专题07 圆（5大题型）【好题汇编】-2024年中考数学二模试题分类汇编（湖北专用）

专题07 圆 垂径定理 1．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图，中的半径为1，内接于．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（2024年湖北省武汉市硚口区中考二模）如图，在中，，连接 ，，过点 作交 延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 3．（2024年湖北省荆楚联盟中考二模）如图，在中，直径弦于点，连接，，过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 圆周角、圆心角 1．（2024年湖北省襄阳市枣阳市中考二模）如图，，是上直径两侧的两点．设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024年湖北省襄阳市樊城区中考二模）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接．若，则的度数为（    ） A．60° B．50° C．40° D．30° 3．（2024年湖北省大冶市二模）如图，是的直径，E是的中点，，的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024年湖北省宜昌市宜都市中考二模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”的大小关系为（    ）． A． B． C． D．不确定 点、直线、圆的位置关系 1．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 2．（2024年湖北省黄石市阳新县陶港中学中考二模）如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D，E，连接的延长线交于点F，则的大小是（    ）．    A． B． C． D． 3．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ． 4．（2024年湖北省中考恩施名校联考中考二模）如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024年湖北省广水市中考二模）如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2024年湖北省武汉市硚口区中考二模）如图是一台圆形扫地机器人示意图，其两侧安装可以转动的毛边刷，毛边刷伸出，扫地机器人可以在矩形场地内任意移动，为了将场地边角清扫干净，则该扫地机器人的最大直径（结果取整数）是（　　） A． B． C． D． 7．（2024年湖北省丹江口市中考二模）如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 8．（2024年湖北省孝感高新区中考二模）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠C+∠D＝90°，BF∥CD． (1)求证：BF是⊙O的切线； (2)延长AC交直线FB于点P（如图2），若点E为OB中点，CD＝6，求PC的长． 9．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，点是的中点，求的长． 10．（2024年湖北省荆州市中考二模）如图，为的直径，C为上一点，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，．求的长度． 11．（2024年湖北省襄阳市樊城区中考二模）在中，，以为直径的交于点D，点E在上，，的延长线相交于点F．    (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接并延长，交于点G，若点B是的中点，，求的半径r． 弧、扇形、面积 1．（2024年湖北省武汉市中考二模）如图，在中，，斜边是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接与交于点E，若时，弧的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2024年湖北省孝感高新区中考二模）如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 3．（2024年湖北省荆楚联盟中考二模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2024年湖北省黄石市阳新县部分学校中考二模）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图，在中，，若将绕点顺时针旋转60°，点的对应点为点，点的对应点为点，点为的中点，连接．则点的运动路径与线段、围成的阴影部分面积是 ． 6．（2024年湖北省武汉市中考二模）如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 7．（2024年湖北省黄冈市部分学校中考二模）如图，平分，点A在射线上，以点A为圆心，半径为1的与相切于点B，连接并延长交于点D，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 8．（2024年湖北省丹江口市中考二模）如图，已知是的直径，C为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求图中阴影部分的面积． 9．（2024年湖北省大冶二模）如图，内接于， ，，并交的延长线于点D，分别与和相交于点E和F． (1)求证：是的的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 10．（2024年湖北省襄阳市枣阳市中考二模）内接于，直线与相切于点D，与相交于点E，．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，当是的直径，点E是的中点，时，连接，求图中阴影部分的面积． 11．（2024年湖北省宜昌市宜都市中考二模）已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F． (1)直接判断与的位置关系； (2)求证：； (3)若，，求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆 垂径定理 1．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图，中的半径为1，内接于．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA、OB，过点O作，由三角形内角和求出，由圆周角定理可得，由得是等腰三角形，即可知，，根据三角函数已可求出AD，进而得出答案． 【详解】 如图，连接OA、OB，过点O作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理． 2．（2024年湖北省武汉市硚口区中考二模）如图，在中，，连接 ，，过点 作交 延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理； （1）根据平行的性质可得，根据得出，等量代换即可得证； （2）设交于点，根据垂径定理可得，在中，勾股定理求得，设，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ 设交于点， ∵ ∴， 在中，由勾股定理可得 设 在中，由勾股定理可得 即 解得： 即的半径为 3．（2024年湖北省荆楚联盟中考二模）如图，在中，直径弦于点，连接，，过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，再利用平行线的性质得到，接着利用等角的余角相等得到，然后根据平行线的判定方法得到结论； （2）连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，在中利用勾股定理得到，解方程得到，然后证明，最后利用相似比计算出的长． 【详解】（1）证明：为的切线， ， ， 为直径， ， ， ， ，， ， ； （2）解：连接，如图， 设的半径为，则，， ， ， 在中，， 在中，， 解得， ， ，， ， ，即， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理． 圆周角、圆心角 1．（2024年湖北省襄阳市枣阳市中考二模）如图，，是上直径两侧的两点．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC． 【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=25°， ∴∠BAC=90°-25°=65°， ∴∠BDC=∠BAC=65°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法． 2．（2024年湖北省襄阳市樊城区中考二模）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接．若，则的度数为（    ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：连接， ， ， ∵E是劣弧的中点 ， ， 故 ∴ 故选：C． 3．（2024年湖北省大冶市二模）如图，是的直径，E是的中点，，的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三线合一定理，弧与圆心角之间的关系，先由三线合一定理得到，再证明得到，则由圆周角定理可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024年湖北省宜昌市宜都市中考二模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”的大小关系为（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理和三角形外角性质，设与圆交于点D，连接，证明即可． 【详解】解：设与圆交于点D，连接， ∴，， ∴， 故选：B． 点、直线、圆的位置关系 1．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 2．（2024年湖北省黄石市阳新县陶港中学中考二模）如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D，E，连接的延长线交于点F，则的大小是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：连接，，，交于点G，    ， ， ∵点O为的内切圆的圆心， ， ， ，， 垂直平分， ， ， 故答案为：A． 3．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ． 【答案】 【分析】利用切线长定理求得⊙O的半径，根据S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE列式计算即可求解． 【详解】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF， ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆， ∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC， ∵∠C=90°， ∴四边形CDOE为正方形， ∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°， 设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x， ∴4-x+3-x=5， 解得x=1， ∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE =×3×4-×1×1 =5-． 故答案为：5-． 【点睛】本题考查了切线长定理，扇形的面积公式，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 4．（2024年湖北省中考恩施名校联考中考二模）如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由为圆O的切线，利用切线的性质得到垂直于，由，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵为圆O的切线， ∴， ∴， ∵与都是所对的圆周角，且， ∴， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 则． 故选：A． 【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 5．（2024年湖北省广水市中考二模）如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查院内接四边形的性质和圆周角定理，先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到解题即可. 【详解】解：∵， ∴， 又∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 故选A. 6．（2024年湖北省武汉市硚口区中考二模）如图是一台圆形扫地机器人示意图，其两侧安装可以转动的毛边刷，毛边刷伸出，扫地机器人可以在矩形场地内任意移动，为了将场地边角清扫干净，则该扫地机器人的最大直径（结果取整数）是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，根据题意，画出图形，根据勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，设半径为，当圆与矩形的边相切时，则点在直角的角平分线上，即 依题意，， ∴ 解得： ∴该扫地机器人的最大直径（结果取整数）是 故选：C． 7．（2024年湖北省丹江口市中考二模）如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出，然后根据等腰三角形的性质解答即可. 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键. 8．（2024年湖北省孝感高新区中考二模）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠C+∠D＝90°，BF∥CD． (1)求证：BF是⊙O的切线； (2)延长AC交直线FB于点P（如图2），若点E为OB中点，CD＝6，求PC的长． 【答案】(1)见解析 (2)PC=2 【分析】（1）根据圆周角定理以及已知条件可得∠BEC=∠A+∠C=90°，根据平行线的性质得∠ABF=∠BEC=90°，则AB⊥BF，即可得BF是⊙O的切线； （2）由垂径定理得DE=CE=3，根据线段垂直平分线的性质得OD=BD，可证明△OBD是等边三角形，可得∠BDE=30°，BD=2BE，根据勾股定理求出BE=，可得OB=2，AB=4，在Rt△ACE中，根据勾股定理得AC=6=2CE，则∠A=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵∠A=∠D，∠C+∠D=90°， ∴∠BEC=∠A+∠C=90°， ∵BFCD， ∴∠ABF=∠BEC=90°， ∴AB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； （2）解：连接OD， ∵∠BEC=90°， ∴AB⊥CD， ∵点E为OB中点，CD=6， ∴CE=DE=3，OD=BD， ∴OB=OD=BD， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠OBD=60°，∠BDE=30°， ∴BD=2BE，∠A=∠BDE=30°， 在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2， ∴（2BE）2=BE2+32，解得BE=， ∵点E为OB中点， ∴OB=2，AB=4， ∴AE=3， 在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2=32+（3）2=36， ∴AC=6=2CE， ∵AB=4， ∴BP=4，AP=8， ∴PC=8-6=2． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 9．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，点是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形为圆内接四边形，得到，结合， 得到，，即可求解， （2）作，，由为的垂直平分线，得到，根据勾股定理，，根据平行线截线段成比例，得到，依次求出，，，根据勾股定理，即可求解， 本题考查了，圆内接四边形的性质，勾股定理，平行线截线段成比例，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：∵点均在上， ∴四边形为圆内接四边形． ． 又， ． 又， ． 又，， ． （2）解：作于， 又∵， 为的垂直平分线， 过点作于点，连接， 为的垂直平分线， 点在上， ， ， ， ，， ．又， ， ，， ， ， 故答案为：． 10．（2024年湖北省荆州市中考二模）如图，为的直径，C为上一点，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，．求的长度． 【答案】(1)见解析; (2)． 【分析】（1）根据圆周角定理以及推论，知道，结合角平分线的性质，知道，从而推出，最后利用平行线的性质，得到，得证； （2）由得到，易证，得到，从而得到，通过同弧所对的圆周角相等可以知道的度数，再结合平行，推出的度数，以及，然后利用三角形内角和算出和的度数，最后结合弧长的计算公式算出答案． 【详解】（1）为直径， ， 平分， ， 又， ， 又为半径 为的切线 （2） 在和中 ， ， 又 的长度为 【点睛】本题考查了切线的证明，弧长的计算，全等三角形的证明，圆周角定理以及推论，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11．（2024年湖北省襄阳市樊城区中考二模）在中，，以为直径的交于点D，点E在上，，的延长线相交于点F．    (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接并延长，交于点G，若点B是的中点，，求的半径r． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了切线的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练作出正确的辅助线是解题的关键． （1）连接，，则，再通过直径所对的圆周角为直角，得到，然后利用等腰三角形的性质，进行角度的转换，得到，即可解答； （2）连接，，，根据题意得到，，证明四边形是平行四边形，即可推出四边形是菱形，再得到三角形是等边三角形，最后解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，，则，   ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的切线； （2）解：如图，连接，，，   点B是的中点， ，， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 三角形是等边三角形， ， ， ， ． 弧、扇形、面积 1．（2024年湖北省武汉市中考二模）如图，在中，，斜边是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接与交于点E，若时，弧的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了圆周角定理和弧长的计算公式，解题的关键是掌握以上知识点． 已知，据此求出，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长为， 故选：B． 2．（2024年湖北省孝感高新区中考二模）如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物上升的高度为 ． 故选：B． 3．（2024年湖北省荆楚联盟中考二模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，弧长公式；连接，，，由同弧所对的圆周角相等得，由圆周角定理得，再由弧长公式即可求解；掌握性质及弧长公式，添加辅助线，求出所对的圆心角是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ， ， ， ， ， 的长为， 故选：C． 4．（2024年湖北省黄石市阳新县部分学校中考二模）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积的计算，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形的面积，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】连接， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 5．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图，在中，，若将绕点顺时针旋转60°，点的对应点为点，点的对应点为点，点为的中点，连接．则点的运动路径与线段、围成的阴影部分面积是 ． 【答案】/ 【分析】作DE⊥AB于点E，由∠BED＝90°，∠DBE＝60°得∠BDE＝30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理求出DE的长，然后分别求出△ABD的面积和扇形ABA′的面积，即可求出点A的运动路径与线段AD、A′D围成的阴影部分面积，得到问题的答案． 【详解】解：如图，作DE⊥AB于点E， 由旋转得∠ABA′＝60°，A′B＝AB＝12， ∵∠BED＝90°，∠DBE＝60°， ∴∠BDE＝30°， ∵点D为A′B的中点， ∴BD＝A′B＝×12＝6， ∴BE＝BD＝×BD＝3， ∴DE＝＝＝， ∴S△ABD＝×12×＝， ∵S扇形ABA′＝＝24π， ∴S阴影＝S扇形ABA′−S△ABD＝24π−， ∴点A的运动路径与线段AD、A′D围成的阴影部分面积是24π−， 故答案为：24π−． 【点睛】此题重点考查点的轨迹、旋转的性质、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形面积的计算等知识与方法，分别求出扇形ABA′的面积和△ABD的面积是解题的关键． 6．（2024年湖北省武汉市中考二模）如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等． （1）连接，由，得，而得到，由平行线的性质可得，从而即可得证； （2）由圆周角定理可得，由勾股定理可得，从而得到，再由进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：为的直径， ， ，， ， ， 由（1）得， ， 图中阴影部分的面积是． 7．（2024年湖北省黄冈市部分学校中考二模）如图，平分，点A在射线上，以点A为圆心，半径为1的与相切于点B，连接并延长交于点D，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，角平分线的性质，求不规则图形面积，解直角三角形等等： （1）首先过点A作于点F，易证得，即可得是的切线； （2）由，可求得的长，又由，即可求得答案． 【详解】（1）证明：过点A作于点F，如图， ∵与相切于点B， ∴， ∵平分，是半径， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴． 8．（2024年湖北省丹江口市中考二模）如图，已知是的直径，C为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理： （1）连接，通过等边对等角和角平分线的定义证明，从而证明，利用平行线的性质即可得证； （2）根据锐角三角函数可得，在中，根据勾股定理可得 ，在中，根据勾股定理可得，从而得到，然后根据平行线分线段成比例可得，从而得到，进而得到，再根据三角形的面积公式计算，即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 即， 解得：， 由（1）得：是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，解得：， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 9．（2024年湖北省大冶二模）如图，内接于， ，，并交的延长线于点D，分别与和相交于点E和F． (1)求证：是的的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）连接并延长交于点H，由可得，由可得，进一步得出，即可证明问题； （2）由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出，求出的度数；再证得、是等腰直角三角形，求出长，即可求出扇形的面积，的面积，从而得到阴影的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵是半径， ∴， ∵， ∴ ∵是的半径 ∴是的切线. （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ , . 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形、直角三角形的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是由等腰三角形，直角三角形的性质求出的度数． 10．（2024年湖北省襄阳市枣阳市中考二模）内接于，直线与相切于点D，与相交于点E，．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，当是的直径，点E是的中点，时，连接，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，切线的性质，垂径定理，解直角三角形，圆周角定理等等： （1）连接，如图1，根据切线的性质得到，则，利用垂径定理得到，然后根据圆周角定理得到结论； （2）先由垂径定理得到，再由勾股定理得到，解直角三角形求出，则，再跟进进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图所示． ∵直线与相切于点D， ∴， 又∵，   ∴， ， ∴，      又， ∴； （2）解：连接， E是的中点， ， 由（1）知，， ， 在中，由勾股定理得， ∴， ， ∴， ， ∴， ． 11．（2024年湖北省宜昌市宜都市中考二模）已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F． (1)直接判断与的位置关系； (2)求证：； (3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角的性质和垂径定理，解题关键是根据旋转得出所在的圆与是等圆，再根据圆的相关性质推理即可． （1）根据弧相等所对的弦也相等得出，进而得出点B是中点，得出； （2）根据圆周角相等，得出，，再根据垂直可证； （3）由（2）可证弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积，利用，求解即可． 【详解】（1）解： 将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，所以所在的圆与是等圆，连接 ∴， ∴点B是中点， ∵是的直径， ∴； （2）证明：连接， ∵，所在的圆与是等圆， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得，，所在的圆与是等圆， 所以弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 所以三角形的面积=， 阴影面积为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$