三角函数专题5 - 正余弦定理讲义-2025届高三数学一轮复习

三角函数专题5 - 正余弦定理 大纲解析 正余弦定理是高考的热点，可以说是必考内容，近几年直接解三角形的大题有所减少，选择题和填空题出现较多.本节内容要求学生能充分应用三角形的性质及相关的三角公式进行相关计算，要能合理地选用正弦定理、余弦定理，结合三角形的特点解斜三角形. 知识梳理 1.正弦定理 （1）正弦定理： （其中为外接圆的半径）. （2）正弦定理的作用： ①已知三角形的任意两个角与一边，求其他边和角； ②已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他边和角. （3）正弦定理的其他形式： ①, , ； ②, ； ； ③= . 2.三角形的面积公式 = . 3.余弦定理 （1）余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA， ， . （2）余弦定理的作用 ①已知三角形的三边，求这个三角形的三个角； ②已知一个三角形的两边及其夹角，求其他两个边和角； ③已知两边及一边的对角，求第三边. （3）余弦定理的变形： ， ， . 4.几个重要的结论 （1） （2） （3） 考点透析 考点1.正弦定理 正弦定理是反映三角形边角关系的一个重要定理，该定理的证明有传统法（由于是利用正弦函数的定义，故也称为定义法）、面积法、向量法等.正弦定理实现了同一三角形中边与角的转化. 例1 在中，，, ,解此三角形. 变式1-1 已知的三个内角的比是，那么对应的三边之比a：b：c=（ ） A.3:2:1 B. C. D. 变式1-2 在△ABC中，A=45°，B=60°,a=10,则b=（ ） A. B. C. D. 变式1-3 在△ABC中，若,则B的值为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 变式1-4 在△ABC中，，，,则（ ） A. B. C. D. 例2 在△ABC中，A=60°,,则等于（ ） A.2 B. C. D. 变式2-1 在△ABC中，已知A=60°,b=1,,则= . 考点2 余弦定理 余弦定理是反映三角形边角关系的另一个重要定理.余弦定理的证明主要有坐标法、向量法等.余弦定理同样实现了同一三角形中边与角的转化. 例1 在中，，，. （1）求的值； （2）求. 例2 在中，.则 . 变式2-1 在△ABC中,若，则B= . 变式2-2 在中，如果，那么这个三角形的最小角是 . 例3 在中，角A,B,C的对边分别是a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则 . 变式3-1 在中，内角、、C的对边分别是、、，若，，则（ ） A.30° B.60° C.120° D.150° 变式3-2 三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 . 例4 在△ABC中，a,b,c分别为A,B,C的对边， , , ,则a= . 变式4-1 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是、、,若、、成等差数列，,的面积为，则 . 例5 设A是△ABC的最小内角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例6 锐角三角形△ABC中，若A=2B，则下列叙述正确的是（ ） ① ② ③ ④ A.①② B.①②③ C.③④ D.①④ 变式6-1 在锐角△ABC中，BC=1,B=2A,则的值等于 .AC的取值范围为 . 考点3 判断三角形的形状 判断三角形的形状也是高考常考内容，解决这类问题有两条路径，其一是从角入手，探求角的大小关系；其二是从边入手，探求三边满足的关系. 例1 在△ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且，试判断的形状. 变式1-1 在△ABC中，若，则△ABC的形状是 变式1-2 在△ABC中，若，试判断这个△ABC的形状为 . 变式1-3 在△ABC中，若，则△ABC是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 考点4 大题 的内角的对边分别为，且。 （1）求； （2）若边上的高，，求的面积。 △ABC的内角满足 (1) 求A； (2) △ABC的面积是4，求证△ABC的周长不小于. 设△ABC的对边长分别为,b,c，，，求B. 的内角的对边分别为，已知。 （1）求角的大小； （2）若，求的面积的最大值。 在中，角所对的边长分别为，边上的高。 （Ⅰ）若为锐角三角形，且，求角的正弦角； （Ⅱ）若，，求的值。 的内角的对边分别为，已知，，的外接圆半径为。 （1）求角的值； （2）求的面积。 已知的内角、、的对边长分别为、、， 且。 (1)求角的大小； (2)设为边上一点，且，， ，求。 17.（本小题满分12分）已知的内角所对的边分别为，且的面积。 （1）求角的大小； （2）若，且，求的取值范围。 17.（本小题满分12分）已知函数。 （1）的单调递增区间； （2）已知在中，内角的对边分别为，若为锐角且，，求的取值范围。 17.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且满足。 （1）求； （2）若，，求。 17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足。 （1）若，，求； （2）若，，求。 17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，。 （1）求角的大小； （2）若，，判断的形状。 17.（本小题满分12分）在中，内角的对边分别是，。 （1）求； （2）若，求面积的最大值。 17.（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，且。若。 （1）求角； （2）若，，边上的高为，求的长度。 17.（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别是，。 （1）证明：； （2）若的面积为，求。 17.（本小题满分12分）已知在中，，，是边上的高，。 （1）求边的长； （2）求边中线的长。 15.在中，内角所对的边分别为。已知，。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值。 在中，角的对边分别为，已知。 （1）求证：； （2）若，的面积为，求。 在中，角的对边分别为，。 （1）求的值； （2）若，边上的高为，求的值。 24 学科网（北京）股份有限公司 $$