专题05 三角形（5大题型）【好题汇编】-2024年中考数学二模试题分类汇编（湖北专用）

专题05 三角形 三角形的基本概念 1．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）如图，将的边沿边上的高折叠到．在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024年湖北省中考恩施名校联考中考二模）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 全等三角形的性质 1．（2024年湖北省孝感高新区中考二模）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，若，则正方形与正方形的面积的比值为（    ）． A． B． C．5 D． 2．（2024年湖北省新中考二模数学试题（省统考））如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连结． ①证明：； ②证明：． 全等三角形的判定 1．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，B是的中点，，.求证：．    2．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点逆时针旋转至，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）如图，将的边沿边上的高折叠到．在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024年湖北省武汉市中考二模）在中，，点D在内部，且满足，若的面积为13，则 ． 等腰三角形 1．（2024年湖北省中考恩施名校联考中考二模）如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 2．（2024年湖北省新中考二模（省统考））如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，点，，，都在上，，，，则 度． 4．（2024年湖北省黄石市阳新县陶港中学中考二模）在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点A逆时针旋转得到， (1)求线段的长； (2)连接B、，求的面积； (3)在x轴上找一点C，使得是等腰三角形，求出满足条件的点C的坐标． 直角三角形、勾股定理与逆定理 1．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）王英同学从地出发，沿北偏西方向走100米到B地，再从地向正南方向走50米到C地，此时王英同学离A地（   ） A．100米 B．50米 C．米 D．米 2．（2024年湖北省襄阳市樊城区中考二模）由4个形状相同，大小相等的正方形组成如图所示的网格，正方形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024年湖北省荆州市中考二模）如图，点，，，在上，是的一条弦，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2024年湖北省宜昌市宜都市中考二模）已知：点P是矩形边延长线上一点，将沿着折叠得到，分别与，交于点E，F，若，，当E是中点时，折痕的长为 ． 5．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图，在半径为2的中， 弦直径，垂足为，，为上一动点，于点．则点在上运动的过程中，线段长度的最小值为 ． 6．（2024年湖北省大冶市二模）如图，在矩形中，，以为圆心，适当的长为半径画弧，交于两点；再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为 . 7．（2024年湖北省荆楚联盟中考二模）如图所示，在矩形中，点在上，将矩形沿直线折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为 ．    8．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，在矩形中，，，是的中点，连结，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上，且对应点为，当是直角三角形时，的长为 ． 9．（2024年湖北省宜昌市宜都市中考二模）已知：点P是矩形边延长线上一点，将沿着折叠得到，分别与，交于点E，F，若，，当E是中点时，折痕的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形 三角形的基本概念 1．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）如图，将的边沿边上的高折叠到．在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质和折叠的性质，由三角形外角的性质得，再由折叠的性质得的度数． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024年湖北省中考恩施名校联考中考二模）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出和的度数，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：由三角板的性质可得：，， ∴， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． 全等三角形的性质 1．（2024年湖北省孝感高新区中考二模）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，若，则正方形与正方形的面积的比值为（    ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正切，全等的性质．熟练掌握正切是解题的关键． 设，由，可得，则，正方形的面积为，，正方形的面积为，进而可求正方形与正方形的面积的比值． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为，， ∴正方形的面积为， ∴正方形与正方形的面积的比值为， 故选：D． 2．（2024年湖北省新中考二模数学试题（省统考））如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连结． ①证明：； ②证明：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质及旋转的性质得，，即可得的度数； （2）①由题意可得，由等腰三角形的性质可得，，进而可得，可证，易得，可得，可证结论； ②延长至，使得，先证，进而可证，可得，是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 由旋转可知，，， ∴ ∴， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， 又∵平分， ∴，，则 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：延长至，使得， ∵， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 全等三角形的判定 1．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，B是的中点，，.求证：．    【答案】见解析 【分析】根据已知条件证得，，然后证明，应用全等三角形的性质得到． 【详解】证明：∵B是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点逆时针旋转至，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过作轴的垂线，垂足分别为，则，证明，结合坐标性即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过作轴的垂线，垂足分别为，则    ∵点坐标为，点坐标为， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键． 3．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）如图，将的边沿边上的高折叠到．在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质和折叠的性质，由三角形外角的性质得，再由折叠的性质得的度数． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， ∴， 4．（2024年湖北省武汉市中考二模）在中，，点D在内部，且满足，若的面积为13，则 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线段，交的延长线于点，根据题意证明，即可得，根据三角形的面积公式，即可解答． 【详解】 解：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点， ，， ， 设的度数为，则的度数为， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 设， ， 可得方程：， 解得，（舍去）， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，角度的等量代换，作出辅助线是解题的关键． 等腰三角形 1．（2024年湖北省中考恩施名校联考中考二模）如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰三角形底边；②为等腰三角形一条腰． 【详解】如图： ①为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个； ②为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个． 综上所述，符合条件的点P的个数共4个． 故选：C． 2．（2024年湖北省新中考二模（省统考））如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值，求出结果即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵为的平分线， ∴，， 作点N关于的对称点，连接交于P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 即的最小值为， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 3．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，点，，，都在上，，，，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，进而根据周角的定义求出，则由等边对等角可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2024年湖北省黄石市阳新县陶港中学中考二模）在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点A逆时针旋转得到， (1)求线段的长； (2)连接B、，求的面积； (3)在x轴上找一点C，使得是等腰三角形，求出满足条件的点C的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）根据两点间距离公式进行计算即可； （2）根据三角形面积公式进行计算即可； （3）分，，三种情况进行讨论，分别画出图形，求出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴． （2）解：根据旋转可知，，， ∴． （3）解：当时，如图所示： ∵，， ∴此时点C的坐标为：或； 当时，如图所示： 过点B作轴于点D， ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为， ∴， ∵，轴， ∴， ∴此时点C的坐标为：； 当时，如图所示： 过点B作轴于点D， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴此时点C的坐标为； 综上分析可知，点C的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了两点距离公式，等腰三角形定义，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟记两点间距离公式，注意分类讨论． 直角三角形、勾股定理与逆定理 1．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）王英同学从地出发，沿北偏西方向走100米到B地，再从地向正南方向走50米到C地，此时王英同学离A地（   ） A．100米 B．50米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据勾股定理，求出的长，即可， 本题考查了，勾股定理的应用，解题的关键是：熟练掌握方向角的转化． 【详解】解：∵，（米），（米）， ∴（米）， 故选：D． 2．（2024年湖北省襄阳市樊城区中考二模）由4个形状相同，大小相等的正方形组成如图所示的网格，正方形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，证明三角形是直角三角形是解题的关键． 设正方形的边长为1，分别求出、、的长，再证明三角形是直角三角形，进而可得解． 【详解】解：设正方形的边长为1， 由题可得：，，； ， 是直角三角形， ； 故选B． 3．（2024年湖北省荆州市中考二模）如图，点，，，在上，是的一条弦，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接CD，由圆周角定理可得出∠OBD=∠OCD，根据点D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形OCD中利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：连接CD， ∵D(0，3)，C(4，0)， ∴OD=3，OC=4， ∵∠COD=90°， ∴， ∵∠OBD=∠OCD， ∴sin∠OBD=sin∠OCD=， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 4．（2024年湖北省宜昌市宜都市中考二模）已知：点P是矩形边延长线上一点，将沿着折叠得到，分别与，交于点E，F，若，，当E是中点时，折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，设，根据证明，得 ，由折叠得，求出，在中由勾股定理可求出，在中由勾股定理可求出 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ ∵点为的中点， ∴ 又 ∴ ∴， 设则有： ∴ 在中，， ∴ 解得，或（舍去） ∴ 在中，， ∴， 故答案为： 5．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）如图，在半径为2的中， 弦直径，垂足为，，为上一动点，于点．则点在上运动的过程中，线段长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形等知识点，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 如图，连接，取的中点H，连接，再求出，根据，即，据此即可解答． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值为． 故答案为：． 6．（2024年湖北省大冶市二模）如图，在矩形中，，以为圆心，适当的长为半径画弧，交于两点；再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为 . 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，矩形的性质，勾股定理等知识．过F作于G，由角平分线的性质求得，再由求得，从而在中，由勾股定理列方程求出的长即可解答. 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线， 如图，过F作于G， 由矩形性质可得：，， ∴， 由角平分线的性质可得：， 又∵， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， 故答案为5． 7．（2024年湖北省荆楚联盟中考二模）如图所示，在矩形中，点在上，将矩形沿直线折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为 ．    【答案】 【分析】首先利用勾股定理求得，设，则，，在中，由勾股定理得，，求出，再利用正切的定义求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由翻折变换可知，，， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， 即， 在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题和锐角三角函数，解决问题的关键是分清折叠前后的对应关系，用勾股定理建立方程． 8．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）如图，在矩形中，，，是的中点，连结，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上，且对应点为，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，设，则，是直角三角形可以分和，两种情况讨论，根据和相似的性质列出方程求解即可． 【详解】∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上，且对应点为， ∴， 设，则， 要使得是直角三角形时， ①当时，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠问题、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质、分类讨论是解题的关键． 9．（2024年湖北省宜昌市宜都市中考二模）已知：点P是矩形边延长线上一点，将沿着折叠得到，分别与，交于点E，F，若，，当E是中点时，折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，设，根据证明，得 ，由折叠得，求出，在中由勾股定理可求出，在中由勾股定理可求出 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ ∵点为的中点， ∴ 又 ∴ ∴， 设则有： ∴ 在中，， ∴ 解得，或（舍去） ∴ 在中，， ∴， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$