专题07 四边形（四大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题07 四边形 题型一 平行四边形选题小题 1．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 2．（2024·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁丹东·二模）如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，，，点E是上一点，连接，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 4．（2024·辽宁营口·二模）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B． C．3 D．4 5．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作的∠BAD平分线交BC于点E，若AE=8，AB=5，则BF的长为（  ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．（2024·辽宁大连·二模）如图，是菱形的对角线，，则的度数是 ． 7．（2024·辽宁·二模）如图，在中，，垂足为，若，则 ． 8．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以点为圆心，为半径作弧交于另一点，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为 ． 9．（2024·辽宁葫芦岛·二模）把一张矩形纸片按如图所示的方式进行两次折叠，第二次沿折叠后，点的对应点恰好落在了第一次的折痕上，连接，得到．若为边的中点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 10．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，△ABC中，AC=，BC=4，AB=3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 ． 11．（2024·辽宁大连·二模）如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是 ．    12．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在菱形中，分别以C、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线，直线恰好经过点A，与边交于点M，连接，若菱形的周长为16，则线段的长是 ． 13．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，若，，则的周长为 ． 题型二 平行四边形压轴小题 14．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，矩形中，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交边于点D，交边于点E，连接，，，若，且，，则k的值为 ． 15．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在平行四边形中，平分，且与边交于点E，，垂足为F，连接，，平分，与交于点H，若，则平行四边形的面积为 ． 16．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在菱形中，，，点为直线上方一点，且，分别作点关于直线和直线的对称点，，连接，当与菱形的边平行时，的面积为 ．    17．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在中，，，，点D为边上一点（不与A，B重合），点E为的中点，将沿翻折，得到，连接，当以点D，E，B，F为顶点的四边形为平行四边形时，的长为 ．    18．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点A，E，F，G按顺时针排列）．当正方形中的某一顶点落在直线．上时（不与点D重合），则正方形的面积为 ． 19．（2024·辽宁丹东·二模）矩形中，对角线，交于点，，，点为边中点，动点从点出发，沿的方向在边，上以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为秒，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为 秒． 20．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是 ． 21．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，点是矩形边上一点，，，连接，将沿翻折得到，连接，，若是以为腰的等腰三角形，则 ． 题型三 平行四边形证明 22．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，中，分别为的中点，连接． (1)尺规作图：在的延长线上确定点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形为菱形． 23．（2024·辽宁鞍山·二模）在菱形中，为对角线，分别为边上的点，射线交的延长线于点，射线交的延长线于点，．求证：． 24．（2024·辽宁本溪·二模）如图，的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且，EF与CD交于点G．    (1)求证：； (2)连接DE、CF，如果，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形． 25．（2024·辽宁营口·二模）菱形ABCD中，对角线AC=6cm，BD=8cm，动点P、Q分别从点C、O同时出发，运动速度都是1cm/s，点P由C向D运动；点Q由O向B运动，当Q到达B时，P、Q两点运动停止，设时间为t妙（0＜t＜4）．连接AP，AQ，PQ． （1）当t为何值时，PQ⊥AB； （2）设△APQ的面积为y（cm2），请写出y与t的函数关系式； （3）当t为何值时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的？ （4）是否存在t值，使得线段PQ经过CO的中点M？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 题型四 平行四边形压轴大题 26．（2024·辽宁丹东·二模）在正方形中，点M是边上一点，点N是边上一点，连接，交于点P，且． (1)如图1，判断线段与的数量关系和位置关系，并证明． (2)如图2，延长到点Q，连接，当时，请求出，之间满足的数量关系． (3)如图3在（2）的条件下，连接，当，的面积是时，请直接写出的长． 27．（2024·辽宁葫芦岛·二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】 （1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为．根据以上操作，求； 【拓展探究】 （2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长； 【迁移应用】 （3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长． 28．（2024·辽宁葫芦岛·二模）综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角： ． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1） 中的方式操作，延长交于点Q，连接． ①如图2， 当点M在上时， 求的度数． ②请同学们在图2中连接，交于点N．分别求出和的长． (3)拓展应用 如图3，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），正方形纸片的边长仍然为， 仍然按照（1）中的方式操作， 延长交于点Q，连接．当 时，直接写出的长． 29．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形中，，点E为射线上一点（点E不与点B重合），将沿折叠，得到，点P为线段上一点，再将沿折叠，得到，的延长线与边相交于点Q．    (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，当点E与点A重合时，若点G落在边上，连接与相交于点M，与相交于点N，求的长． (3)若点G落在边上，且，所在直线与所在直线相交于点H： ①如图3，当点E在线段延长线上时，求的长； ②当点E在线段上时，请直接写出的长． 30．（2024·辽宁鞍山·二模）数学课上，王老师提出问题：如图，已知中，是边上中线，．探究边和的数量关系；同学们以小组为单位，在经历独立思考、小组讨论、汇报展示后，归纳得到以下种不同的方法． 方法（倍延中线）：如图，延长至点，使，连接．利用全等和等腰三角形的判定证出； 方法（利用角平分线性质）：如图，过点分别作于点，于点，利用角平分线性质和全等证出； 方法（平移）：如图，将沿射线方向平移得到，连接，设与交于点，利用全等或相似证出． (1)特例感知：请完成方法（图）的探究过程； (2)思维迁移： 如图，已知中，是边上的两点，且，连接，．猜想边和的数量关系并说明理由； (3)拓展应用： 如图，已知点是 内一点，连接，，，求的度数． 31．（2024·辽宁丹东·二模）综合与实践 【问题情境】 为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，． 图1 【探究实践】 老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G． 老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？ 经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形．” （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点． 请你分别判断两人的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长．” 老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长． 图4 32．（2024·辽宁沈阳·二模）【问题情境】 如图，正方形，点是边上一动点，点由点运动到点，动点在边上，且，连接，以为一边，在正方形内部作等边，连接，设的长为，的面积为． 【初步感知】 （）经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象，其顶点坐标是，请根据图象信息，求关于的函数表达式； 【延伸探究】 （）当的周长为时，求线段的长度； （）当是以为底的等腰三角形时， 小智同学根据学习函数的经验，想尝试结合函数相关知识求线段的长度． 根据点在上的不同位置，通过画图软件画出相应的图形，并测量线段的长度（同一单位），得到下表的几组对应的近似值： 将线段的长度作为自变量，和的长度分别为，，发现，都是的函数，在平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，请结合表格和图象信息，当是以为底的等腰三角形时，直接写出线段的长度；（结果精确到） 因为的方法得到的是线段长度的近似值，所以小慧同学还想求出线段长度的准确值，请你帮助小慧同学求出线段长度的准确值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 四边形 题型一 平行四边形选题小题 1．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 【答案】D 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∵OA=OD， ∴AC=BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． 2．（2024·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．利用平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】解∶∵的顶点A，B，C的坐标分别为，，， ∴D和A的纵坐标相同，， ∴点D的坐标是， 故选：C． 3．（2024·辽宁丹东·二模）如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，，，点E是上一点，连接，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．根据菱形的对角线互相垂直平分求出，，，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O， ∴，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 4．（2024·辽宁营口·二模）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据等腰三角形的性质结合直角三角形两个锐角互余的关系求解即可． 【详解】∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=3，AC⊥BD， 由勾股定理得，CD=， ∵OE=CE， ∴∠EOC=∠ECO， ∵∠EOC+∠EOD =∠ECO+∠EDO=90， ∴∠EOD =∠EDO， ∴OE=ED， ∴OE=ED=CE， ∴OE=CD=． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键． 5．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作的∠BAD平分线交BC于点E，若AE=8，AB=5，则BF的长为（  ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据尺规作图可得四边形ABEF为菱形，故可根据勾股定理即可求解. 【详解】连接EF，设AE、BF交于O点， ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠FAE， 又AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB, ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE， 故AF=BE，又AF∥BE， ∴四边形ABEF是菱形， 故AE⊥BF， ∵AE=8，AB=5 ∴BF=2BO= 故选C. 【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知特殊平行四边形的判定与性质及勾股定理的应用. 6．（2024·辽宁大连·二模）如图，是菱形的对角线，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键． 根据菱形的性质得到，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，是菱形的对角线， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 7．（2024·辽宁·二模）如图，在中，，垂足为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，由平行四边形可得，进而得到，由垂直可得，据此即可求出，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以点为圆心，为半径作弧交于另一点，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作垂线，根据平行四边形的性质，推出，作图可知，三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由作图可知， ∴， ∴； 故答案为：20． 9．（2024·辽宁葫芦岛·二模）把一张矩形纸片按如图所示的方式进行两次折叠，第二次沿折叠后，点的对应点恰好落在了第一次的折痕上，连接，得到．若为边的中点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的折叠问题，根据矩形的性质，折叠的性质，证明，进而求出度数，三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 第一次折叠后，由折叠的性质：， ∵第二次沿折叠后，点的对应点恰好落在了第一次的折痕上， ∴，，， ∴，， ∴， ∵为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 10．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，△ABC中，AC=，BC=4，AB=3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 ． 【答案】 【分析】先证明四边形CEBD是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形CEBD是菱形，进而可以解决问题． 【详解】解：∵EB∥CD，EC∥AB， ∴四边形CEBD是平行四边形， 在△ABC中， ∵AC=，BC=4，AB=3， ∴（）2+42=2+16=18=（3）2， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∵点D是AB的中点， ∴DC=AD=DB=AB=， ∴四边形CEBD是菱形， 四边形CEBD的周长=4DB=4×=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理逆定理、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定与性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键． 11．（2024·辽宁大连·二模）如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是 ．    【答案】或 【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得，再进行分类讨论：当点E在点A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， 连接， ①当点E在点A上方时，如图， ∵，， ∴， ②当点E在点A下方时，如图， ∵，， ∴， 故答案为：或．    【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题的关键是掌握菱形的对角线平分内角；等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 12．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在菱形中，分别以C、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线，直线恰好经过点A，与边交于点M，连接，若菱形的周长为16，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图−基本作图，菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由作图可知，垂直平分，得到，根据菱形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ， ， 在中，由勾股定理，得， 故答案为：． 13．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴的周长为． 故答案为：． 题型二 平行四边形压轴小题 14．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，矩形中，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交边于点D，交边于点E，连接，，，若，且，，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】证明，得出，设，则，设，则，设，则，得出，，根据点E与点D在反比例函数上，得出，求出，得出，根据，求出，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，设，则，设，则， ∴，， ∵点E与点D在反比例函数上， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，数形结合． 15．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在平行四边形中，平分，且与边交于点E，，垂足为F，连接，，平分，与交于点H，若，则平行四边形的面积为 ． 【答案】289 【分析】根据平行四边形的性质结合结合角平分线的定义，证明，由直角三角形的特征及等腰三角形的性质证明，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：延长交于点G， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为， 故答案为：289． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的特征，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 16．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在菱形中，，，点为直线上方一点，且，分别作点关于直线和直线的对称点，，连接，当与菱形的边平行时，的面积为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查菱形的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形中位线性质定理等知识，分和两种情况，在时先证明点F与点A重合，求出的长，再由中位线定理求出的长，再根据三角形面积公式求解即可；同理可求出时的结论． 【详解】解：①当时， ∵ ∴如图，    设与交于点E，交于点F，则有 连接 又由对称性可知，垂直平分，垂直平分， ∴为的中位线， ， 又点F在直线上，也在直线上， ∴与点重合， 设 ∴为等腰直角三角形， ∴ 又， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴； ②当时，如图，    设与交于点M，交于点N，连接 同理可得为的中位线， ∴， 又， ∴点 在直线上，重合， 则垂直平分于点A， 又 ∴是等腰直角三角形， ∴， 又垂直平分， ∴ 在中， ∴， ∴； 综上，的面积为或， 故答案为：或． 17．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在中，，，，点D为边上一点（不与A，B重合），点E为的中点，将沿翻折，得到，连接，当以点D，E，B，F为顶点的四边形为平行四边形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，分两种情况画出图形，由折叠的性质及勾股定理可求出答案，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 分两种情况： ①如图，四边形为平行四边形，    由翻折可知，， ∵点E为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴； ②如图，四边形为平行四边形，    由翻折可知，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 18．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点A，E，F，G按顺时针排列）．当正方形中的某一顶点落在直线．上时（不与点D重合），则正方形的面积为 ． 【答案】20或80 【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，正方形面积等，证明三角形全等是解决问题的关键． 分两种情况：当点F在直线上时，过点F作，交的延长线于M，可得是等腰直角三角形，得出，再证得，利用勾股定理可得：，正方形的面积为20；当点G在直线上时，过点G作，交的延长线于M，同理可求得答案． 【详解】当点F在直线上时，过点F作，交的延长线于M， 则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为20． 当点G在直线上时，过点G作，交的延长线于M，如图， 同理可得：， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为80． 19．（2024·辽宁丹东·二模）矩形中，对角线，交于点，，，点为边中点，动点从点出发，沿的方向在边，上以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为秒，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为 秒． 【答案】2或 【分析】本题考查四边形翻折问题，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长的一半．如图1，当点落在矩形对角线上时，连接，由翻折及点E为中点可得，即分别垂直，，再由平行线分线段成比例即可求解；如图2，当点落在矩形对角线上时，时，作于点G，证明，得，代入值即可求解． 【详解】解：如图1，当点落在矩形对角线上时，连接， 由翻折可得， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴F为中点， ∴， ∴； 如图2， 当点落在矩形对角线上时，时，作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：2或． 20．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是 ． 【答案】 【分析】先根据三角形的中位线定理与直角三角形的性质，可得，然后过点作于，根据等腰三角形性质与直角三角形性质可得和的长度，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于． ，，， ， 点和点分别是和的中点， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质与三角形面积公式等知识，熟练掌握相关的定理、性质与公式是解题的关键． 21．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，点是矩形边上一点，，，连接，将沿翻折得到，连接，，若是以为腰的等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】 连接， 取的中点，连接，由四边形是矩形得 ，则所以 ，再分两种情况讨论，一是点落在上， 则点与点重合，则 是以为腰的等腰三角形，由勾股定理得，求得 二是点与点重合， 连接， 可证明是等边三角形，再证明四边形是菱形，则是以为腰的等腰三角形，此时得到问题的答案，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【详解】 解：连接， 取的中点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， 如图， 点落在上， 由翻折得：， ∴点与点重合， ∴是以为腰的等腰三角形， 解得： 如图，点与点重合，连接，则 ，是中点， ， 是等边三角形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 是以为腰的等腰三角形，此时 综上所述，的长为或 故答案为：或． 【点睛】 此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，掌握相关性质，并正确作出辅助线是解题的关键． 题型三 平行四边形证明 22．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，中，分别为的中点，连接． (1)尺规作图：在的延长线上确定点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)详见解析（作图方法不唯一） (2)详见解析 【分析】（1）在的延长线上截取，根据三角形的中位线性质得到，再根据平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形，进而可得，作图方法不唯一； （2）根据含30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线性质证得，然后根据菱形的判定可得结论． 【详解】（1）解： 如图，点为所求作的点． 作图理由： 在的延长线上截取， 分别为的中点， 为的中位线， ，即 由（1）作图知， 四边形为平行四边形． ∴，即点为所求作的点； 作图方法不唯一，如图，作，则四边形为平行四边形，∴，则点为所求作的点； ； 如图，作，则，则点为所求作的点； （2）证明：由（1）知，四边形为平行四边形， ，E为的中点． ． 四边形为菱形． 【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、三角形的中位线性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出图形是解答的关键． 23．（2024·辽宁鞍山·二模）在菱形中，为对角线，分别为边上的点，射线交的延长线于点，射线交的延长线于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】 本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，先根据菱形的性质得到，再利用，得到，可判断即可求证，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解题的关键． 【详解】证明：四边形为菱形， ，即， ， ， ，， ， ， ． 24．（2024·辽宁本溪·二模）如图，的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且，EF与CD交于点G．    (1)求证：； (2)连接DE、CF，如果，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线的性质得：，再根据题意得到OE为的中位线，利用三角形中位线性质即可求证； （2）由（1）知得，根据题意证明，利用三角形全等的性质即可求证． 【详解】（1）证明：对角线AC、BD交于点O， ， ， OE为的中位线， ． （2）如图，连接、，   ， ， G是CD的中点， ， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ∴， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，掌握三角形全等的判定及平行四边形的性质运用是解题的关键． 25．（2024·辽宁营口·二模）菱形ABCD中，对角线AC=6cm，BD=8cm，动点P、Q分别从点C、O同时出发，运动速度都是1cm/s，点P由C向D运动；点Q由O向B运动，当Q到达B时，P、Q两点运动停止，设时间为t妙（0＜t＜4）．连接AP，AQ，PQ． （1）当t为何值时，PQ⊥AB； （2）设△APQ的面积为y（cm2），请写出y与t的函数关系式； （3）当t为何值时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的？ （4）是否存在t值，使得线段PQ经过CO的中点M？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t=1s时，PQ⊥AB；（2）y=-t2+t（0＜t≤4）;(3) t=15-时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的(4)存在，t=时，PQ经过线段OC的中点N，理由见解析 【分析】（1）如图3中，作CH⊥AB于H交BD于M．由PQ∥CM，可得 ，由此构建方程即可解决问题； （2）如图1中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H．根据y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP，计算即可解决问题； （3）由△APQ的面积是四边形AQPD面积的 ，推出S△APQ=2S△APD，由此构建方程即可解决问题； （4）如图4中，作PH⊥AC于H．由OQ∥PH，ON=NC= ，可得，由此构建方程即可解决问题； 【详解】解：（1）如图3中，作CH⊥AB于H交BD于M． 易知CH=，AH==， ∵∠MCO=∠ACH，∠COM=∠CHA=90°， ∴△COM∽△CHA， ∴=， ∴=， ∴OM=， ∵PQ⊥AB，CH⊥AB， ∴PQ∥CM， ∴=， ∴=， ∴t=1， ∴t=1s时，PQ⊥AB． （2）如图1中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4， ∴∠COD=90°， ∴CD==5， ∵•AC•OD=•CD•AM， ∴AM=， ∵OQ=CP=t， ∴DQ=4+t．PD=5-t． ∵PH∥OC， ∴=， ∴=， ∴PH=（5-t）， ∴y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP=•（4+t）•3+•（4+t）•（5-t）-•（5-t）•=-t2+t（0＜t≤4）． （3）如图2中， ∵△APQ的面积是四边形AQPD面积的， ∴S△APQ=2S△APD， ∴-t2+t=2••（5-t）•， 解得t=15-或15+（舍弃）， ∴t=15-时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的． （4）如图4中，作PH⊥AC于H． ∵OQ∥PH，ON=NC=， ∴=， ∴=， ∴t=， ∴t=时，PQ经过线段OC的中点N． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，平行线分线段成本定理定理，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题． 题型四 平行四边形压轴大题 26．（2024·辽宁丹东·二模）在正方形中，点M是边上一点，点N是边上一点，连接，交于点P，且． (1)如图1，判断线段与的数量关系和位置关系，并证明． (2)如图2，延长到点Q，连接，当时，请求出，之间满足的数量关系． (3)如图3在（2）的条件下，连接，当，的面积是时，请直接写出的长． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，得，，再导出，从而得到，； （2）作于点F，得到等腰直角三角形，再证明，推得； （3）由题意可得，可知N为的中点，，设正方形的边长为，将用含a的代数式表示，由相似三角形的性质可以推得，由的面积是列方程求出a的值，再转化为的长． 【详解】（1）解：，，证明如下； ∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴，； （2）解：，理由如下： 如图2，作于点F， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图3，设正方形的边长为． ∵，，，，的面积是， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用，正切等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造特殊角和含有特殊角的直角三角形． 27．（2024·辽宁葫芦岛·二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】 （1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为．根据以上操作，求； 【拓展探究】 （2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长； 【迁移应用】 （3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】对于（1），根据正方形和折叠的性质求出，可得答案； 对于（2），根据正方形和折叠的性质说明 是等腰直角三角形，进而求出，然后证明，再求出，，可设，根据求出a，即可得出答案； 对于（3，）作正方形，先说明 ，可求出，再由（1）可知：，然后根据勾股定理求出答案. 【详解】解：（1）四边形是正方形， ． 由折叠的性质得：，． ，即， . （2）四边形是正方形， ． 由折叠的性质得：，，， ． 由（1）可知：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， （ASA）， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， 解得：， ， ； （3）如图3中，在上取一点J，使得，过点J作于点T，交于点K，连接，得正方形， 当时，，， ， ， ， ， ， 由（1）可知：，则， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等，作出辅助线是解题的关键． 28．（2024·辽宁葫芦岛·二模）综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角： ． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1） 中的方式操作，延长交于点Q，连接． ①如图2， 当点M在上时， 求的度数． ②请同学们在图2中连接，交于点N．分别求出和的长． (3)拓展应用 如图3，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），正方形纸片的边长仍然为， 仍然按照（1）中的方式操作， 延长交于点Q，连接．当 时，直接写出的长． 【答案】(1)或或或（任写一个即可） (2)①；② (3)或 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，即可求解； （2）①先根据折叠性质得，因为，所以，再由“”可证，可得； ②由可得；根据正方形的性质得出，结合勾股定理算出，因为证明，把数值代入可得； （3）分两种情况讨论：第一种是点在线段上时，第二种是点在线段上时，由折叠的性质和勾股定理进行列式，即可求解． 【详解】（1）解：对折矩形纸片， ，， 沿折叠，使点落在矩形内部点处， ，， ， ， ， ， 故答案为：或或或（任写一个即可）； （2）解：①由折叠可知，． 在中， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴； ②在中，， 则， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， 在中，； ∵ ∵， ∴， 设，则， ∴； ∴ ∴． （3）解：由折叠的性质可得，， ∵， ， 当点在线段上时， ， ，， ， ， ， 当点在线段上时， ， ，， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的相关性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合性强，难度大，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 29．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形中，，点E为射线上一点（点E不与点B重合），将沿折叠，得到，点P为线段上一点，再将沿折叠，得到，的延长线与边相交于点Q．    (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，当点E与点A重合时，若点G落在边上，连接与相交于点M，与相交于点N，求的长． (3)若点G落在边上，且，所在直线与所在直线相交于点H： ①如图3，当点E在线段延长线上时，求的长； ②当点E在线段上时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质证明，即可得； （2）先证明四边形是矩形，得，则，在中，由可得，解直角三角形求出，，即可得的长． （3）①过点作，垂足为，则四边形是矩形．，．在中，根据勾股定理得，则，在中，根据勾股定理得．则，证明．根据相似三角形的性质得，即可求解； ②过点作，垂足为，同①的方法即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 由折叠知，， ， 又， ∴， ； （2）解：将 沿折叠，得到， 垂直平分． ， 四边形是矩形， ， 由（1）知，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， ； （3）解：①过点作，垂足为，   ． 由（1）得， ， 四边形是矩形． ，． 在 中，， ， 在中，， ， ，解得． ， 四边形是矩形， ． ． ， ， ； ②过点作，垂足为，    同理得，， ， 在中，， ， ，解得． ， ． ． ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 30．（2024·辽宁鞍山·二模）数学课上，王老师提出问题：如图，已知中，是边上中线，．探究边和的数量关系；同学们以小组为单位，在经历独立思考、小组讨论、汇报展示后，归纳得到以下种不同的方法． 方法（倍延中线）：如图，延长至点，使，连接．利用全等和等腰三角形的判定证出； 方法（利用角平分线性质）：如图，过点分别作于点，于点，利用角平分线性质和全等证出； 方法（平移）：如图，将沿射线方向平移得到，连接，设与交于点，利用全等或相似证出． (1)特例感知：请完成方法（图）的探究过程； (2)思维迁移： 如图，已知中，是边上的两点，且，连接，．猜想边和的数量关系并说明理由； (3)拓展应用： 如图，已知点是 内一点，连接，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）证明，得到，进而可证明，得到，，由得到，推导出，，即得到，，即可证明； （）．将沿直线方向平移到，连接，设交于点，同（）方法证明和，即可求证； （）将沿方向平移到，连接，设与交于点，可得四边形为平行四边形，得到，，证明，得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵平移， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，将沿直线方向平移到，连接，设交于点， 平移， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， 即， ； （3）解：如图，将沿方向平移到，连接，设与交于点， 平移， ，，，，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 31．（2024·辽宁丹东·二模）综合与实践 【问题情境】 为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，． 图1 【探究实践】 老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G． 老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？ 经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形．” （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点． 请你分别判断两人的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长．” 老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长． 图4 【答案】（1）结论正确，理由见详解；（2）结论正确，理由见详解；（3） 【分析】（1）由折叠的性质及已知条件得，由平行四边形的定义即可求证； （2）连接，由折叠的性质得，，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得，由对顶角性质及等腰三角形的性质得，由余角的性质可得，从而可得，即可求证； （3）由两角对应相等的三角形相似可得，由相似三角形的性质得，设，则有，，由勾股定理得，，，即可求解． 【详解】（1）结论正确； 理由如下： 由折叠得：， ， 折痕与夹角为， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）结论正确； 理由如下： 如图，连接， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， N是的中点； （3）解：，， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ， 由（2）得：， ， ， 设，则有， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故的长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质，能结合折叠的性质将已知条件转化到直角三角形中，用勾股定理求解是解题的关键． 32．（2024·辽宁沈阳·二模）【问题情境】 如图，正方形，点是边上一动点，点由点运动到点，动点在边上，且，连接，以为一边，在正方形内部作等边，连接，设的长为，的面积为． 【初步感知】 （）经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象，其顶点坐标是，请根据图象信息，求关于的函数表达式； 【延伸探究】 （）当的周长为时，求线段的长度； （）当是以为底的等腰三角形时， 小智同学根据学习函数的经验，想尝试结合函数相关知识求线段的长度． 根据点在上的不同位置，通过画图软件画出相应的图形，并测量线段的长度（同一单位），得到下表的几组对应的近似值： 将线段的长度作为自变量，和的长度分别为，，发现，都是的函数，在平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，请结合表格和图象信息，当是以为底的等腰三角形时，直接写出线段的长度；（结果精确到） 因为的方法得到的是线段长度的近似值，所以小慧同学还想求出线段长度的准确值，请你帮助小慧同学求出线段长度的准确值． 【答案】（）；（）或；（）；． 【分析】（）用顶点式假设函数的解析式，利用待定系数法解答即可求解； （）由图可知正方形的边长为，得，再利用等边三角形的性质得，根据勾股定理得，即，解方程即可求解； （）由图可知，有两个交点，可排除当时，；又根据图象知在之间两图象还有一个交点，由表可知，当时，，，据此即可由求解； 以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得，，，，过交的延长线于点，作轴于点，由等边三角形的性质可得，进而得为的中点，利用三角函数得，再证明，得到，可得，，即得，得到，利用中点坐标公式得，得到，又可得，根据构建方程，解方程即可求解． 【详解】解：（）设， ∵抛物线经过， ∴， 解得， ∴； （）∵，由图可知正方形的边长为， ∴， ∵的周长为，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为或； （）由图可知，有两个交点， 当时，，但不存在，故此种情况不符，舍去； 在之间两图象还有一个交点， 由表可知，当时，，， ∴时，的长度为； 以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 过交的延长线于点，作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 即， ∴， ∵， 又∵， ∴， 整理得， ∴或， ∴（不合，舍去），， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形三角形，勾股定理，坐标与图形，正确作出辅助线及看懂函数图象是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$