专题15 解答题压轴之几何综合（2大题型）【好题汇编】-2024年中考数学二模试题分类汇编（湖北专用）

专题15 解答题压轴之几何综合 三角形综合问题 1．（2024年湖北省丹江口市中考二模）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 2．（2024年湖北省武汉市华中师范大学附属中学中考二模）已知平面直角坐标系，点，点C为x轴负半轴上一动点，连，以为斜边作等腰． (1)若点A的横坐标是，直接写出线段的长为______； (2)连，若P为上一点，过点P作，垂足为Q，且． ①直接写出______； ②求证：； (3) 在（2）下，连，若，求点P到x轴的距离的长． 3．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）已知是等腰直角三角形，． (1)如图1，是直角边上一点，过点作于点，点为的中点，连接，，请写出此时线段与的关系（不用证明）； (2)在（1）的条件下将绕点逆时针旋转到如图2的位置时，请证明此时（1）中的结论仍然成立； (3)在（1）的条件下将绕点顺时针旋转，请画出图形；若，，直接写出此时的长． 4．（2024年湖北省大冶二模）在菱形中，，点P是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，点E的位置随着点P的位置变化而变化． (1)如图1，若，当点E在菱形内时，连接，求证： (2)若，当点P在线段的延长线上时， ①如图2，探究与的数量关系； ②如图3，连接，若，，求线段的长. 5．（2024年湖北省荆楚联盟中考二模）（1）已知：在矩形中，E是边上的一点，，． ①如图1，若，则______；（填写“”“”或“”） ②如图2，若，判断与的数量关系，并说明理由； （2）已知：在中，E是边上的一点，． ①如图3，若，，求证：； ②如图4，若，，，请直接写出的长． 6．（2024年湖北省襄阳市樊城区中考二模）已知在菱形中，，点M在上，点E在线段上，将射线绕点M顺时针旋，得到射线交直线于点F，连接． 【问题发现】（1）如图1，当点M与点A重合时，线段和之间的数量关系为__________． 【类比探究】（2）如图2，当点M在边上时，题（1）中的结论是否成立？并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当点M在延长线上时，交线段于点N，射线和交于点Q，且经过点C，若，求的值． 7．（2024年湖北省武汉市硚口区中考二模）如图，在和中，，，． (1)如图1，当时，连接，求证：； (2)如图2，当时，交于点F，连接，求证：； (3)如图3，当时，，D是的中点，将绕点A旋转得到，，当B，，三点在同一条直线上时，直接写出点C到直线的距离． 8．（2024年湖北省荆州市中考二模）【教材呈现】 人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】 （1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 四边形综合问题 1．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）如图所示，四边形为正方形． (1)如图1，点P为的内心，问∶与有何数量关系？证明你的结论； (2)如图2，若点E在边上（不与点C，B重合），点F在的延长线上，，点为的内心，则与有何数量关系？证明你的结论； (3)如图3，若点E在的延长线上（不与点B重合），点F在的延长线上，，点是中与、相邻的两个外角平分线的交点．完成图3，判断与之间的数量关系(直接写出结论，不证明)． 2．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点． 【猜想证明】 （1）当时，四边形的形状为________；（直接写出答案） （2）如图2，当时，连接，求此时的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在，使点F，E，D三点共线．若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 3．（2024年湖北省新中考二模数学试题（省统考））综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请求出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 解答题压轴之几何综合 三角形综合问题 1．（2024年湖北省丹江口市中考二模）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1) (2)成立；理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：．    （2）解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴；    （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 2．（2024年湖北省武汉市华中师范大学附属中学中考二模）已知平面直角坐标系，点，点C为x轴负半轴上一动点，连，以为斜边作等腰． (1)若点A的横坐标是，直接写出线段的长为______； (2)连，若P为上一点，过点P作，垂足为Q，且． ①直接写出______； ②求证：； (3)在（2）下，连，若，求点P到x轴的距离的长． 【答案】(1)12 (2)①；②见解析； (3)12 【分析】（1）过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，证明，得，则可得的长； （2）①过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，由（1）知，四边形是正方形，得，由此即可计算的度数； ②延长交x轴于点M，易得，从而证明，即可证明结论成立； （3）过C点作x轴垂线与延长线交于点H，过点B作x轴平行线交于D，由平行线的性质得，由（2）②中，得；首先证明，得；由，，，可得；其次证明，则得，从而可由即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F， 则，； ∴； ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵，点A的横坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12； （2）解：①如图，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：45； ②如图，延长交x轴于点M， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）解：过C点作x轴垂线与延长线交于点H，过点B作x轴平行线交于D，如图所示，则， ∴； ∵，， ∴； 由（2）②知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 即； ∵由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴，； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用这些知识，构造辅助线得到全等三角形是解题的关键与难点． 3．（2024年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考二模）已知是等腰直角三角形，． (1)如图1，是直角边上一点，过点作于点，点为的中点，连接，，请写出此时线段与的关系（不用证明）； (2)在（1）的条件下将绕点逆时针旋转到如图2的位置时，请证明此时（1）中的结论仍然成立； (3)在（1）的条件下将绕点顺时针旋转，请画出图形；若，，直接写出此时的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，，则，，，再利用三角形外角的性质可得结论； （2）延长交于G，可证明，点F为的中点，从而得出结论仍然成立； （3）延长交的延长线于H，连接，，首先证明，得，，再证明，得，，则是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而解决问题． 【详解】（1）解：且， ∵，点F为的中点， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴且； （2）解：如图，延长交于G， ∵， ∴， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； ∴此时（1）中的结论仍然成立； （3）解：延长交的延长线于H，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2024年湖北省大冶二模）在菱形中，，点P是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，点E的位置随着点P的位置变化而变化． (1)如图1，若，当点E在菱形内时，连接，求证： (2)若，当点P在线段的延长线上时， ①如图2，探究与的数量关系； ②如图3，连接，若，，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）如图，连接，根据证，即可得出； （2）①如图，连接，先证明得，由相似比即可得出结论；②连接，由平分，，得出，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）如图，连接， ∵菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 如图，连接交于点O， ∵菱形中，， ∴，，， ∴， ∴． ∵是等腰三角形，， ∴， ∴． ∴，， ∴． 即， ∴． ∴， ∴； ②连接， ∵菱形中平分，， ∴． ∵菱形中平分， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由①知． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质、菱形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 5．（2024年湖北省荆楚联盟中考二模）（1）已知：在矩形中，E是边上的一点，，． ①如图1，若，则______；（填写“”“”或“”） ②如图2，若，判断与的数量关系，并说明理由； （2）已知：在中，E是边上的一点，． ①如图3，若，，求证：； ②如图4，若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）①过E作交于G，先证明矩形是正方形，然后利用正方形的性质，平行线的性质，等腰直角三角的判断与性质等可证明，，利用余角的性质可得出，利用证明，即可得出结论； ②过E作交于G，证明，利用相似三角形的性质得出，证明，得出，把，代入化简即可； （2）①过E作交于G，类似（1）②的思路求解即可； ②过E作交于G，证明，求出，证明，得出，把，，，，代入化简即可． 【详解】解：（1）①过E作交于G， ∵矩形中，， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； ②过E作交于G， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∴； （2）①过E作交于G， 同理证得， ∵，，， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∴； ②过E作交于G， ∴，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形求解是解题的关键． 6．（2024年湖北省襄阳市樊城区中考二模）已知在菱形中，，点M在上，点E在线段上，将射线绕点M顺时针旋，得到射线交直线于点F，连接． 【问题发现】（1）如图1，当点M与点A重合时，线段和之间的数量关系为__________． 【类比探究】（2）如图2，当点M在边上时，题（1）中的结论是否成立？并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当点M在延长线上时，交线段于点N，射线和交于点Q，且经过点C，若，求的值． 【答案】【问题发现】（1）；【类比探究】（2）见解析；【拓展延伸】（3） 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）利用菱形的性质，证明，即可解答； （2）过点作的平行线交于点，同（1）原理证明，即可解答； （3）连接，过点作的平行线交的延长线于点，证明，得出四边形为菱形，即可证明，得到，最后利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，为等边三角形， 将射线绕点M逆时针旋，点M与点A重合， ，， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立，理由如下： 如图，过点作的平行线交于点， ， , 为等边三角形， 同（1）中原理可得， ； （3）解：如图，连接，过点作的平行线交的延长线于点， 根据（2）中原理可得， ，，为等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形， ，， ， ,， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设,则, 可得，整理得， 可得（舍去）， ． 7．（2024年湖北省武汉市硚口区中考二模）如图，在和中，，，． (1)如图1，当时，连接，求证：； (2)如图2，当时，交于点F，连接，求证：； (3)如图3，当时，，D是的中点，将绕点A旋转得到，，当B，，三点在同一条直线上时，直接写出点C到直线的距离． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）根据题意得出都是等边三角形，得出，再证出，即可证明； （2）过点作交于，根据题意可得出，即可得，证出，根据相似三角形性质得出，根据“8字模型”即可得出，从而得出，证明，得出，即可证明； （3）证出，得，，从而得出即可得出即可解答，同理，得出． 【详解】（1）∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ． ∴． （2）证明：过点作交于， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ． （3）①当，绕点A逆时针旋转得到时，当B，，三点在同一条直线上，，D是的中点， 由题意得， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 得，， ， ∴， 则， ， ， ， ②当，绕点A顺时针旋转得到时，当B，，三点在同一条直线上， 同理，如图根据①可得， ， ， ， ， ． 综上，点C到直线的距离为或． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（2024年湖北省荆州市中考二模）【教材呈现】 人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】 （1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】（1）利用矩形的性质证明，利用相似三角形性质建立等式并求解，即可解题； （2）作，延长交于点，利用等腰三角形性质，证明，得到，再证明，利用相似三角形性质得到，结合等量代换，即可证明； （3）连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点，利用三角形内角和证明，得到，利用等面积法求得，进而得到，设，，利用勾股定理建立等式求解，得到，再证明，利用相似的性质得到，再结合题干条件利用勾股定理得到，将代入等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， ， 于点， ， ， ， ， ，， ， 解得； （2）证明：作，延长交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点， ，， ， ，，， ，， ， ，解得， ， ， 设，， 有， 解得， ， ，， ， ， ， ， E为中点， ， ， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等面积法求高，对称的性质，以及勾股定理等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． 四边形综合问题 1．（2024年湖北省武汉市部分学校中考二模）如图所示，四边形为正方形． (1)如图1，点P为的内心，问∶与有何数量关系？证明你的结论； (2)如图2，若点E在边上（不与点C，B重合），点F在的延长线上，，点为的内心，则与有何数量关系？证明你的结论； (3)如图3，若点E在的延长线上（不与点B重合），点F在的延长线上，，点是中与、相邻的两个外角平分线的交点．完成图3，判断与之间的数量关系(直接写出结论，不证明)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接，，由正方形的性质得，，由三角形内心的定义得，即有，结合正方形的性质，由线段垂直平分线的判定定理得，即可求解； （2）连接，，，，由可判定，由全等三角形的性质得，，结合三角形内心的定义即可求解； （3）由（2）同理可证：，，三角形内心的定义，，又三角形内角和定理得，由平角的定义得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接，， 四边形为正方形， ，， 是的内心， ∴， ∴， ∵， 垂直平分， ， ， ∵， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，连接，，，， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 点为的内心， ， ， 在正方形的对角线上， ， 是正方形的对角线， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，连接， 由（2）同理可证： ，，， 点是中与、相邻的两个外角平分线的交点， ，， ， ， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内心的定义，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等；掌握判定方法及性质，能根据题意添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 2．（2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模）李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点． 【猜想证明】 （1）当时，四边形的形状为________；（直接写出答案） （2）如图2，当时，连接，求此时的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在，使点F，E，D三点共线．若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）正方形；（2）；（3）存在，或． 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可； （2）作于，可得，从而得到，再根据勾股定理可得，即可； （3）分两种情况讨论：当点在上时；当点在的延长线上时，根据三角形全等可得，然后根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：（1）如图1， 四边形是矩形， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 故答案为：正方形； （2）如图2，作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，当点在上时，连接， ， ∴ ，，， ， ， 设，则， 根据旋转的性质得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：； 如图4，当点在的延长线上时， 同理，， 设，则，， ， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 3．（2024年湖北省新中考二模数学试题（省统考））综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或 【分析】（1）证明，可得； （2）通过证明，可得； （3）求出，设，则，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ； （2）解：，， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：由（2）知：， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 由（2）知， ， ， 又是直角三角形， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 当或时，点不存在， 当在延长线上时，设，则， ，， ， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$