专题09 相似三角形（6大题型）【好题汇编】-2024年中考数学二模试题分类汇编（湖北专用）

专题09 相似三角形 相似三角形的动点问题 1．（2024年湖北省武汉市硚口区中考二模）如图，在正方形中，E，F分别在边（不含端点）上运动，满足，正方形的边所在直线交于I，交于J，记四边形的面积为，的面积为，为α，用含α的三角函数的式子表示的值是 ． 相似三角形与图形翻折问题 1．（2024年湖北省襄阳市枣阳市中考二模）如图，在中，，平分交于点D，作交于点E，将沿折叠得到，交于点M．若，，则 ．    2．（2024年湖北省荆州市中考二模）如图，将边长为6的等边纸片沿折叠，使B点落在上的F点，若，则折痕的长为 ． 3．（2024年湖北省大冶市二模）如图，在矩形中，，点E是边的中点，将沿翻折得，点F落在四边形内，点P是线段上的动点，过点P作，垂足为Q，连接，则的最小值为 ． 相似三角形与圆的综合问题 1．（2024年湖北省新中考二模（省统考））如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连接，，，连接交于点，交于点，若图中阴影部分分别用和表示，则下列结论：①；②若为中点，则；③作交于点，则；④若，则；其中正确的个数为（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2024年湖北省武汉市华中师范大学附属中学中考二模）如图，已知为的直径，过上点C的切线交的延长线于点E，于点D．且交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）如图，与外离，是的角平分线，经过点切于点交于点． (1)求证∶是的切线； (2)过点作的切线(为切点，交于点，判断GF与位置关系并证明你的结论 5．（2024年湖北省广水市中考二模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD垂直过点C的直线CD，垂足为D点，并且AC平分∠DAB，AD交⊙O于点E． （1）求证：直线CD是⊙O的切线； （2）连接BE交AC于点F，若sin∠CAD，求的值． 6．（2024年湖北省中考恩施名校联考中考二模）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE＝4cm，AE＝3cm，求⊙O的半径． 相似三角形与全等三角形、等腰三角形的综合问题 1． （2024年湖北省武汉市硚口区中考二模）如图，在正方形中，E，F分别在边（不含端点）上运动，满足，正方形的边所在直线交于I，交于J，记四边形的面积为，的面积为，为α，用含α的三角函数的式 子表示的值是 ． 2．（2024年湖北省广水市中考二模）如图，中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)当点在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°； ②如图2，当时，求的值； (2)如图3，当时，点在的延长线上，过点作交于点，若，求的值． 3．（2024年湖北省武汉市中考二模）在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到． (1)【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为 ； (2)【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长． 相似三角形与四边形的综合 1．（2024年湖北省襄阳市枣阳市中考二模）如图1，四边形中，，E为边上一点，连接交于点F，于点G，，，． (1)求证：； (2)已知，， ①求的长； ②如图2，连接并延长交于点M，求的值． 相似三角形与函数综合 1．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）    A． B．8 C．10 D． 2．（2024年湖北省宜昌市宜都市中考二模）【问题背景】（1）如图1，中，若，和相交于点，求证：． 【尝试运用】（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，分别与，交于点，求证：． 【拓展提升】（3）如图3，已知锐角中，，，是高，点是上的一动点，点是点关于的对称点，过点作的平行线与边交于点、与边交于点，连接并延长交边于，连接并延长交边于．求的最大值． 3．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图1，已知抛物线经过点，且交轴于，两点，交轴于点，已知点，是抛物线在第一象限内的一个动点，于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的值； (3)是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 相似三角形 相似三角形的动点问题 1．（2024年湖北省武汉市硚口区中考二模）如图，在正方形中，E，F分别在边（不含端点）上运动，满足，正方形的边所在直线交于I，交于J，记四边形的面积为，的面积为，为α，用含α的三角函数的式子表示的值是 ． 【答案】 【分析】延长交于点，证明，得出，，再结合，证明，得出，，根据相似性质得出 ，从而得出，化简即可解答． 【详解】延长交于点， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴， ∵， ， 即， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，正方形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 相似三角形与图形翻折问题 1．（2024年湖北省襄阳市枣阳市中考二模）如图，在中，，平分交于点D，作交于点E，将沿折叠得到，交于点M．若，，则 ．    【答案】/ 【分析】过点M作于N，先证明，得出，再证明，得到，然后设，，则，，则，由勾股定理得，则，解得：，(舍去)，则，在中，由勾股定理求得，根据三角函数定义可得，最后由，得，即可求解． 【详解】解：过点M作于N，如图，    ∵平分交于点D， ， ∵ ∴， ， ， 将沿折叠得到， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， 设，，则，， ， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得：，(舍去)， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，正切三角函数的定义．熟练掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，正切三角函数的定义是解题的关键． 2．（2024年湖北省荆州市中考二模）如图，将边长为6的等边纸片沿折叠，使B点落在上的F点，若，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】首先作辅助线，过点D作，交于点M，利用等边三角形的性质和折叠的性质求出，从而得到，设，，根据求出和的值，在和中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】过点D作，交于点M， 是等边三角形， ，， 将等边纸片沿折叠，使B点落在上的F点， ，，， ，， ， 又， ， ， 设，，则，， 则， ， 解得：，， 在中，，， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 3．（2024年湖北省大冶市二模）如图，在矩形中，，点E是边的中点，将沿翻折得，点F落在四边形内，点P是线段上的动点，过点P作，垂足为Q，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点B作于点，交于，过F作于N，交于M，连接，利用矩形的性质和折叠性质，结合相似三角形的判定证明，得到， 设，，可得，求解可得，由可知，当B，P，Q共线时，最小，即最小，此时Q与重合，P与重合，最小值为的长度，证明得到即可求解． 【详解】解：过点B作于点，交于，过F作于N，交于M，连接，如图： ∵，点E是边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵沿翻折得， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴当B，P，Q共线时，最小，即最小，此时Q与重合，P与重合，最小值为的长度， ∵，，， ∴， ∴， ∴最小值为的长度， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组、最短路径等知识，解题的关键是掌握翻折的性质，作出辅助线，构造相似三角形． 相似三角形与圆的综合问题 1．（2024年湖北省新中考二模（省统考））如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连接，，，连接交于点，交于点，若图中阴影部分分别用和表示，则下列结论：①；②若为中点，则；③作交于点，则；④若，则；其中正确的个数为（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定，相似三角形的判定与性质的概念是解题的关键．①首先利用平行线的性质得到，然后利用等腰三角形的性质得到，，接着利用三角形的内角和定理即可解决问题；②利用中位线的性质即可求解；③利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质和已知条件证明即可求解；④连接，利用等积变化得到，再利用已知条件证明，由此即可求解． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ②，为中点，， ，， ， 故②正确； ③为圆直径， ， ， ， 由①知，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ④连接，   ， ， ， ， ， ， ， 故④错误； 综上所述，正确的是①②③，共三个． 故选：B． 2．（2024年湖北省武汉市华中师范大学附属中学中考二模）如图，已知为的直径，过上点C的切线交的延长线于点E，于点D．且交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质首先得出，再利用平行线的判定得出，进而利用圆周角、圆心角定理得出； （2）首先求出，进而得出r的长，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质定理和圆周角及弧的关系、相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出． 3．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ODB=∠OBD，由角平分线的性质得出∠OBD=∠CBD，则∠ODB=∠CBD，证出∠ADO=∠ACB=90°，则可得出结论； （2）由勾股定理求出AB=5，证明△AOD∽△ABC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ∴OD∥BC， ， ， 是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ABC中，． ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC， ∴， 即， 解得，， ∴AE＝AB－BE＝. 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，掌握切线的判定法，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）如图，与外离，是的角平分线，经过点切于点交于点． (1)求证∶是的切线； (2)过点作的切线(为切点，交于点，判断GF与位置关系并证明你的结论 【答案】(1)见详解 (2)，见详解 【分析】（1）连接，作，垂足为，利用角平分线性质只要证明即可． （2）利用相似三角形性质只要证明即可． 【详解】（1）证明：连接，作，垂足为． 是切线， ， 平分， ， 是的切线． （2）结论：，理由如下， 连接，，， ，是切线， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 5．（2024年湖北省广水市中考二模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD垂直过点C的直线CD，垂足为D点，并且AC平分∠DAB，AD交⊙O于点E． （1）求证：直线CD是⊙O的切线； （2）连接BE交AC于点F，若sin∠CAD，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）=． 【分析】（1）连接OC，证∠OCA=∠DAC，AD∥OC，由AD⊥CD，可证CD⊥OC，可得结论； （2）连接CE，由CD是⊙O的切线可知∠OCA=∠CAD，证△ACD∽△CED，根据相似三角形性质得CD2=DE•AD，设CD=3x，AC=5x，则则AD=4x，推出DE=x，AE=x，证BE∥CD，可得==x：4x，求x可得． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA ∵AC平分∠DAB， ∴∠OAC=∠DAC， ∴∠OCA=∠DAC， ∴AD∥OC 又∵AD⊥CD， ∴CD⊥OC， ∴直线CD是⊙O的切线 （2）连接CE，由CD是⊙O的切线可知∠OCA=∠CAD． ∵∠D=∠D， ∴△ACD∽△CED， ∴CD：DE=AD：CD， ∴CD2=DE•AD ∵sin∠CAD= ∴设CD=3x，AC=5x，则AD=4x， ∴DE=x，∴AE=AD-DE=x ∵AB为直径∴∠AEB=∠ADC=900， ∴BE∥CD， ∴==x：4x ∴= 【点睛】考核知识点：相似三角形判定和性质，切线判定，三角函数．运用相似三角形性质得出等式，借助三角函数关系设好未知数是关键． 6．（2024年湖北省中考恩施名校联考中考二模）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE＝4cm，AE＝3cm，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)cm． 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠1＝∠2，证出∠1＝∠3，得出MN∥OD，证出DE⊥OD，即可得出DE是⊙O的切线； （2）连接CD，由圆周角定理得出∠ADC＝90°，由勾股定理求出AD，证明△ADC∽△AED，得出对应边成比例，求出直径AC，即可得出⊙O的半径． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠2， ∵AD平分∠CAM， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴MN∥OD， ∵DE⊥MN， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：连接CD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴AD＝＝＝5， ∵DE⊥MN， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADC＝∠AED， 又∵∠2＝∠3， ∴△ADC∽△AED， ∴， 即， ∴AC＝， ∴OA＝AC＝， 即⊙O的半径为cm． 【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 相似三角形与全等三角形、等腰三角形的综合问题 1．（2024年湖北省武汉市硚口区中考二模）如图，在正方形中，E，F分别在边（不含端点）上运动，满足，正方形的边所在直线交于I，交于J，记四边形的面积为，的面积为，为α，用含α的三角函数的式子表示的值是 ． 【答案】 【分析】延长交于点，证明，得出，，再结合，证明，得出，，根据相似性质得出 ，从而得出，化简即可解答． 【详解】延长交于点， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴， ∵， ， 即， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，正方形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2024年湖北省广水市中考二模）如图，中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)当点在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°； ②如图2，当时，求的值； (2)如图3，当时，点在的延长线上，过点作交于点，若，求的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据题意可证明和是等边三角形，根据等边三角形的性质可证明，得到，，即可求解； ②通过证明，可得； （2）由得到，设，推出，由（1）②可知，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①，， 是等边三角形， ，， 由旋转得：，， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； ②， ， ，， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； （2）如图3所示，， ， 设， ， 在中，， 由（1）②可知， ， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质． 3．（2024年湖北省武汉市中考二模）在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到． (1)【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为 ； (2)【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)不发生变化，理由见解析 (3)或 【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，推出，即可得出答案； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【详解】（1）当时，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）不发生变化，理由如下： 当时，， 则， ，， 由勾股定理可得：， ， ， ，， ， 由旋转得：， 即， ， ， ， ； （3），， ，， 由勾股定理可得：，， 绕点顺时针旋转至，，三点共线， ，， ， ， 当旋转至直线上方时，如图， 则； 当旋转至直线下方时，如图， 则； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 相似三角形与四边形的综合 1．（2024年湖北省襄阳市枣阳市中考二模）如图1，四边形中，，E为边上一点，连接交于点F，于点G，，，． (1)求证：； (2)已知，， ①求的长； ②如图2，连接并延长交于点M，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①1；② 【分析】（1）先证，再依据“”判定和全等即可得出结论； （2）①连接，由得，依据“”判定和全等得，证得，再由勾股定理求出，则，由此可得的长；②过点作交于点，先证得，设，则，再证求出，进而得，再证，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． ，， ， ． （2）①连接，由（1）得，    ∴， 又，， ． ，， ， ． ，． ， ， ． ②过点M作交于点O，   ． 由（1）得，，， ∴， ． ， ， ， 设，则． ， ． ，即． 解得，即． 又，， ， ． 又， ． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 相似三角形与函数综合 1．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）    A． B．8 C．10 D． 【答案】D 【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值． 【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，    ∵点D（-2，3），AD=5， ∴DH=3， ∴， ∴A（2，0），即AO=2， ∵D（-2，3），A（2，0）， ∴AD所在直线方程为：， ∴E（0，1.5），即EO=1.5， ∴, ∴ED=AD- AE=5-=， ∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED， ∴△AOE ∽△CDE， ∴, ∴, ∴在矩形ABCD中，， ∵∠EAO+∠BAF=90°， 又∠EAO+∠AEO=90°， ∴∠AEO=∠BAF， 又∵∠AOE=∠BFA， ∴△BFA∽△AOE， ∴, ∴代入数值，可得AF=2，BF=， ∴OF=AF+AO=4， ∴B（4，）， ∴将B（4，）代入反比例函数，得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解． 2．（2024年湖北省宜昌市宜都市中考二模）【问题背景】（1）如图1，中，若，和相交于点，求证：． 【尝试运用】（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，分别与，交于点，求证：． 【拓展提升】（3）如图3，已知锐角中，，，是高，点是上的一动点，点是点关于的对称点，过点作的平行线与边交于点、与边交于点，连接并延长交边于，连接并延长交边于．求的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明得出，证明，得出，即得证； （2）证明得出，同理可得：，证明，得出，从而得出，同理得出，由得：，即可得证； （3）设，则，由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，设，则，，证明得出，求出，，，即可得出，再由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， 同理可得：， 由（1）可得， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 由得：， ， ； （3）解：是高， ， ， ， ， 设，则， ， 为等腰直角三角形， ， 点是点关于的对称点， ， ， ， ， ， 设，则， 在上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值随着的增大而增大， ， 当时，有最大值，为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰直角三角形的性质、一次函数的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，证明三角形相似是解此题的关键． 3．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图1，已知抛物线经过点，且交轴于，两点，交轴于点，已知点，是抛物线在第一象限内的一个动点，于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的值； (3)是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或5 (3)存在；P（，） 【分析】（1）将D（1，5），A（－1，0）代入y＝ax2＋bx＋3，即可求解析式； （2）求出直线BC的解析式为，过点P作PR⊥x轴交BC于点R，则PR＝yP－yR＝＝，再利用△PBC的面积求m的值即可； （3）当∠PBC＝∠BCO，PB∥OC，此时，P，Q，B重合，不成立，舍去；当∠PBC＝∠CBO时，延长BP交y轴于点H，作CG⊥BP于点G，设H（y，0），由△HGC∽△HOB，可求GB＝OB＝6，则HB＝2CH，求出H（8，0），再求直线BH的解析式为y＝x＋8，联立由，即可求P（，）． 【详解】（1）解：将D（1，5），A（－1，0）代入抛物线的解析式y＝ax2＋bx＋3得， ， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）连接PB、PC，如图所示： 当x=0时，y=3，即C（0，3）， 当y=0时，解得， ∴B（6，0）， 设直线BC的解析式为，把B、C两点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 过点P作PR⊥x轴交BC于点R， 则PR＝yP－yR＝＝， 在△OBC中，OC＝3，OB＝6， 由勾股定理得，BC＝， 则S△PBC＝， 又S△PBC＝， ∴ ， 解得，m＝1或5； （3）存在，P（，）. ∵∠PQB＝∠COB＝90°， ∴要△BPQ与△BOC相似，必有∠PBC＝∠BCO，或∠PBC＝∠CBO， 但当∠PBC＝∠BCO，PB∥OC， 此时，P，Q，B重合，不成立，舍去； 当∠PBC＝∠CBO时， 延长BP交y轴于点H，作CG⊥BP于点G， 则CG＝CO＝3， 设H（y，0）， ∵∠HGC＝∠HOB＝90°， ∠GHC＝∠OHB， ∴△HGC∽△HOB， ∴， ∴， ∴CO=CG=3， ∵在和中， ， ∴， ∴GB＝OB＝6， ∴HB＝HG＋GB＝HO＋OB＝2CH， 即y＋6＝2（y－3）， 解得，x＝8， ∴H（8，0）， 设直线BH的解析式为y＝kx＋8， 则0＝6k＋8，得， ∴直线BH的解析式为y＝x＋8， 由 解得或（舍去）， ∴P（，）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$