精品解析：湖南省长沙市周南中学2024 届高三下学期第二次模拟考试数学试题

长沙市周南中学 2024 届高三第二次模拟考试 数学试卷 时量: 120 分钟 满分: 150 分 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 关于 的方程 在复数范围内的两个根 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 中， 是单位向量， 与 的夹角为 ，则 （ ） A. 2 B. C. D. -1 4. 在空间中，已知 为不同的直线， 为不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 5. 已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 180 B. 210 C. 240 D. 250 7. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知分别为双曲线 的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点 异于)，则直线的斜率之比（ ） A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 下列结论正确是（ ） A. 若随机变量 ，且 ，则 B. 若随机变量 满足，则 C. 若样本数据 线性相关，则用最小二乘法估计得到的经验回归直线 经过该组数据的中心点 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到 . 依据的独立性检验，可判断与有关 10. 过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 抛物线 的准线方程为 C. 过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上 D. 若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则 11. 已知函数 的定义域和值域均为 ，对于任意非零实数 ，函数 满足: ，且 在 上单调递减， ，则下列结 论正确的是（ ） A B. C. 奇函数 D. 在定义域内单调递减 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k=___________ 13. 已知 ，则 ___________ 14. 若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有__________个. 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若外接圆的直径为，求的取值范围． 16. 某高新技术企业新研发出了一种产品， 该产品由三个电子元件构成， 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 ，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有 一个电子元件是次品， 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查， 确保无任 何一件次品流入市场. （1）若质检员检测出一件次品， 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率; （2）现有两种方案， 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件， 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品， 一旦发现次品， 则取出重新更换次品的 电子元件， 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元，该企业每月生产该产品 件 ，请从企业获益的角度选择最优方案. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形， ，点 ， 分别为和的中点. （1）求证: 平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在轴上，的离心率为，且过点 ， 等轴双曲线以的焦点、为顶点，动点在的右支上且异于顶点. （1）求与的方程; （2）设直线、的斜率分别为、，直线与相交于点、，直线与相交于点、. 是否存在常数使得，若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市周南中学 2024 届高三第二次模拟考试 数学试卷 时量: 120 分钟 满分: 150 分 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解对数不等式化简集合A，求出指数函数值域化简集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由，得，则， 当时，，则，所以. 故选：A 2. 关于 的方程 在复数范围内的两个根 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求根公式求出，在根据复数的四则运算以及复数模的公式即可逐个判断。 【详解】由题设方程，不妨取，， 根据韦达定理知，，故A，B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 3. 已知向量 中， 是单位向量， 与 的夹角为 ，则 （ ） A. 2 B. C. D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义及运算律求解. 【详解】， 所以 . 故选：B 4. 在空间中，已知 为不同的直线， 为不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】C 【解析】 分析】借助长方体模型，根据位置关系分类，易得出A B D错误. 【详解】A. 若 ，则 或 ，故 错误; B. 由长方体可知两个平面可相交，故错; C. 若 则直线对应向量分别是平面的法向量，由知向量夹角为，所以 ，即C 正确; D. 若 ，由墙角可知 不一定平行，故 D 错误. 5. 已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件求出切点的横坐标，从而得到，利用基本不等式即可求解. 【详解】由于直线 与曲线 相切， 设切点为，且，所以， 则切点的横坐标 ，则，即 . 又，所以，即， 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为1. 故选：D 6. 的展开式中的系数为（ ） A 180 B. 210 C. 240 D. 250 【答案】B 【解析】 【分析】首先把公式展开，利用二项式定理得到的系数为，再利用组合数公式，即可把公式转成即可得到答案. 【详解】 所以系数为 故选：B 7. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式化简，等价变形可得，由充要条件概念可得解. 【详解】“ ”，即 ， 则 ， 则“ ” 是“ ” 的充要条件. 故选：B 8. 已知分别为双曲线 的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点 异于)，则直线的斜率之比（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求的斜率之比用坐标表示，再设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，结合根与系数之间的关系进行坐标运算即可求解. 【详解】如图所示，设 ，由题意得， 所以 ，所以 ， 当直线斜率存在时，设直线方程为 ， 所以联立双曲线方程得: ， 消元得 ， 所以 ①， 因为 ， 所以 将①代入得 ， 因为过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点， 所以 比值为负数，所以， 当直线 斜率不存在时，容易验证 故选：C. 二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量 ，且 ，则 B. 若随机变量 满足，则 C. 若样本数据 线性相关，则用最小二乘法估计得到的经验回归直线 经过该组数据的中心点 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到 . 依据的独立性检验，可判断与有关 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性判断A，根据方差性质判断B，根据回归直线方程过样本数据中心点判断C，根据判断D. 【详解】对A，根据正态分布的图象对称性可得，故 A 正确； 对B，由方差的性质可知，若随机变量 满足 ，则 ，故B不正确； 对C，根据回归直线方程过样本中心点可知C正确； 对D ，由 可判断 与有关，故 D 正确. 故选：ACD 10. 过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 抛物线 的准线方程为 C. 过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上 D. 若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，B，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及焦半径公式解方程即可；对于C，利用导数的几何意义求出，直线垂直即可判断；对于D，利用韦达定理以及焦半径公式求出，即，由直线与直线垂直得即可. 【详解】对于A，由已知设过点的直线方程为， 联立方程 ， 消去 得 ，可得， 又因为 ， 所以，则 ， 解得（定值）， A 正确; 所以抛物线方程为， 准线方程为 ，B错误; 对于 C，抛物线 ， 即 ， 则 ， 所以， 故直线垂直， 所以点在以为直径的圆上， C正确; 对于 D，因为， 解得， 因为直线垂直于直线，直线的方程为 所以， 则 ，D 正确. 故选：ACD. 11. 已知函数 的定义域和值域均为 ，对于任意非零实数 ，函数 满足: ，且 在 上单调递减， ，则下列结 论正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在定义域内单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】利用对恒等式赋值来得到的值，通过赋值得到递推关系求等比数列的和，通过赋值可得到奇函数恒等式，由于定义域是有断点，所以不能确定在定义域内是否单调. 【详解】对于A ，令，则，因，故，故 A 正确; 对于B ，由 ，令，则， 则，即，故是以 为首项，2 为公比的等比数列， 于是 ，故 B 错误; 对于C，由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则 (1)， 在 中，将 都取成， 可得: (2)， 将(2)式代入(1)式，可得， 化简可得 ，即 为奇函数，故 C正确. 对于D，在上单调递减，函数为奇函数，可得在 上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如 ，故 错误. 故选：AC. 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k=___________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据等比中项结合等差数列的前n项和公式求出，再解方程，即可求得答案. 【详解】因为成等比数列，所以 ， 由于数列的通项公式为: ， 故是首项为1，公差为2的等差数列，且前项和为， 所以 ，所以 (舍去负值)， 所以 (舍去负值)， 故答案为：6 13. 已知 ，则 ___________ 【答案】## 【解析】 【分析】由，结合两角和的余弦公式化简条件可求得，再利用二倍角的余弦公式求即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 所以. 故答案为： 14. 若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有__________个. 【答案】2 【解析】 【分析】问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论. 【详解】设是关于原点对称函数图象上的点， 则点P关于原点的对称点为在上， ，设，“姊妹点对”的个数即为与在交点的个数， 于是，即，令， 由，得，即，于是只考虑即可， 求导得，显然函数在区间上单调递增， 而，，则存在使得， 当单调递减，单调递增， 而，，， 因此函数在区间，分别各有一个零点， 所以函数的“姊妹点对”有2个. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键. 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若外接圆的直径为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案； （2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由可得：，所以， 所以， ， ，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 故， 又，所以， 所以 ，又，所以， 所以，所以的取值范围为. 16. 某高新技术企业新研发出了一种产品， 该产品由三个电子元件构成， 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 ，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有 一个电子元件是次品， 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查， 确保无任 何一件次品流入市场. （1）若质检员检测出一件次品， 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率; （2）现有两种方案， 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件， 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品， 一旦发现次品， 则取出重新更换次品的 电子元件， 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元，该企业每月生产该产品 件 ，请从企业获益的角度选择最优方案. 【答案】（1） （2）当 且 时，选方案一; 当 且 时，选方案二 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式直接求解即可. （2）根据已知条件求出一件产品所含电子元件为次品的个数的数学期望，从而求出方案二每月所需费用的期望，与方案一进行比较，进而选择最优的方案. 小问1详解】 记“质检员检测出一件次品”为事件 ， “该产品仅有一个电子元件是次品”为 . ， ， 所以 . 【小问2详解】 设一件产品中所含电子元件为次品的个数为 ， 则 可取，，，， 所以， ， ， ， 则 的分布列为 0 1 2 3 所以 . 若选方案一， 则企业每月支出质检员工资共元. 若选方案二， 则企业每月支出质检员工资和更换电子元件费用共计 . 若 ，则 . 所以当且 时，选方案一; 当 且 时，选方案二. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形， ，点 ， 分别为和的中点. （1）求证: 平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 过作于点，连接，由，得≌， 则，即，而， 因此，又平面，则平面，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 则，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面 的一个法向量 ， 则由 ，取， 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在轴上，的离心率为，且过点 ， 等轴双曲线以的焦点、为顶点，动点在的右支上且异于顶点. （1）求与的方程; （2）设直线、的斜率分别为、，直线与相交于点、，直线与相交于点、. 是否存在常数使得，若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）存在，使得 【解析】 【分析】（1）根据离心率和，求出，，求出椭圆方程，进而求出的方程； （2）点的坐标分别为，设出直线的方程，联立，得到两根之和，两根之积，求出，，计算出，得到结论. 【小问1详解】 设 、 的方程分别为 与 由，则， 将代入椭圆方程，得，解得 . 所以的坐标分别为 ，故的方程为； 等轴双曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线的斜率分别为， 点的坐标分别为， 则， 设的方程为 ， 代入可得: ， 故 ， 所以 ， 同理可得， 故，即， 所以存在，使得. 【点睛】方法点睛：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）① 证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题，设过点作的切线分别交于，结合，即可得证； （2）①求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合由（1）的结论，即可得证； ②根据题意，转化为时，在恒成立， 设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解. 【小问1详解】 解：在曲线取一点． 过点作的切线分别交于， 因为， 可得，即． 【小问2详解】 解：①由函数，可得， 不妨设，曲线在处的切线方程为 ，即 同理曲线在处的切线方程为， 假设与重合，则， 代入化简可得， 两式消去，可得，整理得， 由（1）的结论知，与上式矛盾 即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合． ②当时，不等式恒成立， 所以在恒成立，所以， 下证：当时，恒成立． 因为，所以 设 （i）当时，由知恒成立， 即在为增函数，所以成立； （ii）当时，设，可得， 由知恒成立，即在为增函数． 所以，即在为减函数，所以成立， 综上所述，实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$