七年级下学期期末卷01-2023-2024学年七年级数学下册同步备考系列卷（北师大版）

2023-2024 七年下数学期末测试卷01 北师大版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题 1．计算的正确结果是（　） A． B． C． D． 2．下面图形都是轴对称图形，对称轴最多的是（　） A． B． C． D． 3．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　） A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107 4．下列图形中，与是同位角的是（    ） A．    B．   C．   D．    5．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯，小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（　） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到绿灯的概率大于 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 6．如图，小星在学了七巧板内容后，用边长为1的正方形纸板制成一副如图①所示的七巧板，如图②，图③所示，图中阴影部分面积之和为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 8．如图，李大爷用米长的篱笆靠墙围成一个矩形菜园，若菜园靠墙的一边长为（米），那么菜园的面积（平方米）与的关系式为（    ） A． B． C． D． 9．如图，将对边平行的纸条两次对折．已知，则图3中的的度数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（    ） 的面积等于的面积；    ②； ③；        ④．    A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 二、填空题 11．如果(x﹣1)x+4＝1成立，那么满足它的所有整数x的值是 ． 12．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为 ．    13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．若MN⊥BC于N，∠A＝70°，则 ． 14．如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点，点为边上的一动点，则的最小值为 ． 15．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)利用完全平方公式计算； (4)； (5)先化简，再求值：，其中，． 17．作图与探究（不写作法，保留作图痕迹，并用 0.5 毫米黑色签字笔描深痕迹） 如图，∠DBC 和∠ECB 是△ABC 的两个外角° (1)用直尺和圆规分别作∠DBC 和∠ECB 的平分线，设它们相交于点 P； (2)过点 P 分别画直线 AB、AC、BC 的垂线段 PM、PN、PQ，垂足 为 M、N、Q； (3) PM、PN、PQ 相等吗？（直接写出结论，不需说明理由） 18．材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张纸牌除数字外完全相同，它们分别标有数字，，，，，，，，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？ _________填，或 材料二：如图，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是_________． 材料三：图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在区域的概是_________．    19．如图，在中，点在边上，且，过点作，，若，求的大小． 解：，，， ，______ ，______ ， ，______ ， ， ，______ ______ ，______ ， 设，则 ______， ______， 解得 ______ 答：的大小为______． 20．如图1是一个大型的圆形花坛建筑物其中与是一对互相垂直的直径，小川从圆心O出发，按图中箭头所示的方向匀速散步，并保持同一个速度走完下列三条线路：：①线段、②圆弧、③线段后，回到出发点．记小川所在的位置距离出发点的距离为即所在位置与点O之间线段的长度与时间t之间的图象如图2所示，注：圆周率取近似值    (1)______，______； (2)当时，试求出y关于t的关系式； (3)在沿途某处小川遇见了他的好朋友小翔并聊了两分钟的时间，然后继续保持原速回到终点O，请回答下列两小问： ①小川渝小翔的聊天地点位于哪两点之间？并求出此时他距离终点O还有多远； ②求他此行总共花了多少分钟的时间． 21．如图，在中，高与高相交于点，，，．    (1)求证：． (2)求的长． 22．下面是小明解决一道作业题的全部思考过程 [题目]计算的值． [分析]20202019，20202018，20202020的平方是三个“天文数字”，难道要全部算出来吗？估计会很复杂；仔细观察式子数字的特征…… [解题过程]注意到20202018，20202019，20202020是三个连续的正整数，若设，则，，所以原式． [收获]原式看似是一个很复杂的式子，但在用字母n代替数字20202019后，凸显了式子的结构特征，形式上得到了化简，从而运用完全平方公式求得其值． 从小明的解题经历中你又有什么启发呢？带着你的思考尝试解决下列问题： (1)计算的值； (2)已知，求的值；． (3)已知，则______． 23．已知，射线和射线相交于点B，（），且．点D是射线上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线，并在射线上取一点E，使，连接，． (1)如下图，当点D在线段上，与的数量关系为_______； (2)如下图，当点D在线段上，时，在射线上取一点F，使，连接，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (3)如下图，当时，探究后直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024 七年下数学期末测试卷01 北师大版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题 1．计算的正确结果是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可求解，掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．下面图形都是轴对称图形，对称轴最多的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形的概念及对称轴的数量，结合选项根据轴对称图形的概念寻找对称轴的数量，判断选择即可． 【详解】解：A、该图形的对称轴有条； B、该图形的对称轴有条； C、该图形的对称轴有条； D、该图形的对称轴有条． 故选：A． 3．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　） A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107 【答案】B 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000823=8.23×10-7． 故选B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．下列图形中，与是同位角的是（    ） A．    B．   C．   D．    【答案】B 【分析】两条线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的一对角叫做同位角． 【详解】解：根据同位角的定义可知B选项中∠1与∠2在直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角． 故选：B． 【点睛】本题主要考查同位角的定义，准确理解同位角的定义，是解本题的关键． 5．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯，小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（　） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到绿灯的概率大于 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件和概率公式，分别根据随机事件的定义和概率公式逐一判断即可．正确运用概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意； B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意； C、小明爸爸遇到绿灯的概率为，故符合题意； D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意； 故选：C． 6．如图，小星在学了七巧板内容后，用边长为1的正方形纸板制成一副如图①所示的七巧板，如图②，图③所示，图中阴影部分面积之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查七巧板的知识点，根据七巧板的结构可知，分成的三角形都是等腰直角三角形，最小的等腰直角三角形的面积等于正方形面积的，小正方形的面积正方形面积的．阴影的面积总面积空白的面积，从而求出阴影部分面积． 【详解】解：根据七巧板的结构可知，分成的最小等腰直角三角形面积=正方形面积的，小正方形的面积正方形面积的； ∴阴影部分的面积之和 ． 故选：A． 7．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知，，即BE+EF的值最小为，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求出AE′B′即可． 【详解】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图： 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， 在△ABG和△AB′G中， ， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G， AB＝AB′， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， 在△ABE′和△AB′E′中， ， ∴△ABE′≌△AB′E′（SSS）， ∴∠AE′B＝AE′B′， ∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°， ∴∠AE′B＝115°． 即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°． 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置． 8．如图，李大爷用米长的篱笆靠墙围成一个矩形菜园，若菜园靠墙的一边长为（米），那么菜园的面积（平方米）与的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据篱笆长可得2AB+x=24，先表示出矩形的长，再由矩形的面积公式就可以得出结论． 【详解】解：由题意得：2AB+x=24， ∴AB= ； ∴ 故选：C 【点睛】此题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为24米，列出等式． 9．如图，将对边平行的纸条两次对折．已知，则图3中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角相等是解题的关键．图1中，由题意知，求出图2中，图3中根据求出度数． 【详解】解：图1中，∵长方形对边， ∴， 在图2中，， 在图3中，． 故选：B． 10．如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（    ） 的面积等于的面积；    ②； ③；        ④．    A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断的面积等于的面积； ②先根据同角的余角相等证得，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角的性质得出，，即可得证； ③先根据同角的余角相等证得再根据角平分线的定义得出，于是推出； ④无法证得AH=BH． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的面积等于的面积， 故①正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故②正确； ∵CF是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故③正确； 无法证得AH=BH，故④错误； 故正确的有①②③ 故选∶B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键． 二、填空题 11．如果(x﹣1)x+4＝1成立，那么满足它的所有整数x的值是 ． 【答案】﹣4、2或0． 【分析】分情况讨论：当x+4＝0时；当x﹣1＝1时，分别讨论求解．还有﹣1的偶次幂都等于1． 【详解】当x+4＝0时， x=-4， 原式变为（-4﹣1）0＝1成立， 当x﹣1＝1时， x=2， 原式变为（2﹣1）6＝1成立， 即x＝﹣4或x＝2， 当x＝0时， 原式变为（0﹣1）0+4＝（﹣1）4＝1成立， 故本题答案为：﹣4、2或0． 【点睛】主要考查了零指数幂的意义，非零数的零次幂等于1,1的任何次幂等于1，-1的偶次幂等于1，-1的奇次幂等于-1. 12．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】根据作图步骤得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质可计算出的度数． 【详解】解：由作法得，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理． 13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．若MN⊥BC于N，∠A＝70°，则 ． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出的度数，即可知，再得出，两式相减即可得的度数． 【详解】解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴，， ∵，∠A＝70°， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①， ∵MN⊥BC， ∴， ∴②， ∵①－②得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 14．如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点，点为边上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图——平分线，角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短，根据基本作图得到平分，过点作于，如图，则根据角平分线的性质得到，利用勾股定理计算出，再利用面积法求出，然后根据垂线段最短解决问题； 【详解】解：由作法得平分， 过点作于，如图， ，即， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 点为边上的一动点， 当时，点到的距离最短，即最小，即为， 的最小值为． 故答案为：． 15．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】根据资料提示确定展开式中与的指数关系，再确定系数的关系，由此即可求解． 【详解】解：根据材料提示可知，，其中的指数从逐次递减直到次数为，的指数从逐次递增直到次数为， ∴， ∴， ∴含项的系数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查定义新运算，数字规律，理解题目中数字规律，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)利用完全平方公式计算； (4)； (5)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)9801 (4) (5)； 【分析】（1）根据绝对值的意义，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可； （2）根据整式混合运算法则进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）根据整式混合运算法则进行计算即可； （5）先根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ， 把，代入得： 原式． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算，代数式求值，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，准确计算． 17．作图与探究（不写作法，保留作图痕迹，并用 0.5 毫米黑色签字笔描深痕迹） 如图，∠DBC 和∠ECB 是△ABC 的两个外角° (1)用直尺和圆规分别作∠DBC 和∠ECB 的平分线，设它们相交于点 P； (2)过点 P 分别画直线 AB、AC、BC 的垂线段 PM、PN、PQ，垂足 为 M、N、Q； (3) PM、PN、PQ 相等吗？（直接写出结论，不需说明理由） 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）证明见解析 【分析】（1）（2）按要求作图即可． （3）PM、PN、PQ显然是相等的，在∠DBC中，由于BP是∠DBC的角平分线，而点P在射线BP上，且PM、PQ分别垂直于∠DBC的两边，根据角平分线的性质，即可得PM=PQ，同理可证PN=PQ，由此得到所求的结论 【详解】(1)如下图． (2)如下图． （3）PM=PN=PQ． 理由：由于BP是∠DBC的角平分线，且PM⊥BD、PQ⊥BC，根据角平分线的性质得：PM=PQ，同理，PQ=PN； 故PM=PN=PQ 【点睛】本题主要考查学生动手作图的能力，同时还考查了角平分线的性质． 18．材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张纸牌除数字外完全相同，它们分别标有数字，，，，，，，，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？ _________填，或 材料二：如图，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是_________． 材料三：图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在区域的概是_________．    【答案】材料一：；材料二：；材料三： 【分析】材料一：在，，，，，，，中，的倍数有个，的倍数有个，分别求得摸到的倍数与摸到的倍数的概率；即可得答案； 材料二：根据转盘被等分成份，转盘停止后，指针对准每分的可能性相同，可得顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是， 材料三：用扇形区域的圆心角除以即可得到答案． 【详解】解：材料一：在，，，，，，，中，的倍数有个，的倍数有个， 摸出每张纸牌的可能性相同， 摸到的倍数，摸到的倍数； 出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜， ， 故答案为：； 材料二：转盘被等分成份， 转盘停止后，指针对准每分的可能性相同， 转盘停止后，指针对准绿色区域，顾客就可以获得元的购物券， 顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是； 故答案为：． 材料三：由图形可知，扇形区域的圆心角为， 转盘停止后指针落在区域的概率是 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的应用，解题的关键是掌握概率公式求概率． 19．如图，在中，点在边上，且，过点作，，若，求的大小． 解：，，， ，______ ，______ ， ，______ ， ， ，______ ______ ，______ ， 设，则 ______， ______， 解得 ______ 答：的大小为______． 【答案】；全等三角形的对应角相等；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的两个底角相等或等边对等角；平角定义；三角形内角和为；；；； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证明≌，是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，填空即可． 【详解】解：，，， ，， 全等三角形的对应角相等， ， 两直线平行，内错角相等， ， ， 等腰三角形的两个底角相等或等边对等角， 平角定义， 三角形内角和等于， ， 设，则， ， 解得． 答：的大小为． 20．如图1是一个大型的圆形花坛建筑物其中与是一对互相垂直的直径，小川从圆心O出发，按图中箭头所示的方向匀速散步，并保持同一个速度走完下列三条线路：：①线段、②圆弧、③线段后，回到出发点．记小川所在的位置距离出发点的距离为即所在位置与点O之间线段的长度与时间t之间的图象如图2所示，注：圆周率取近似值    (1)______，______； (2)当时，试求出y关于t的关系式； (3)在沿途某处小川遇见了他的好朋友小翔并聊了两分钟的时间，然后继续保持原速回到终点O，请回答下列两小问： ①小川渝小翔的聊天地点位于哪两点之间？并求出此时他距离终点O还有多远； ②求他此行总共花了多少分钟的时间． 【答案】(1)120，11 (2) (3)①位于两点之间；距离终点O的距离为30米；②15分钟 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a、b的值，从而可以解答本题； （2）根据函数图象中的数据可以求得当时，y关于t的关系式； （3）①根据题意和函数图象可以判断小川与小翔的聊天地点位于哪两个点之间，计算出此时他距离终点O的距离；②根据图象中的数据可以得到他此行总共花了多少分钟的时间． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 故答案为：120，11； （2）解：设时，y关于t的关系式是， ，得， 即时，y关于t的关系式是； （3）解：①由函数图象可知，小川与小翔的聊天地点位于两点之间， 此时他距离终点O的距离为：（米）， 即此时他距离终点O的距离为30米； ②由题意可得， 他此行总共花的时间为：（分钟）， 即他此行总共花了15分钟． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． 21．如图，在中，高与高相交于点，，，．    (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由已知可得，推出，根据三角形内角和定理求得，进而可得，利用“”即可得证； （2）根据直角三角形的性质及全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， ， 、是的高， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 22．下面是小明解决一道作业题的全部思考过程 [题目]计算的值． [分析]20202019，20202018，20202020的平方是三个“天文数字”，难道要全部算出来吗？估计会很复杂；仔细观察式子数字的特征…… [解题过程]注意到20202018，20202019，20202020是三个连续的正整数，若设，则，，所以原式． [收获]原式看似是一个很复杂的式子，但在用字母n代替数字20202019后，凸显了式子的结构特征，形式上得到了化简，从而运用完全平方公式求得其值． 从小明的解题经历中你又有什么启发呢？带着你的思考尝试解决下列问题： (1)计算的值； (2)已知，求的值；． (3)已知，则______． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查利用题干给出的解题思路来解答提出的问题，通过把一个复杂的数字或者整式，设成一个字母，从而把复杂的式子简单化，然后通过运算法则来进行化简求值． （1）根据题干给出的方法，找到几个“天文数字”的关系，通过设其中一个数字，来代入其他的数字，通过代入得方法来化简求值； （2）根据题干给出的的方法，找到几个“天文数字”的关系，通过设其中一个数字，来代入其他的数字，通过完全平方公式得变形来得到结果； （3）根据题干给出的方法，找到几个“天文数字”的关系，通过设其中一个数字，来代入其他的数字，通过完全平方公式得变形来得到结果． 【详解】（1）解：设，则， ； （2）设，则， ， 则有， ， ， ； （3）， 设，， 则有， ， ， ， ， ， ． 23．已知，射线和射线相交于点B，（），且．点D是射线上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线，并在射线上取一点E，使，连接，． (1)如下图，当点D在线段上，与的数量关系为_______； (2)如下图，当点D在线段上，时，在射线上取一点F，使，连接，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (3)如下图，当时，探究后直接写出的度数． 【答案】(1)∠A＝∠C； (2)BF＝BE，BF⊥BE；证明见解析； (3)30°或150° 【分析】（1）利用三角形外角的性质可得∠ADC＝∠C＋∠AEC，∠ADC＝∠A＋∠ABC，根据，可得∠A＝∠C； （2）证明△ABF≌△CBE，可得BF＝BE，∠ABF＝CBE，根据可得∠FBE＝90°，问题得证； （3）分情况讨论：当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，分别作出辅助线，证明△ABF≌△CBE（SAS），根据等腰三角形的性质求出∠BEF即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，∠ADC＝∠C＋∠AEC，∠ADC＝∠A＋∠ABC， ∴∠C＋∠AEC＝∠A＋∠ABC，即∠C＋α＝∠A＋α， ∴∠A＝∠C， 故答案为：∠A＝∠C； （2）BF＝BE，BF⊥BE； 证明：由（1）知∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中，， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝CBE， ∵， ∴∠ABC＝∠ABF＋∠FBC＝∠CBE＋∠FBC＝∠FBE＝90°， 即BF⊥BE； （3）当点D在线段上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，如图所示： 在△ABF和△CBE中，， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE， ∴∠ABF＋∠FBD＝∠CBE＋∠FBD， ∴∠ABD＝∠FBE， ∵∠ABC＝120°， ∴∠FBE＝120°， ∵BF＝BE， ∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°−∠FBE）＝×（180°−120°）＝30°， 即∠AEB＝30°； 当点D在线段的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，如图所示： 同理可证△ABF≌△CBE（SAS）， ∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE， ∴∠ABE＋∠EBF＝∠ABE＋∠ABC， ∴∠EBF＝∠ABC， ∵∠ABC＝120°， ∴∠EBF＝120°， ∵BF＝BE， ∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°−∠EBF）＝×（180°−120°）＝30°， ∴∠AEB＝180°－∠BEF＝150°． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$