三角函数专题3 - 三角函数的图象与性质讲义-2025届高三数学一轮复习

三角函数专题3 - 三角函数的图象与性质 大纲解析 主要考点有: ①正弦函数、余弦函数和正切函数的图像； ②正弦函数、余弦函数和正切函数的性质； ③函数的物理意义、图象以及参数A, , 对函数图像变化的影响； ④三角函数解决简单的实际问题. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和正弦函数、余弦函数和正切函数的性质是每年必考的内容，考查重点是函数的周期性、单调性、有界性及图象变换，且各种题型均有.难度一般较小，多为基础问题。有时会与实际问题结合. 特别需要指出的是，函数是重要的周期函数模型，高中备受命题者的青睐，是历年高考的热点，因此对其图像、性质及应用都要熟练掌握. 知识梳理 1. 正弦函数与余弦函数的作法 正弦函数,的图像上的五个关键点是 ，余弦函数,的图像上五个关键点是 . 2. 正切函数的作法 正切函数，的图像关键是三点两线，三点是，，，两线是 . 3. 三角函数的图像和性质 三角函数 图像 定义域 值域 最大（小）值 当时，； 当时， 当时，； 当时， 无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 有界性 有界 有界 无界 单调性 在每个区间上都是增函数，在每个区间上都是减函数 在每个区间上都是增函数，在每个区间上都是减函数 在每个区间上都是增函数 对称中心 对称轴 无 注：上面表格中所有的k满足k 4. 五点法作图的图像 分别令取 ，求出相应的x值和y值，然后描点，再用光滑的曲线连接，即可得到一个周期的图像，通过左右、上下平移，就得到在R上的图像. 5. 的物理意义 A叫 ，决定图像的最高（低）点的位置；叫 ，叫 ，影响图像的零值点； 影响其周期性，周期T= ，通常情况下, , 可正可负可为0. 6. 三角函数的图像变换 由的图像可有两条途径得到的图像； ①先相位变换，再周期和振幅变换； ②先周期或振幅变换，再相位变换，此时横坐标的平移量为 个单位. 考点透析 考点47 三角函数的图像 三角函数的图像直观地反映三角函数的性质，所以画好三角函数的图像是研究三角函数的性质的关键。这就要求我们不但能灵活运用“五点法”作三角函数的图像，还能根据图像的一部分求出函数的解析式。另外，图像变换更是备受命题人的青睐。 例1 求下列的、 例2 下列函数中，图像的一部分如下图所示的是（） A． B. C. D. 变式2-1 函数的部分图像 (，,)如下图所示，则函数的表达式为（ ） A B. C. D. 变式2-3 函数（，）的部分图像如图所示，则f(x)的解析式为 例3 [2016·石家庄一模] 函数 (，)的部分图像如图所示，则 ， ， 变式3-1 函数 (，)的部分图像如图3­19­2所示，则 ， ， . 变式3-2 函数 (，)的部分图像如图所示，则 ， ， . 例2 将函数图像做怎样的变换可以得到的图象？ 变式2-1 将函数图像做怎样的变换可以得到的图象？ 变式2-2 要得到函数的函数图像，只需要将函数的图像（） A.向左平移个单位 B.向右平移单位 C.向左平移单位 D.向右平移 单位 变式2-3 为了得到的图像，只需要把函数的图像( ) A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 变式2-4 把函数的图像往右边平移个单位,再把图像上的各点的横坐标,缩小为原来的,所得的解析式为 ( ) A. B. C. D . 变式2-5 已知函数 (,) )的最小值正周期为，为了得到函数，只要将的图像( ) A.向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位 C向左平移个长度单位. D向右平移个长度单位 考点48 三角函数的性质 三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性，解决三角函数的性质问题时一方面要正确掌握正弦\余弦以及正切函数的性质,因为其他三角形函数问题都可以转化为这些函数问题加以处理.另一方面要注意与函数图像结合,即利用图像法解决性质问题. (1) 三角函数不等式（包括定义域的题目） 例1 解不等式 变式1-1 解不等式 例2 求函数的定义域. 变式2-1 求函数的定义域 例3 时，不等式的解为 变式3-1 时，不等式的解为 变式3-1 时，，此时的范围为 (2) 值域与最值 例1 求函数，的值域. 变式1-1 已知,求的最大值和最小值,并求相应的的值. 变式1-2 （），求函数的值域 变式1-3 （），求函数的值域 变式1-4 函数在区间上是增函数，且,则函数在上( ) A.是增函数 B.是减函数 C .可以取得最大值M D 可以取得最小值-M 变式1-5 函数（）的值域是 . (3) 周期性 例1 （1）函数的最小正周期为 （2）函数y=的最小正周期为 变式1-1 函数的周期为 变式1-2 已知简谐运动( ) 的图像进过（0,1）则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为（ ） A.， B ., C., D ., (4) 奇偶性 例1 关于的函数 有以下命题； 1 对任意的，函数y都是非奇非偶函数； 2 不存在，使函数y即是奇函数又是偶函数； 3 存在，使函数y是奇函数； 4 对任意的 ，函数y都不是偶函数。 其中假命题的序号是 ， 变式1-1 函数是奇函数，则 变式1-2 下列函数中，在区间内是增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ） A. B. C. D. 变式1-3 函数是偶函数 则 . (5) 对称性 例1 下列各点是函数 的对称中心是（ ） A．（0,0） B. C. D. 变式1-1 下列各点不是函数的对称中心的是（ ） A. B. C. D. 变式1-2 函数 的图像的一条对称轴方程是（ ） A .x= B. x= C .x= D .x= 变式1-3 如果函数的图像关于直线对称，则实数的值为( ) A. B. C. D. 变式1-4 设的图像关于直线x=对称，它的最小正周期是，则的图像的一个对称中心是( ) A.() B.() C.() D.(,0) (6) 单调性 例1 求下列函数的单调增区间 （1） （2） （3） 例2 时，求的单调区间和取得最值时对应的的值 变式2-1 当时，求的单调区间和取得最值时对应的的值 变式2-2 当时，求的单调区间和取得最值时对应的的值 变式2-3 时，求的单调区间和取得最值时对应的的值 变式1-1 函数在区间上是增函数，则w的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式1-2 若，同时满足不等式, ，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点49 综合问题 有的题目同时考查函数的图像与性质的若干个知识点，这时我们只要化整为零，各个击破即可. 例1 已知函数（），下面结论错误的是（ ） A．函数的最小正周期为2π B．函数在区间上是增函数 C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数 变式2-1 函数的图像为C， ①图像C关于直线x= 对称； ②函数在区间（-，）内是增函数； ③由的图像向右平移个单位长度可以得到图像C 以上三个说法中，正确的个数是（） A.0 B. 1 C .2 D .3 变式2-2 函数（, ）在同一个周期内，当时，取得最大值，当，取得最小值-1. (1)求函数解析式 (2)若函数满足方程（），求在内的所有实数根之和。 练习 1. 已知a是实数，则函数的图像不可能是是 A. B. C. D. 2. 设w>0,函数y= 的图像向右平移个单位后，与原图像重合，则w的最小值是（ ） A. B. C. D .3 3. 下列函数的图像关于y轴对称且不具有周期性的是（ ） A .y= B .y=sin |x| C .y= D .y= 4. 当|x| 时，函数y=+ 的最小值（ ） A . B. C. D. 5. 方程（0x）的实根个数是（） A.1 B. 2 C .3 D. 4 6. 在中，则一定是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 24 学科网（北京）股份有限公司 $$