精品解析：2024年吉林省长春市德惠市九年级中考二模数学试题

2024年德惠市九年级质量监测(二) 数 学 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 2024年1月1日，某地4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1， ，其中最低的气温是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 2023年5月22日，我国神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功．在距离地面约400000米外的中国空间站中，神舟十五号乘组和神舟十六号乘组六名航天员一起工作和生活．400000这个数用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列日常现象 ①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程； ③园林工人栽一行树先栽首尾的两棵树； ④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线然后沿着线砌墙其中， 可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度 为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中， ，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线 ，交边于点．若，点到的距离为3，则 的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 20 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数 的图象上．若直线的函数表达式为 ，则反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是________． 11. 某种苹果的售价是每千克5元，用面值为100元的人民币购买了千克，应找回_______元． 12. 如图，将绕点P按逆时针方向旋转，得到，点A的对应点的坐标是________． 13. 如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为_____． 14. 如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是___________． 三、解答题(本大题共 10小题，共78分) 15. 先化简，再求值：，其中 ． 16. 如图所示某地铁站有三个闸口． （1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ． （2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率． 17. 某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2平方米．若用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的．求每个A，B类摊位的占地面积． 18. 如图，在中，E为边上一点，连结，将沿翻折，使点的对称点落在边上，连结． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的周长为______． 19. 粮仓实，天下安，稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障．为了解粮食产量情况，小兰和同学查阅相关资料得到如下信息：2021年某地谷物总产量比上年增长约，其中稻谷产量增长约，小麦产量增长约，玉米产量下降约（其中谷物包括：稻谷、小麦、玉米，其他种类忽略不计）． （注：以上数据中某地谷物产量均精确到万吨） 根据以上信息回答下列问题： （1）求：2021年小麦产量比2020年小麦产量多了多少万吨． （2）在扇形统计图中，n的值为 ___________． （3）计算2021年稻谷产量．（精确到万吨） 20. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题： （1）在图1中，画出格点C，使得 ． （2）在图2中，在上找点E，使得． （3）在图3中，在线段上找一点F，使得． 21. 甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： （1）线段表示轿车在途中停留了__________h； （2）求线段对应的函数解析式； （3）甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，求甲地与加油站之间的距离． 22. 已知 内接于，是的直径，点C为优弧的中点，连接． （1）如图1，连接，求证∶平分 （2）如图2，延长相交于点E，求证∶； （3）在（2）的条件下，若，则的长为________． 23. 如图，四边形是矩形， ，动点M 从顶点 D 出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点A 运动，同时，点N从顶点C出发，沿射线方向以每秒1个单位的速度运动，当点M运动到终点A 时，两点同时停止运动，连接交边于点 E． （1）如图1，求证∶ （2）如图2，连接，当是等腰三角形时，求的长； （3）如图3，连接，过点B作的垂线，垂足为点H， ①BE的长为________； ②在运动过程中点H所经过的路径长为________． 24. 如图，抛物线与y轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为点P在此抛物线上，其坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，结合图象，直接写出n的取值范围． （3）若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)恰有三个点到x轴的距离为1，求m的取值范围． （4）当时，以 为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年德惠市九年级质量监测(二) 数 学 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 2024年1月1日，某地4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1， ，其中最低的气温是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；由题意可根据有理数的大小比较进行求解． 【详解】解：∵， ∴最低的气温是； 故选A． 2. 2023年5月22日，我国神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功．在距离地面约400000米外的中国空间站中，神舟十五号乘组和神舟十六号乘组六名航天员一起工作和生活．400000这个数用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当绝对值时，n是正整数，当原数的绝对值时，n负整数． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的概念，熟记概念是关键． 3. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图． 【详解】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高， 故选A． 【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键． 4. 下列日常现象 ①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程； ③园林工人栽一行树先栽首尾的两棵树； ④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线然后沿着线砌墙其中， 可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的性质、线段公理，逐个进行分析、判断即可． 【详解】①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，可以用“两点确定一条直线”来解释，符合题意； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，可以用“两点之间线段最短”来解释，不符合题意； ③园林工人栽一行树先栽首尾的两棵树，可以用“两点确定一条直线”来解释，符合题意； ④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线然后沿着线砌墙，可以用“两点确定一条直线”来解释，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了直线的性质，线段公理等知识，掌握直线的性质和线段公理是解决问题的前提，将实际问题数学化是解决问题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法法则，负整数指数幂，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式，逐一判断选项，即可． 【详解】A. 不是同类项，不能合并，故本选项错误， B. ，故本选项正确， C. ，故本选项错误， D. ，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的加法法则，负整数指数幂，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式，掌握上述运算法则和乘法公式，是解题的关键． 6. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度 为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 7. 如图，在中， ，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线 ，交边于点．若，点到的距离为3，则 的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的性质即可得出，根据勾股定理求出，进而求出 的周长． 【详解】解：由作图可知是的平分线， ∵点到的距离为3， ， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴ 的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理及角平分线的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点 在反比例函数 的图象上．若直线的函数表达式为 ，则反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，过A作轴于E，过C作轴于F，证明，推出，，再证，推出，设，，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得，求出a值即可． 【详解】解：设直线与y轴的交点为G， 在 中，令，得 ，解得， 令 ，得， ，， 如图，过A作轴于E，过C作轴于F， 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， 在和 中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 设，， ，， ，， 点，点 在反比例函数 图象上， ， 解得 ，（不合题意，舍去）， ， ， ∴反比例函数表达式为， 故选D． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，求反比例函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等，涉及知识点较多，难度一般，掌握一线三等角模型，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，解两个不等式得到的范围为且，然后根据为小于2的整数确定的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， ∵为小于2的整数， ∴的值为1． 故答案为：1． 11. 某种苹果的售价是每千克5元，用面值为100元的人民币购买了千克，应找回_______元． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查列代数式，属基础题，简单．根据单价×重量=应付的钱；剩余的钱即为应找回的钱列式即可． 【详解】解：根据题意，a千克苹果售价为元，所以应找回元． 故答案为：． 12. 如图，将绕点P按逆时针方向旋转，得到，点A的对应点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题涉及图形变换-旋转，体现了新课标的精神，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 解题的关键是应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 【详解】解：由图知点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，画图，从而得点坐标为． 故答案为：． 13. 如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴图2中的阴影部分的面积为． 14. 如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，提取出点的坐标求出抛物线解析式，根据能跳绳及高度大于米列不等式即可得到m的值． 【详解】解：以O为坐标原点，所在直线为y轴所在直线为x轴，由题意可得， ，，， 设抛物线解析式为 ，将点代入可得， ， 解得：， ∴， ∵身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处能够正常跳大绳， 即跳绳高度要高于米， ∴， 当时， 整理得， 解得，， 即身高为米的小吉站在距点О水平距离1米处和5米处时，绳子恰好在头顶上， ∵绳子甩到最高时要超过他的头顶， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数的应用及坐标求法，解题的关键是建立适当的直角坐标系，会根据题意得出点的坐标． 三、解答题(本大题共 10小题，共78分) 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式、单项式乘以多项式、零次幂把式子展开，合并同类项后再代入求值即可． 【详解】原式= 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，需要特别注意符号问题，解题的关键是根据完全平方公式、单项式乘以多项式、零次幂把式子展开． 16. 如图所示某地铁站有三个闸口． （1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ． （2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率． 【答案】（1）选择A闸口通过的概率为； （2）两名乘客选择不同闸口通过的概率； 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出两名乘客选择不同闸口通过的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：一共有三个闸口， ∴选择A闸口通过的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果数为6， 所以两名乘客选择不同闸口通过的概率； 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 17. 某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2平方米．若用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的．求每个A，B类摊位的占地面积． 【答案】A摊位的面积是5平方米，B摊位的面积是3平方米 【解析】 【分析】设B类摊位占地面积为x，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设B类摊位占地面积为x平方米，则A类摊位占地面积为（x+2）平方米， 由题意得， 解得x=3， 经检验x=3是分式方程的解，且符合题意， 则x+2=5， 则A类摊位占地面积为5平方米，B类摊位占地面积为3平方米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 18. 如图，在中，E为边上一点，连结，将沿翻折，使点的对称点落在边上，连结． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的周长为______． 【答案】（1） 证明：由翻折得，， ，， 在中， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）8 【解析】 【分析】（1）由翻折得，， ，，然后根据平行四边形的性质即可解决问题； （2）由平行四边形的性质和菱形的性质可得是等边三角形，进而可得，，，的长度，即可求四边形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 由(1)知四边形是菱形， ∴， ∵， 是等边三角形， ， ， 四边形的周长 ． 【点睛】本题考查了折叠问题，平行四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 19. 粮仓实，天下安，稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障．为了解粮食产量情况，小兰和同学查阅相关资料得到如下信息：2021年某地谷物总产量比上年增长约，其中稻谷产量增长约，小麦产量增长约，玉米产量下降约（其中谷物包括：稻谷、小麦、玉米，其他种类忽略不计）． （注：以上数据中某地谷物产量均精确到万吨） 根据以上信息回答下列问题： （1）求：2021年小麦产量比2020年小麦产量多了多少万吨． （2）在扇形统计图中，n的值为 ___________． （3）计算2021年稻谷产量．（精确到万吨） 【答案】（1）20万吨 （2）40 （3）480万吨 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形某部分的圆心角，利用扇形图求解总量，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键； （1）2021年小麦产量比2020年小麦产量多：（万吨）； （2）由可得答案； （3）根据图表中的数据进行计算即可， 【小问1详解】 解：（万吨）， 答：2021年小麦产量比2020年小麦产量多20万吨． 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 （万吨）； 答：2021年稻谷每亩产粮约为480万吨． 20. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题： （1）在图1中，画出格点C，使得 ． （2）在图2中，在上找点E，使得． （3）在图3中，在线段上找一点F，使得． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点E即为所求； （3） 如图，点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理判断长度，继而求解即可； （2）取格点P，Q，并连接，交于点E，利用相似三角形的性质即可求解； （3）取格点C，连接，构造直角三角形，再连接，根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了作图-应用与设计，勾股定理的应用，相似三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： （1）线段表示轿车在途中停留了__________h； （2）求线段对应的函数解析式； （3）甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，求甲地与加油站之间的距离． 【答案】（1）0.5 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据图象即可求得； (2)根据图象可得点D、E的坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； (3)首先可求得线段OA所直线的解析式，再联立方程组，解方程组，即可求得点F的坐标，据此即可解答． 【小问1详解】 解：由图象可知：线段表示轿车在途中停留了2.5-2=0.5(h)， 故答案为：0.5； 【小问2详解】 解：由图象可知：点D的坐标为(2.5,80)，点E的坐标为(4.5,300)， 设线段所在直线的函数解析式为， 把点D、E的坐标分别代入解析式，得 解得 故线段对应的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由图象可知：点A的坐标为(5,300)， 设线段OA所在直线的解析式为， 把点A的坐标代入， 得，解得， 故线段OA所在直线的解析式为， 解得， 故点F的坐标为(3.9,234)， 故货车行驶了3.9h时，两车相遇，此时两车距离甲地234km， 轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车， 轿车到达加油站时，x=3.9-0.4=3.5(h)， 当x=3.5h时，， 所以，甲地与加油站之间的距离为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，利用待定系数法求一次函数的解析式，从图象中得到相关信息是解决本题的关键． 22. 已知 内接于，是的直径，点C为优弧的中点，连接． （1）如图1，连接，求证∶平分 （2）如图2，延长相交于点E，求证∶； （3）在（2）的条件下，若，则的长为________． 【答案】（1） 证明：∵点C为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分 ； （2） 证明：∵， ∴ ， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦关系以及三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质． （1）根据C是优弧的中点可得和相等，根据三角形全等即可证明； （2）根据等腰三角形的性质可知 ，根据圆周角定理可知，再根据（1）的结论即可证明； （3）根据中位线定理，可以求出的长，根据 ，可得 是等边三角形，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过O作 于F，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 为等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 23. 如图，四边形是矩形， ，动点M 从顶点 D 出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点A 运动，同时，点N从顶点C出发，沿射线方向以每秒1个单位的速度运动，当点M运动到终点A 时，两点同时停止运动，连接交边于点 E． （1）如图1，求证∶ （2）如图2，连接，当是等腰三角形时，求的长； （3）如图3，连接，过点B作的垂线，垂足为点H， ①BE的长为________； ②在运动过程中点H所经过的路径长为________． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2） 或2 （3）①②点H所经过的路径长为 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定条件进行证明即可； （2）根据腰的不同分类讨论即可； （3）①根据勾股定理求解即可；②根据为定值，，可知H在以为直径的圆上，据此解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作，垂足为点F，如图： 设移动时间为t，则 ①当时， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴； ②当时， ∴， ∵在中，， ∴， 整理得：， ∵，方程无解， ∴此情况不存在； ③当时，， 即， 解得：， ∵当点M到达点A时，， ∴t的取值范围是， ∴舍去， ∴，此时； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：①连接，如图： 由（1）知，， ∴， 由（2）知，， ∴ ， ∵， ∴， 在 中，； 故答案为：； ②∵为定值，， ∴H在以为直径的圆上， 当D和M重合时，H和C重合，取M和A重合时的情况，如图： ∴即为H的运动轨迹， 此时，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 为等腰直角三角形， ∵BH⊥MN， ∴， ∴， ∴的长为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、弧长的计算公式以及等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是本题解题的关键． 24. 如图，抛物线与y轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为点P在此抛物线上，其坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，结合图象，直接写出n的取值范围． （3）若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)恰有三个点到x轴的距离为1，求m的取值范围． （4）当时，以 为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，直接写出m的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为： （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）由，得抛物线的顶点坐标为，则，求得 ，所以抛物线的解析式为 ； （2）由在抛物线 上，得，当 时，，当 时，，而抛物线的顶点坐标为，可知当时，的最小值和最大值分别为和2，所以的取值范围是； （3）当点到轴的距离为1时，或，由，求得；由，求得，则点到轴的距离均为1，所以 的取值范围是； （4）由（1）得，抛物线的对称轴为直线，再分三种情况讨论，①以 为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上时，如图2，作轴，作于点于点，证明，得出，列出等式即可求解；②是点为抛物线与轴的交点，作交直线于点 ，连结 ，作轴于点，则是等腰直角三角形，符合题意以 为边作正方形，有一个顶点 在此抛物线的对称轴上，即可确定点的横坐标；③以 为边作正方形，有一个顶点 在此抛物线的对称轴上，此时是等腰直角三角形，点 在直线上，且，作 轴，作于点于点，可证明，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴将代入， 解得， ∴抛物线的解析式为 ． 【小问2详解】 理由：∵在抛物线 上， ， 当 时，， 当 时，， ∵得抛物线的顶点坐标为， ∴当点与抛物线的顶点重合时，则 ， ∴当时，的最小值和最大值分别为和2， ∴的取值范围是． 【小问3详解】 当点到轴的距离为1时，或， 当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：， 如图1，点到轴的距离均为1， ∵抛物线在点左侧部分(包括点)恰有三个点到轴的距离为1， ∴ 的取值范围是． 【小问4详解】 当时， ①以 为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上时，如图2， 作轴，作于点于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：(不符合题意，舍去)； ②如图3，点为抛物线与轴的交点，作交直线于点 ，连结 ，作轴于点， ， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，符合以 为边的四边形是正方形，此时正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上， 当时，则， 解得(不符合题意，舍去)； ③如图4，以 为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上时，是等腰直角三角形，且，点 在直线上， ， 作 轴，作于点于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：(不符合题意，舍去)， 综上所述，或或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法是解题的关键，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $