三角函数专题4 - 三角恒等变换讲义-2025届高三数学一轮复习

三角函数专题4 - 三角函数恒等变换 大纲解析 本课时主要考点： ①两角和、两角差的正弦、余弦、正切公式及应用； ②二倍角的正弦、余弦、正切公式及应用。 本节在高考中要求我们能正确运用公式化简三角函数式，借助保角变换求某些角的三角函数值以及进行简单的三角恒等式的证明。 高考的解答题一般都要考查三角恒等变换，有单纯考查化简、求值的问题，而更多的则是融合图像与性质、正弦定理和余弦定理、平面向量于一体的综合性较强的问题。 知识梳理 1. 两角和与差的三角函数 1 2 3 4 5 6 2. 二倍角公式 1 2 = =______________________ 3 3. 几个常用变形公式 ① ，；（降幂公式） ② ，；（升幂公式） 4. 辅助角公式 ，其中， 考点透析 考点1 和、差、倍角公式的应用 应用和、差、倍角公式时,首先要搞清公式的来龙去脉,即要会推导这些公式；其次是弄清公式适用的条件,主要是两角和与差的正切公式及二倍角的正切公式.公式的应用主要是正用、逆用及变形应用，实际操作时一定要灵活。 1.1 正用 例1 试求15°的正弦、余弦及正切值. 变式1-1：试求的正弦、余弦及正切值. 例2 已知，则 变式2-1已知，则 例3 若是第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 变式3-1 已知，则 1.2 逆用及变形应用 例3 例4 的值为 例5 已知，那么 例6 的值为 . 变式6-1 已知，则 例7 变式7-1 例8 已知，则的值为 ． 变式8-1 化简得 （ ） A. B. C． D. 例9 函数的一个单调增区间是（ ） A. B. C. D. 变式9-1 ＝ （ ） A. B． C. D． 变式9-2 若，则＝（ ） A． B. C. D.- 变式9-3 （ ） A.1 B.2 C. D. 考点2 辅助角公式 公式（角由，确定）可把含的一次式的三角函数式化为的形式，从而便于进一步探索三角函数的性质．由于该公式含有辅助角，故我们称之为辅助角公式． 例1 （1） （2） 例2 函数的最大值为 。 例3 已知函数的图像上有一个最低点，如果图像上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得的图像，又知的所有正根依次为一个公差为3的等差数列，的解析式为 例4：已知函数（，为常数，，）的对称轴为，则函数是（ ） A．偶函数且它的图像关于点对称 B．偶函数且它的图像关于点对称 C．奇函数且它的图像关于点对称 D．奇函数且它的图像关于点对称 考点3 实际运用 如图，要把半径为R的半圆形材料截成长方形，问该长方形的面积最大是多少？ 考点4 三角恒等变换 例：已知向量，，，设函数. (Ⅰ) 求的最小正周期. (Ⅱ) 求在上的最大值和最小值. 变式1 已知函数. (Ⅰ) 求的最小正周期; (Ⅱ) 求在区间上的最大值和最小值. 已知函数的最小正周期为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性. 设函数 （I）求函数的最小正周期； （II）设函数对任意，有，且当时， ； 求在上的解析式． 设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值． 已知函数，. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值． 已知函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递增区间． 某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差． 已知函数为奇函数，且，其中． （1）求的值； （2）若，求的值． 已知函数。 （1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （2）若，，求的值。 24 学科网（北京）股份有限公司 $$