这个圆锥的母线长是，先求得扇形的弧长，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设这个圆锥的母线长是， 依题意得：圆锥的底面周长为：， 则展开后扇形的弧长为， 即：， 解得：， 这个圆锥的母线长是9． 故答案为：9． 16. 如图，是⊙O的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M．若的面积为4，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，利用中心对称的性质可得，则，再根据比例关系得到，从而计算出，继而求出k值． 【详解】如图，M是矩形的对称中心，延长必过点B，则， ∵的面积为4， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在长方形中，，，E、F分别是、上的一点，，将沿翻折得到，连接．若是以为腰的等腰三角形，则___． 【答案】或 【解析】 【分析】设，则，由翻折得：．当时，由勾股定理得：；当时，作，由，平分，可证得，则，所以，由三线合一得，即，解方程即可． 【详解】解：设，则， 由翻折得：，当时，， ∵为矩形， ∴∠B＝， 由勾股定理得：， 解得：； 当时，如图，作， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得 ， 综上所述：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当时如何列方程是解题的关键，有一定难度． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）先计算乘方、立方根、负整数指数幂后，再进行加减法即可； （2）先计算括号内的加法，再进行除法运算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）方程两边同乘化为整式方程后求解，检验整式方程的根是否使得为零，即可得解； （2）分别求解两个不等式，然后再求公共解集即可； 【详解】（1）， ， ， ， 检验，， 故原方程的解为： （2） 由得， ， ， 解得， 由得， ， ， 解得， 故原不等式的解集为：． 21. 某数学社团以“舌尖上的徐州—我最喜爱的徐州小吃”为主题对所在学校的学生进行随机调查，并给出四种选择（每人只能从中选择且只能选择一种）“A：徐州把子肉”“B：徐州菜煎饼”“C：徐州胡辣汤”“D：八股油条”．该社团将调查得到的数据整理后，绘制成以下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： （1）样本容量为 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中D对应圆心角的度数为 ； （4）若该校共有1300名学生，请估计喜欢“C：徐州胡辣汤”的学生大约有多少人． 【答案】（1）50 （2） 补全的条形统计图如图所示： （3） （4）520人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据选择A的人数才除以其所占的百分比即可求得样本容量； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择B的人数，然后补全条形统计图即可； （3）由乘以D所占的比例即可解答； （4）总人数乘以选择C的人数所占比例即可解答． 【小问1详解】 解：样本容量为． 故答案为：50． 【小问2详解】 解：选择B的人数有：（人）． 【小问3详解】 解：扇形统计图中D对应圆心角的度数为：． 故答案为：． 【小问4详解】 解：人， 答：估计喜欢“C：徐州胡辣汤”的学生大约有520人． 22. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种， 所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种， 所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． 23. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？ 【答案】宽24步，长36步 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设矩形的宽为x步，根据题意列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设矩形的宽为x步，则矩形的长为步， 依题意得：， 解得：或（舍去）， ， 矩形的宽为24步，则长为36步， 答：宽24步，长36步． 24. 如图，在中，是直径，点C在上．在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 是直径， ，即， ∴ ∵， ∴，即， ， 是的半径， 直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30度直角三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键． （1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，根据切线的判定即可证得结论； （2）根据等腰三角形的和三角形外角定理证明，推出是等边三角形，得到，根据含30度直角三角形的性质求出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）知， ， ， ∵， ∴， ∴点是的中点， ， ． 25. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点、、在同一水平线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为，求塔的高度（精确到）．（参考数据：，，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，设，则，在中，，再利用三角函数列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，，， ，， ， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 解得． 答：塔的高度为． 26. 如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1的边上作点，使； （2）在图2的边上作点，使． 【答案】（1） 如图，点P即为所求； （2） 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）在上截取线段，使得，连接即可； （2）连接，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵线段的垂直平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. [阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ． [探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由． [发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ． 【答案】阅读理解：；探究思考：是定值，定值为；发现结论： 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 阅读理解：由中位线可得，进而证明，，同理可证，，即可求解； 探究思考：取中点G，中点H，中点I，连接，，，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理推出，，即可求解； 发现结论：取G、H、I分别是三边的n等分点，且，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理可得，，即可求解． 【详解】解：阅读理解： 是的中位线， ， 又， ， ，即， 同理可证，， ， ， 故答案为：； 探究思考: 如图，取中点G，中点H，中点I，连接，，， ， ，，， ， 又， ， ，即， ， ， 同理可证，， ， 综上可知，与的面积比是定值，定值为； 发现结论： 如图，取G、H、I分别是三边的n等分点，且， ， ，，， ，， ， ，即， ， ， 同理可证，， ， ， 故答案为：． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B，连接．点D在线段上，作射线，过点A作射线，垂足为点E，以点A为旋转中心把按逆时针方向旋转到，连接． （1）求点A、B的坐标； （2）随着点D在线段上运动． ①连接，的大小是否发生变化？请说明理由； ②延长交于点P，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）连接，当点F在该抛物线的对称轴上时，的面积为______． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为 （2）①不发生变化，理由如下： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，，, ∴, ∴是等边三角形， ∴， ∵以点A为旋转中心把按逆时针方向旋转到， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵射线 ∴， ∴不变； ②存在，最大值为4 （3） 【解析】 【分析】（1）令即可求出点A的坐标，配方后求出点B的坐标； （2）①先证明、是等边三角形，即可证明，得到，得到不变； ②以中点为圆心，为半径画圆，证明、都在圆上，即可根据圆中最长的弦是直径求出最大值； （3）当点F在该抛物线的对称轴上时，由对称性可得，进一步得到，在中求出的长，再过作于，求出，即可根据计算即可． 【小问1详解】 令，则，解得， ∴点A的坐标为， ∵， ∴顶点B的坐标为； 【小问2详解】 ①略 ②存在最大值，最大值为4； 以中点为圆心，为半径画圆， ∵， ∴在圆上， ∵，，，， ∴， ∴点为与圆的交点， ∴为圆的一条弦， ∵圆中最长的弦是直径 ∴最大值为； 【小问3详解】 当点F在该抛物线的对称轴上时， ∵， ∴，， ∴， 过作于，作的垂直平分线交于，连接 ∴， ∴, ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及求抛物线与x轴交点坐标，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，直角三角形性质，勾股定理等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级第二次质量检测 数学试题 注意事项 1.本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟. 2.答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置. 3.答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校组织学生体育锻炼，小明记录了他一周参加锻炼的时间，并绘制了如图所示的统计图．下列数据正确的是（ ） A. 平均数为70 B. 众数为75 C. 中位数为70 D. 方差为0 6. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 49的平方根是___________． 10. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________． 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 12. 小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是________． 13. 蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是________． 14. 关于的方程有实数根，则的取值范围为________． 15. 若圆锥的底面半径为3，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是________． 16. 如图，是⊙O的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是________°． 17. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M．若的面积为4，则k的值为______． 18. 如图，在长方形中，，，E、F分别是、上的一点，，将沿翻折得到，连接．若是以为腰的等腰三角形，则___． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 21. 某数学社团以“舌尖上的徐州—我最喜爱的徐州小吃”为主题对所在学校的学生进行随机调查，并给出四种选择（每人只能从中选择且只能选择一种）“A：徐州把子肉”“B：徐州菜煎饼”“C：徐州胡辣汤”“D：八股油条”．该社团将调查得到的数据整理后，绘制成以下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： （1）样本容量为 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中D对应圆心角的度数为 ； （4）若该校共有1300名学生，请估计喜欢“C：徐州胡辣汤”的学生大约有多少人． 22. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 23. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？ 24. 如图，在中，是直径，点C在上．在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 25. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点、、在同一水平线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为，求塔的高度（精确到）．（参考数据：，，，，）． 26. 如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1的边上作点，使； （2）在图2的边上作点，使． 27. [阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ． [探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由． [发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B，连接．点D在线段上，作射线，过点A作射线，垂足为点E，以点A为旋转中心把按逆时针方向旋转到，连接． （1）求点A、B的坐标； （2）随着点D在线段上运动． ①连接，的大小是否发生变化？请说明理由； ②延长交于点P，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）连接，当点F在该抛物线的对称轴上时，的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $