专题06 三角形（七大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题06 几何综合 题型一 图形的对称 1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2024·辽宁葫芦岛·二模）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁沈阳·二模）下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．  B．  C． D．   5．（2024·辽宁盘锦·二模）下面四个图形中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁沈阳·二模）下列四个图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·辽宁铁岭·二模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁盘锦·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·辽宁抚顺·二模）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我国四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 题型二 立体图形 10．（2024·辽宁盘锦·二模）已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·辽宁大连·二模）如图所示的三视图对应的几何体是（　　） A． B． C． D． 12．（2024·辽宁丹东·二模）下列图形是圆柱侧面展开图的是（　　） A． B． C． D． 13．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（    ） A．B． C． D． 14．（2024·辽宁大连·二模）如图放置在水平桌面上的四个几何体中，主视图是圆的是（    ） A．三棱柱B．圆锥C．圆柱 D．球 15．（2024·辽宁沈阳·二模）如图是一个由6个相同的小立方块组成的几何体，它的主视图是（    ） A． B．C．D． 16．（2024·辽宁沈阳皇姑区·二模）下图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   17．（2024·辽宁丹东·二模）如图是由四个相同的小正方体堆成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·辽宁铁岭·二模）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（    ） A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球 19．（2024·辽宁盘锦·二模）已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是　　 A．B．C．D． 20．（2024·辽宁丹东·二模）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），则它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·辽宁本溪·二模）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（    ）    A．   B．  C．   D．   题型三 平行线的性质 22．（2024·辽宁大连·二模）光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面m，入射点为A，B，，是法线．，的反射光线相交于点C．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，C岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 24．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 26．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图所示，是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（    ）． A． B． C． D． 27．（2024·辽宁本溪·二模）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则面积为（   ） A． B． C． D． 28．（2024·辽宁大连·二模）如图，线段，以为斜边向左构造等腰直角，连接、．若满足，，，则 °． 题型四 命题与证明 29．（2024·辽宁葫芦岛·二模）下列命题是真命题是（    ） A．若，则， B．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．若，则 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 30．（2024·辽宁沈阳·二模）下列命题正确的是（    ） A．平行四边形的对角线相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．平行四边形的对角互补 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 31．（2024·辽宁大连·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．一般地，形如（），为因变量，为自变量的函数叫作一次函数． B．平面直角坐标系内任意一条抛物线都是一个二次函数的图象． C．、、、都可以作为判定两个三角形全等的依据． D．在直角三角形中，设一锐角，则在的范围内，随着的增大而增大． 32．（2024·辽宁本溪·二模）命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 题型五 尺规作图 33．（2024·辽宁沈阳·二模）在中，点M在边上，且，阅读以下作图步骤： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点； ④连接并延长，交于点N，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　） A． B． C． D． 34．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，，点D在边上，，连接，在上截取，使，分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交边于点H，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 35．（2024·辽宁丹东·二模）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 36．（2024·辽宁大连·二模）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．射线与相交于点D．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 37．（2024·辽宁营口·二模）如图，在中，．下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是（    ） A． B． C． D． 38．（2024·辽宁丹东·二模）如图，平分，点A是在边上，以点A为圆心，大于点A到的距离为半径作弧，交于点B，C，再分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线分别交于点E，F．若，，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．6 39．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在中，，，，点E是边上一动点，过点E作交于点F，D为线段的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线．若射线经过点D，则的长度为（   ） A． B． C． D． 40．（2024·辽宁沈阳·二模）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    题型六 三角形计算选填 41．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 42．（2024·辽宁·二模）如图，在中，，，，是的中位线，点在上，与相交于点，若，则的长为 ． 43．（2024·辽宁·二模）如图，等边中，，为的中点，点为射线上一动点，将射线绕点顺时针旋转交于点，若，则 ． 44．（2024·辽宁丹东·二模）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，若，则周长的最小值是 cm． 45．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，是延长线上的一点，．是边上的一点（点与点、不重合），以、为邻边作．连接并取的中点，连接，则的最小值是 ．    46．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是 ． 47．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．    48．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在中，，，，点D为边上一点（不与A，B重合），点E为的中点，将沿翻折，得到，连接，当以点D，E，B，F为顶点的四边形为平行四边形时，的长为 ．    49．（2024·辽宁营口·二模）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点、，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点、，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 题型七 三角形证明大题 50．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图1，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，连接，． (1)如图2，当恰好经过点时，求证：； (2)如图3，当恰好经过点时，求的长； (3)在图2的基础上，将沿直线的方向平移，点，，的对应点分别为，，．连接，，，若为以为底的等腰三角形． ①当点在延长线上时，如图4，求线段的长； ②当点在射线上时，请直接写出线段的长． 51．（2024·辽宁大连·二模）【问题情境】 （1）某数学活动小组在研究“平方差公式的几何意义”时，提供了如下思路： 如图1，在中，，D为中点，，垂足为E．设，，根据勾股定理，在中用含a，b的式子表示；借助，用含a，b的式子再次表示，建立等式，得到． 请根据上述思路，完成平方差公式的推理过程．    【拓展迁移】 （2）如图2，在中，点D在边上，，延长到点E，使，过点E作，垂足为F，延长到点G，使． ①求证； ②如图3，若，，求的值．    52．（2024·辽宁鞍山·二模）【基本图形】如图1，在中，，，，且B，C，D三点在同一直线上，求证：． 【图形初探】如图2，在中，、，点D为内部一点，连接，若，，求证：． 【拓展探究】如图3，在中，，，点D为外部一点，且，连接，以为邻边作平行四边形，边分别与交于F，H两点，连接与交于点G，若，，求的面积． 53．（2024·辽宁营口·二模）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．当为等边三角形时，与的数量关系为：____________________ 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图3，四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 54．（2024·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 （）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：； 小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为； 小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与的数量关系； （）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长． 55．（2024·辽宁铁岭·二模）【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证： 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，交B于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． (1)请你选择一名同学的思路，写出证明过程； (2)【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； (3)【学以致用】 在中，．在直线上取点B，使，连接，在线段上取点A，连接，直线交直线于F，当时，求的值．请根据题意画出图形并简要的写出解答过程． 56．（2024·辽宁抚顺·二模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，是等腰直角三角形，，，点在上，连接．求证：． ①如图2，小明同学从结论出发给出如下的解题思路：过点作，垂足为，在中，，依据，，进行等量变换得出结论． ②如图3，小亮同学从条件出发给出如下的解题思路：过点作，且，连接，，依据，得到，，在中，，由得出结论． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）小红同学在深刻感悟前面两名同学的解题思路的基础上发现，当点在如图4的位置时（1）中的结论还成立，请你写出证明过程； 【学以致用】 （3）赵老师在此基础上提出问题：若（1）中的点在直线上，当时，画出草图并求出的度数． 57．（2024·辽宁鞍山·二模）数学课上，王老师提出问题：如图，已知中，是边上中线，．探究边和的数量关系；同学们以小组为单位，在经历独立思考、小组讨论、汇报展示后，归纳得到以下种不同的方法． 方法（倍延中线）：如图，延长至点，使，连接．利用全等和等腰三角形的判定证出； 方法（利用角平分线性质）：如图，过点分别作于点，于点，利用角平分线性质和全等证出； 方法（平移）：如图，将沿射线方向平移得到，连接，设与交于点，利用全等或相似证出． (1)特例感知：请完成方法（图）的探究过程； (2)思维迁移： 如图，已知中，是边上的两点，且，连接，．猜想边和的数量关系并说明理由； (3)拓展应用： 如图，已知点是 内一点，连接，，，求的度数． 58．（2024·辽宁抚顺·二模）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．之后，将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点），当时，延长交于点．老师提出如下问题：试判断图2中的四边形的形状，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题． “小思小组”提出如下问题： 如图3，当时，过点作，交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明． 请你解答“小思小组”提出的这个问题． 图3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何综合 题型一 图形的对称 1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 2．（2024·辽宁葫芦岛·二模）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 3．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 4．（2024·辽宁沈阳·二模）下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键． 5．（2024·辽宁盘锦·二模）下面四个图形中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由定义可知，如果将一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形；接下来，根据上述定义对各选项中的图形进行分析，即可做出判断. 【详解】根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、D所给的图形均不是轴对称图形，只有选项C的图形是轴对称图形. 故选C. 【点睛】此题考查轴对称图形的判断，解题关键在于握判断一个图形是否为轴对称图形的方法. 6．（2024·辽宁沈阳·二模）下列四个图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A选项图形有4条对称轴，B选项图形有3条对称轴，C选项图形有3条对称轴，D选项图形有两条对称轴， 故选：A． 7．（2024·辽宁铁岭·二模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、这个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、这个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项是正确的； C、这个图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项是错误的； D、这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的； 故选：B 8．（2024·辽宁盘锦·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 9．（2024·辽宁抚顺·二模）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我国四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B，D选项中的图书馆标志都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图书馆标志能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 题型二 立体图形 10．（2024·辽宁盘锦·二模）已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到从几何体左边看到的图形即可 【详解】解：该几何体的左视图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的三视图，注意观察角度不同分别得出视图是解题关键． 11．（2024·辽宁大连·二模）如图所示的三视图对应的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为圆锥． 【详解】解：图中三视图对应的几何体是圆锥， 故选：A． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握基本几何体的三视图及三视图的定义是解题的关键． 12．（2024·辽宁丹东·二模）下列图形是圆柱侧面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，对几何体的正确认识以及运用空间想象能力是解题的关键． 【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上， 得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形； 又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形． 故选：D． 13．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形得出这个几何题从正面看得到的图形有列，每列正方形个数为，，，由此即可得出答案． 【详解】解：这个几何题从正面看得到的图形有列，每列正方形个数为，，， 故这个几何体的主视图是 故选：B． 14．（2024·辽宁大连·二模）如图放置在水平桌面上的四个几何体中，主视图是圆的是（    ） A．三棱柱B．圆锥C．圆柱 D．球 【答案】D 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据几何体的三种视图，对各图形的主视图分析后进行选择即可． 【详解】解：A．三棱柱的主视图是长方形，故不符合题意； B．圆锥的主视图是三角形，故不符合题意； C．圆柱的主视图是长方形，故不符合题意； D．球的主视图是圆，故符合题意； 故选：D． 15．（2024·辽宁沈阳·二模）如图是一个由6个相同的小立方块组成的几何体，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了小正方体堆砌成的几何体的三视图，根据主视图是从正面看看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看，看到他图形分为上下两层，共4列，从左数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第三列有一个小正方形，即看到的图形如下： ， 故选：D． 16．（2024·辽宁沈阳皇姑区·二模）下图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图即可得出答案． 【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层的右边一个小正方形 故选B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的概念是解题的关键． 17．（2024·辽宁丹东·二模）如图是由四个相同的小正方体堆成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看有两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：A． 18．（2024·辽宁铁岭·二模）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（    ） A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】根据简单几何体的三视图即可判断. 【详解】解：∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形， ∴该几何体是一个柱体， ∵俯视图是一个圆， ∴该几何体是一个圆柱体； 故选C． 【点睛】此题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟知简单几何体的三视图. 19．（2024·辽宁盘锦·二模）已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是　　 A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题可利用排除法解答.从俯视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除A，C，D. 【详解】从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除A选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故C、D选项不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，由三视图还原实物，还原实物的形状关键是能想象出三视图和立体图形之间的关系，从而得出该物体的形状. 20．（2024·辽宁丹东·二模）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），则它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图的意义画出相应的图形即可． 【详解】解：从上面看该组合体，看到的是一个长方形，中间有一个圆形的“孔”，因此选项C中的图形符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，长对正，宽相等，高平齐是画三视图的基本原则． 21．（2024·辽宁本溪·二模）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】从上往下看得到的图形就是俯视图，可得答案． 【详解】解：根据题意得： 这个几何体的俯视图是：  ， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上往下看得到的图形就是俯视图． 题型三 平行线的性质 22．（2024·辽宁大连·二模）光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面m，入射点为A，B，，是法线．，的反射光线相交于点C．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角，三角形内角和定理．熟练掌握余角，三角形内角和定理是解题的关键． 如图，由题意知，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ∴， 故选：C． 23．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，C岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方位角的计算，平行线的性质，过点C作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出结果即可． 【详解】解：过点C作，如图所示：    根据题意得：，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 24．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线．解决问题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，对顶角相等． 由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 25．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 利用平行线的性质可得的度数，再利用平角定义可得的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：A． 26．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图所示，是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 27．（2024·辽宁本溪·二模）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，过作于，作于，证明，则，即，由，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故选：C． 28．（2024·辽宁大连·二模）如图，线段，以为斜边向左构造等腰直角，连接、．若满足，，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，涉及三角形内角和定理、直角三角形的性质、周角的度数，根据等腰直角，得出，根据三角形内角和定理，计算出的度数，根据周角的度数是，则，计算得出答案即可，熟练掌握知识点、观察图形、计算相关角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵以为斜边向左构造等腰直角， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 题型四 命题与证明 29．（2024·辽宁葫芦岛·二模）下列命题是真命题是（    ） A．若，则， B．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．若，则 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法，，垂线的性质，不等式的性质，菱形的判定定理判断即可． 本题考查了有理数的乘法，垂线的性质，不等式的性质，菱形的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、若，则，或，，原说法是假命题，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法是假命题，不符合题意； C、若，则，是真命题，符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法是假命题，不符合题意． 故选：C． 30．（2024·辽宁沈阳·二模）下列命题正确的是（    ） A．平行四边形的对角线相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．平行四边形的对角互补 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定与性质定理直接判断即可 【详解】解：A.矩形平行四边形的对角线相等，而平行四边形的对角线互相平分，故选项A说法错误； B. 对角线相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，故选项B说法错误； C. 平行四边形的对角相等，故选项C说法错误； D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确， 故选：D 31．（2024·辽宁大连·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．一般地，形如（），为因变量，为自变量的函数叫作一次函数． B．平面直角坐标系内任意一条抛物线都是一个二次函数的图象． C．、、、都可以作为判定两个三角形全等的依据． D．在直角三角形中，设一锐角，则在的范围内，随着的增大而增大． 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的判断，结合一次函数的定义、二次函数的图象、三角形全等的依据、正弦的定义，逐项判断即可，熟练掌握知识点判断真假命题是解题的关键． 【详解】解：A、一般地，形如（），为自变量，为因变量的函数叫作一次函数，故原命题是假命题，不符合题意； B、若平面直角坐标系内的一条抛物线，对称轴不是平行轴的直线，则不是二次函数的图象，故原命题是假命题，不符合题意； C、判定两个三角形全等的依据有、、、，判定直角三角形全等的依据有；不能作为判定两个三角形全等的依据．故原命题是假命题，不符合题意； D、在直角三角形中，设一锐角，则在的范围内，正弦是对边比斜边，锐角越大，对边越大，随着的增大而增大．故原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 32．（2024·辽宁本溪·二模）命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题． 故答案为：假． 题型五 尺规作图 33．（2024·辽宁沈阳·二模）在中，点M在边上，且，阅读以下作图步骤： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点； ④连接并延长，交于点N，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图--作一个角等于已知角、平行线的判定和相似三角形判定与性质，掌握知识点是解题关键．由作图可知：，推出，利用平行线的性质证出即可解决问题． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∴， ， ， ， 故选：A． 34．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，，点D在边上，，连接，在上截取，使，分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交边于点H，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，平行线的性质与判定，先证明是等边三角形推出，由作图方法可知，平分，则，证明，进而证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由作图方法可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 35．（2024·辽宁丹东·二模）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 36．（2024·辽宁大连·二模）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．射线与相交于点D．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定．利用等腰三角形底角相等求得，由作法得平分，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法得平分， ∴， ∴． 故选：A． 37．（2024·辽宁营口·二模）如图，在中，．下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，一一判断可得结论． 【详解】 解：选项A中， ∵， ∴ 由作图可知， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线平分的面积． 选项B中，由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴中线平分的面积． 选项C中， 由作图可知，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴直线平分的面积． 选项D中，由题意可知，是的角平分线，不能平分的面积． 故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积． 38．（2024·辽宁丹东·二模）如图，平分，点A是在边上，以点A为圆心，大于点A到的距离为半径作弧，交于点B，C，再分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线分别交于点E，F．若，，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，解直角三角形，由作图得，再根据角平分线的定义得，然后根据含角的直角三角形三边关系先求出，再求出的长即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由作图得于F， ∴， ∵平分， ∴， ∵， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 39．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在中，，，，点E是边上一动点，过点E作交于点F，D为线段的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线．若射线经过点D，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了相似三角形的判定与性质． 设，先利用勾股定理计算出，则，再利用基本作图得到平分，接着证明得到，然后证明，则利用相似比得到，即，于是解方程可得到的长． 【详解】解：设， ， ， 由作法得平分， ， ， ， ， ， ∵为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 即的长为． 故选：C． 40．（2024·辽宁沈阳·二模）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【分析】分别作边AB,AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为花坛的圆心O，从而以OA为半径画圆可确定花坛的位置． 【详解】如图，分别作边AB,AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为花坛的圆心O，再以OA为半径画圆，则此圆即为花坛的位置．    【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图，掌握垂直平分线的作法是解题的关键． 题型六 三角形计算选填 41．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 42．（2024·辽宁·二模）如图，在中，，，，是的中位线，点在上，与相交于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用三角形中位线定理得出，进而解答即可．此题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，关键是利用三角形中位线定理得出解答． 【详解】解：，，， ， 是的中位线， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ， 故答案为：4． 43．（2024·辽宁·二模）如图，等边中，，为的中点，点为射线上一动点，将射线绕点顺时针旋转交于点，若，则 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质．分两种情况，当点在线段上时，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，则可得出；当点在线段的延长线上时，证明，得出比例线段，可求出，则可得出． 【详解】解：当点在线段上时，如图1， ， ， 为的中点， ∴， ， ， ， 为等边三角形， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图2， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ． 综合以上可得的长为3或5． 故答案为：3或5． 44．（2024·辽宁丹东·二模）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，若，则周长的最小值是 cm． 【答案】6 【分析】此题主要考查轴对称最短路线问题，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长最小． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、． 点关于的对称点为，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 的周长的最小值． 故答案为：6． 45．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，是延长线上的一点，．是边上的一点（点与点、不重合），以、为邻边作．连接并取的中点，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，可知为的最小值，进行求解即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：    ∵， ∴， ∴点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合）， ∴当时，取得最小值，最小值等于的长， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵且， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵P为的中点， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理、动点轨迹问题，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合．根据题意确定动点轨迹是解题关键． 46．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键． 如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 在中， ，， ，， ∴， 在中，． 故答案为：． 47．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．    【答案】或 【分析】先根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，结合题意可得，分两种情况：当时，根据三角形内角和定理和折叠的直线可得，根据等角对等边可得，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，，即可求出；当时，作交的延长线于，设，则，根据全等三角形的判定和性质可得，结合直角三角形的性质和勾股定理求得，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 当时，如图：    ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，，， 在中，， 即， ∴； 当时，作交的延长线于．如图：    设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 在中，， 即， 解得：； 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边等，构建直角三角形，借助勾股定理求解是解题的关键． 48．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在中，，，，点D为边上一点（不与A，B重合），点E为的中点，将沿翻折，得到，连接，当以点D，E，B，F为顶点的四边形为平行四边形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，分两种情况画出图形，由折叠的性质及勾股定理可求出答案，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 分两种情况： ①如图，四边形为平行四边形，    由翻折可知，， ∵点E为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴； ②如图，四边形为平行四边形，    由翻折可知，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 49．（2024·辽宁营口·二模）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点、，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点、，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【答案】 【分析】由题意是等边三角形，边长为，是等边三角形，边长为，是等边三角形，边长为，继而得到的边长为，然后根据等边三角形面积公式进行求解即可得． 【详解】解：，点在边上，且，过点作交于点， ∴在中，设，则, ∴，即， ∴， ∵为等边三角形， ∴，且， ∴，且过点作的垂线分别交、于点、， ∴， ∴， ∴是等边三角形，且， 由题意是等边三角形，边长为， 是等边三角形，边长为， 是等边三角形，边长为， 是等边三角形，边长为，…， 的边长为， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、等边三角形的面积公式、解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质得出等边三角形的边长的规律是解题的关键． 题型七 三角形证明大题 50．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图1，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，连接，． (1)如图2，当恰好经过点时，求证：； (2)如图3，当恰好经过点时，求的长； (3)在图2的基础上，将沿直线的方向平移，点，，的对应点分别为，，．连接，，，若为以为底的等腰三角形． ①当点在延长线上时，如图4，求线段的长； ②当点在射线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）由题意知，，由旋转的性质可知，，，，，，可证是等边三角形，，则，，证明是等边三角形，，进而可得； （2）由题意知，，由旋转的性质可知，，，，，则，，，，则，，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）①由题意知，，如图4，作交于，使，连接，则四边形是平行四边形，，，同理（1）可知，是等边三角形，，，由平移的性质可知，，，则，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可；②如图2，同理（3）①，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， 由旋转的性质可知，，，，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴； （2）解：由题意知，， 由旋转的性质可知，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为； （3）①解：由题意知，， 如图4，作交于，使，连接， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 同理（1）可知，是等边三角形，， ∴， 由平移的性质可知，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的长为； ②解：如图2， 同理（3）①，四边形是平行四边形，，，，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定，勾股定理，正弦，余弦，平移的性质，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定，勾股定理，正弦，余弦，平移的性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 51．（2024·辽宁大连·二模）【问题情境】 （1）某数学活动小组在研究“平方差公式的几何意义”时，提供了如下思路： 如图1，在中，，D为中点，，垂足为E．设，，根据勾股定理，在中用含a，b的式子表示；借助，用含a，b的式子再次表示，建立等式，得到． 请根据上述思路，完成平方差公式的推理过程．    【拓展迁移】 （2）如图2，在中，点D在边上，，延长到点E，使，过点E作，垂足为F，延长到点G，使． ①求证； ②如图3，若，，求的值．    【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②0.8 【分析】（1）利用直角三角形斜边上中线的性质得出，在中，利用勾股定理得出，证明，利用相似三角形的性质求出，即可得证； （2）①过A作于H，利用证明，得出，利用证明，即可得证； ②过A作于H，在和中，利用勾股定理可得出，结合（1）的结论可得出，同①可证，，得出，，代入化简即可求解． 【详解】解∶（1）在中，，D为中点， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）①过A作于H，      ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； ②过A作于H，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同①可证，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形和全等三角形是解题的关键． 52．（2024·辽宁鞍山·二模）【基本图形】如图1，在中，，，，且B，C，D三点在同一直线上，求证：． 【图形初探】如图2，在中，、，点D为内部一点，连接，若，，求证：． 【拓展探究】如图3，在中，，，点D为外部一点，且，连接，以为邻边作平行四边形，边分别与交于F，H两点，连接与交于点G，若，，求的面积． 【答案】基本图形：见解析；图形初探：见解析；拓展探究： 【分析】基本图形：由，得到，根据，推出，即可证明结论； 图形初探：过A作交延长线于N，根据，得到，进而得到，由，推出，解直角三角形得到，即可得到，证明，即可得出结论； 拓展探究：过G作交于Q，过A作交延长线于M，由正切的定义得到，设，求，证明，得到，求出，设，根据，即，求出n的值，即可解答． 【详解】基本图形： 证明： ； 图形初探： 过A作交延长线于N， ， 在中， ； 拓展探究： 过G作交于Q，过A作交延长线于M， 在中 设 ， 在中 四边形是平行四边形 在中 在中 在中 设 ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 53．（2024·辽宁营口·二模）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．当为等边三角形时，与的数量关系为：____________________ 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图3，四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）． （2） （3）存在，“旋补中线”长为2 【分析】（1）首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题； （2）结论：．如图1中，延长到，使得，连接，，首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题； （3）作的垂直平分线，过点D作的垂线，交于点P，连接，找出边的中点，连接，利用垂直平分线的性质及各角之间的关系得出，，再由勾股定理及等腰三角形的判定得出，，，利用等边三角形的判定和性质即可证明，再由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图2中，   是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图1中，延长到，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：存在． 理由：作的垂直平分线，过点D作的垂线，交于点P，连接，找出边的中点M，连接，如图所示： ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴是的“旋补三角形”， ∵是等腰直角三角形，点M为中点，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 54．（2024·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 （）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：； 小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为； 小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与的数量关系； （）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长． 【答案】（）证明见解析；（）；（）． 【分析】（）选择小创同学的解题思路：由等腰直角三角形的性质可得，，，，进而得到，，即可得到，得到，即可求证； 选择小新同学的解题思路：在线段上截取，连接，可得，又根据等腰直角三角形的性质可得，进而得，，由得，得到，即可证明，得到； （）同理（）小新同学的解题思路解答即可求解； （）延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在在线段上截取，连接，过点作于，则，，由得，，，解直角三角形得，，由可得，得到，由得到，得，，设，则，，由得，得，即得，，由（）知，可证，得到，解直角三角形求出，得到，即可求解． 【详解】解：（）选择小创同学的解题思路： ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择小新同学的解题思路： 如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （）如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在线段上截取，连接，过点作于，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， 又由（）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又由（）知，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 55．（2024·辽宁铁岭·二模）【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证： 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，交B于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． (1)请你选择一名同学的思路，写出证明过程； (2)【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； (3)【学以致用】 在中，．在直线上取点B，使，连接，在线段上取点A，连接，直线交直线于F，当时，求的值．请根据题意画出图形并简要的写出解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)，过程见解析 (3)或，画图和解答过程见解析 【分析】（1）①甲同学的思路，过点D作，于点K，由判定，由全等三角形的性质得，即可求证；②乙同学的思路， 作交的延长线于，由判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，由相似三角形的性质得，即可求证； （2）过作交的延长线于，过作交于，可判定，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由平行线可判定，由相似三角形的性质得，即可求解； （3）①在线段上，如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，由平行线可判定，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解；②当在射线上，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，可求，同理可求，由相似三角形的性质得，即可求解； 【详解】（1）①甲同学的思路： 证明：如图，过点D作，于点K，   ， M 是的中点， ， ， 是 的中线， ， ， 在和中 ， （）， ， ； ②乙同学的思路： 如图，作交的延长线于，   ， M 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， 是 的中线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过作交的延长线于，过作交于，   ， ， ， N， K是的三等分点， ， ， ， ， 是 的中线， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； （3）①在线段上， 如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ； ②当在射线上， 如图，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，   ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质，能根据题意作出辅助线，构建相似的典型模型“”型和“” 型是解题的关键． 56．（2024·辽宁抚顺·二模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，是等腰直角三角形，，，点在上，连接．求证：． ①如图2，小明同学从结论出发给出如下的解题思路：过点作，垂足为，在中，，依据，，进行等量变换得出结论． ②如图3，小亮同学从条件出发给出如下的解题思路：过点作，且，连接，，依据，得到，，在中，，由得出结论． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）小红同学在深刻感悟前面两名同学的解题思路的基础上发现，当点在如图4的位置时（1）中的结论还成立，请你写出证明过程； 【学以致用】 （3）赵老师在此基础上提出问题：若（1）中的点在直线上，当时，画出草图并求出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析，或． 【分析】（1）过点作，且，连接，，根据题意可证明，进而得到，，由，，得到，进而得到，再根据勾股定理即可求解； （2）过点作，且，连接，，可证明，进而得到，，由，，得到，进而得到，再根据勾股定理即可求解； （3）分两种情况讨论：当点在上时，当点在延长线上时，． 【详解】证明：（1）方法1：过点作，垂足为， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ，， ， ， ， ， ； 方法2：过点作，且，连接，， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）证明： 过点作，且，连接，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ； （3）如图，当点在上时， ，， ， 在中，， ， ， ； 如图，当点在延长线上时， ，， ， 在中，， ， ， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是灵活运用这些性质，并正确作出辅助线． 57．（2024·辽宁鞍山·二模）数学课上，王老师提出问题：如图，已知中，是边上中线，．探究边和的数量关系；同学们以小组为单位，在经历独立思考、小组讨论、汇报展示后，归纳得到以下种不同的方法． 方法（倍延中线）：如图，延长至点，使，连接．利用全等和等腰三角形的判定证出； 方法（利用角平分线性质）：如图，过点分别作于点，于点，利用角平分线性质和全等证出； 方法（平移）：如图，将沿射线方向平移得到，连接，设与交于点，利用全等或相似证出． (1)特例感知：请完成方法（图）的探究过程； (2)思维迁移： 如图，已知中，是边上的两点，且，连接，．猜想边和的数量关系并说明理由； (3)拓展应用： 如图，已知点是 内一点，连接，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）证明，得到，进而可证明，得到，，由得到，推导出，，即得到，，即可证明； （）．将沿直线方向平移到，连接，设交于点，同（）方法证明和，即可求证； （）将沿方向平移到，连接，设与交于点，可得四边形为平行四边形，得到，，证明，得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵平移， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，将沿直线方向平移到，连接，设交于点， 平移， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， 即， ； （3）解：如图，将沿方向平移到，连接，设与交于点， 平移， ，，，，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 58．（2024·辽宁抚顺·二模）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．之后，将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点），当时，延长交于点．老师提出如下问题：试判断图2中的四边形的形状，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题． “小思小组”提出如下问题： 如图3，当时，过点作，交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明． 请你解答“小思小组”提出的这个问题． 图3 【答案】（1）四边形为正方形（2） 【分析】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，灵活运用这些知识是解题的关键． （1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论． 【详解】解：（1）结论：四边形为正方形．理由如下： ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． ， ， 矩形为正方形； （2）结论：，理由： ， ， ， ， ，即， ， ， ， 由（1）得， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$