湖南株洲市南方中学2026届高三5月第二次全真模拟考试数学试题

2026届二模数学参考答案及评分标准 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A D B D C 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ACD 三、填空题 12．676 13． 14． 4、 解答题 15题.答案：(1) (2) （1）解：因为， 由正弦定理得， 所以， ------2分 又因为，可得， 所以， 所以， ------4分 因为，所以，可得，所以， 又因为，故. -------6分 （2）解：因为为边上，满足， 所以，所以，所以，----8分 所以， 即有， 即， 所以，所以，即，----11分 当且仅当时，即时，取等号， 所以， 即的面积最大值为 ---------13分 16题.【详解】（1）由题意可知：，， 因为，解得， --------2分 则，， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，且， 当趋近于或时，趋近于， 可知在定义域内有2个零点和1， 当时，，当时，， 可知在，内单调递增，在内单调递减，--------------5分 所以在处取极小值，极小值为． -----------------------7分 （2）解法1：由于不等式对任意恒成立， 则，解得，----------------------------------------9分 下证：当时，， 若，则， ------------12分 令，由（1）可知，在上单调递增， 则，则， 所以的取值范围为； -----------------------------------15分 解法2：令，则，------9分 设，，则， 设，，则, 可知在上单调递增，则， 即，可知在上单调递增，则， -----14 可得，所以的取值范围为； --------------------15分 解法3：因为，，则， 设，，则， 可知在上单调递增，即在上单调递增， 则，且当趋近于时，趋近于， 当，即时，则在内存在零点， 若，则，可知在内单调递减， 可得，不合题意； 当，即时，则，可知在上单调递增， 则，符合题意； 综上所述：的取值范围为； 解法4：因为，则， 设， 则， 当，即时，则，可知在单调递减， 则，解得； 当，即时， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，下证：， 设,，则， 可知在上单调递增，则， 即，可得，可知不等式恒成立； 综上所述：的取值范围为. 17题.（1）由题意X的可能取值为4，5，6，7，8。其中 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 8 P 。------------5分 （2） 因为n个人得到书签的总数为n+1个，所以其中只有一人得到2个书签。即， 两式相减得所以 - -----------------------------10分 （3） 这20人得到一个书签的人数为x,则得到2个书签的人数20-x，所以得到书签的总个数m=x+2(20-x)=40-x.此时得到书签个数为m的概率为，----------------12分 根据题意可以建立不等式组，解之得，故王老师应该提前准备25个书签比较合理。 --------------------------------------------15分 18.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为的周长为，即， 又因为离心率为，则，可得 所以折叠前椭圆的标准方程. ----------------------------------------3分 （2）由（1）可知：， 直线经过且斜率为，则直线方程为，且直线与椭圆必相交， 与椭圆方程联立，消去得， 设交点，则， 由弦长公式可得：.--------8分 （3）当时，直线的方程为：， 联立方程，解得或， 即， ---------------------------------------------10分 以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， -----------------------------------------------------------------11分 则， 故， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 可得 ------------------------------------14分 平面的一个法向量为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 --------------------------------------17分 19.【详解】（1）由抛物线定义知，，解得；-----------------------------2分 （2）由（1）可得抛物线，，-------------------------------------3分 ①若四边形FBAD是平行四边形，则，所以直线DF的方程为， 由，得，因为点B，D均在第一象限，所以，--------------------5分 所以，则， -----------------------------------------6分 点A到直线DF的距离为6，平行四边形FBAD的面积为，---------------------------8分 故存在点B，D，使得四边形FBAD是平行四边形，且其面积为24；    ②设，， 若，则，因为在矩形FBED中，，则， 又，则， 而不在上，不符合题意； --------------------------------------10分 若，则直线的斜率， 因为在矩形FBED中，，所以，则， 所以直线FB的方程为， 由点的纵坐标，得，-------------12分 因为在矩形FBED中， 则， ----------------------------------------------------15分 将其坐标代入，得， 解得或（舍）， 因为，所以，即，--------------------17分 2026年5月检测卷·数学参考答案及评分标准 第4页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $株洲市南方中学2026届高三5月第二次全真模拟考试 高三数学 命题人：谭海云 审题人：向海兰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合A={0,1,2,3},B={xx2-4x+3≤0，则A∩B中元素的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知复数z满足zi=2十i,则z的虚部为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 3.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，若AB=mAE+AD,则() 1 A.-n=- 0 B.m-n= D.m+n=- 2 c.m+=2 4已知数列a}满足：=1是，a=2,则4=() A.-1 B. C.2 D.0 5.若圆锥曲线C:x2+2+m=0的焦距为4，则其离心率为() A.2 c. D.23 3 6.若函数y=fx)的图象与y=log3x十a的图象关于直线y=x对称，且f(2)=18,则a=() A.-9 B.-10g32 C.log32 D.9 7.己知锐角a,B满足sin(a+)=3sin(a-B),则sin(a-B)的最大值是() A.3v0 10 B. c.v10 10 D.} 8.一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面 接触的面上的数字。事件A=2,4,6,8},事件B=5,6,7,8}，若事件C满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),P(BC)≠P(B)P(C),则满足条件的事件C的个数为() A.4 B.8 C.16 D.24 2026届高三5月第二次全真模拟卷·数学第1页（共4页） 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下判断，其中正确的有() A.AD1平面ABB1A1 D B.A1B1/平面ACD1 C.AD1与B1C是异面直线 D.B1D⊥平面ACD1 10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列 的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10，…称为三角形 数，第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16，称为正方形数，记三角形数构成数列{a}, 正方形数构成数列{b},则下列说法正确的是() A.a+1=a.+h(n∈N) B.1225既是三角形数，又是正方形数 C.若cn=(-1)”bn,则数列{cn}的前100项和为-5050 11+++2<2 D.+66& 1,老鱼线T由半圆广=1(：s0和半防题号+少=1>0)组成，若直线)=1与T交于 A,B两点(A在B的左侧)，C(1,0),D(-1,0),则() A.BC+BD=2V2 B.AC+AD的最大值为3√互 C.存在t∈R,使得四边形ABCD是平行四边形 D.A4BC面积的最大值为2+1 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2025 2 12. - 的展开式中的常数项是第 项。 2026届高三5月第二次全真模拟卷·数学第2页（共4页) 13.类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射 线PA,PB,PC构成的图形称为三面角P-ABC,记∠APC=,∠BPC=B,∠APB=y, 二面角A-PC-B的大小为0，则cosy=cosa cos B+sinasinB cos8, 已知平行六面体ABCD-A8CA的底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，c0s∠A4D= 4 ∠AAC=60°，则二面角A-CC-B的余弦值为 14.若函数f(x)=x2-ax+1-ax恰好有两个零点，则a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 b-B -csin A+acosC (1)求角A的大小： (2)若D为边BC上一点，满足BD=2CD,且AD=2,求△ABC的面积最大值 16.(本小题满分15分)己知函数f(x)=ex-x2+(2-a)x. (1)若f(x)在x=1时取极值，求a的值和f(x)的极小值： (2)若不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立，求a的取值范围. 17.(本小题满分15分)目前高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式， 每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识 点理解和全面把握的要求。在某次数学测评中，第1题得分的学生有10人，其中3的学 4 生得部分分，}的学生得满分，若给每名得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送 2个书签。假设每名学生在第11题得分情况相互独立。 (1)从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为X个，求X 的分布列和数学期望： (2)从第11题得分的100名学生中随机抽取n人(0<n≤100，n∈W),记这n人得到书 签的总数为+1)个的概率为Pn,求P+P,+P++Pn的值： (3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据， 请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？ 2026届高三5月第二次全真模拟卷·数学第3页（共4页) 18,(本小题满分17分)平面直角坐标系O中，已知椭圆C千+片=a>6>0)的左、右 焦点分别为耳，耳，离心率为号，经过R且倾斜角为日的直线1与C交于A,B两点（其中点A 在x轴上方)，且△ABE的周长为8，现将平面xOy沿x轴向上折叠，折叠后A,B两点在新 图形中对应的点分别记为A,B,且二面角 A-耳乃-B为直二面角，如图所示 (1)求折叠前C的标准方程； (a)若m8-号，求4： 折叠前 折叠后 B)当日=T时，折叠后，求平面B,RB与平面4B￡的夹角的余弦值， 3 19.(本小题满分17分)己知抛物线C:y=22x(p>0)的焦点为F,直线1：x=8与C在第一 象限交于点A,|AFF10 (1)求p的值 (2)设点B,D,E均在第一象限，且点B直线I上，点D,E在C上， ①是否存在点B,D,使得四边形FBAD是以FB,FD为邻边的平行四边形？若存在，求出 平行四边形FBAD的面积；若不存在，请说明理由 ②是否存在点B,D,E,使得四边形FBED是以FB,FD为邻边的矩形？若存在，求点D的 坐标；若不存在，请说明理由 2026届高三5月第二次全真模拟卷·数学第4页（共4页)