三角函数专题1 - 任意角的三角函数讲义-2025届高三数学一轮复习

三角函数专题1 - 任意角的三角函数 大纲解析 主要考点有: ①任意角的概念、弧度制；； ②任意角三角函数； 本课时是三角函数的开始，多属于了解的内容，包括的内容有角的定义、弧度制、三角函数的定义等，其中重点是三角函数线及三角函数在各个象限的符号。这部分主要是和三角函数的其他知识相结合来考查。但是这部分是整个三角函数部分的基础，任何一道相关题目都会涉及到。特别是特殊角的三角函数值，任何一道相关题目都会涉及到。特别是特殊角的三角函数值、三角函数的符号、三角函数线都是都是必须熟练掌握的，否则对后续内容影响极大。 知识梳理 1. 任意角 (1)终边相同的角：所有与终边相同的角，连同在内，可构成一个集合 . (2)终边在坐标轴上的角：， ，， 的终边分别在x轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、y轴负半轴上，是特殊的角，起着非常重要的作用。 2. 弧度制 (1)定义： 叫做1弧度的角。 (2)计算：如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,那么角弧度数的绝对值是 .其中，的正负由角的终边的旋转方向决定。 注意：弧长公式： 。扇形面积公式： (3)度与弧度的换算：, ， 1=（ ）rad ， 1rad=（） (4)一些特殊角的弧度数及函数值 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 要熟记这些特殊角的正弦、余弦、正切三种三角函数值. 3. 三角函数的定义 设是一个任意角，在它的终边任取异于原点的一点,令,则， ，。 4. 三角函数值得符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 注：一二三四指象限，提到的函数在该象限为正值，未提到的为负值. 5. 三角函数线 设任意角的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M.过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与的终边或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于点,则有： ，，。 考点透析 考点41.角的有关概念 角的有关概念包括任意角、正角、负角和零角、象限角、终边相同的角等概念.要正确理解正角、负角和零角的概念，关键是抓住旋转的方向是逆时针还是顺时针，还是没有旋转.象限角的前提是把角置于直角坐标系中，并使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，这时角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，称为轴线角（也叫象限界角）.终边相同的角属于重点内容，通常与其他知识点综合考查. 例1 变式1-1 将化为弧度，为 （ ） A. B. C. D. 变式1-2 角化为弧度是 弧度； 例2 角是第 象限角， 变式2-1 若是第四象限角，则-是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 变式2-2 已知是第二象限角，试判断，所在的象限. 例3 已知角的终边与的终边相同，在内哪些角的终边与角的终边相同？ 变式3-1 若角与终边相同，则一定有 （ ） A.+=180 B.+=0 C.,kZ D. ,kZ 变式3-2 设， . 1. 将用弧度制表示出来，并指出它所在的象限. 2. 将用角度制表示出来，并在-720~0之间找出与它有相同终边的所有角. 变式3-3 与角终边相同的最小正角是 ，最大负角是 . 变式3-4 若角 ()，则角与的终边关于 对称. 变式3-5 若角的终边落在经过点的直线上，写出的集合；当时，求. 考点42.弧长公式和扇形面积公式 弧长公式和扇形面积公式是扇形问题的两个重要公式，初中给出过用角度表示的公式，在弧度制下，这两个公式的形式大大简化，显得特别简洁，给我们求弧长、算面积带来很大的方便.另外，弧长公式与三角形的面积公式在形式上十分相似，这可以帮助我们记忆. 例1 如图，直径为的圆形飞轮内有一点，且点恰为弦的中点，.若飞轮的转速为转/分，试求点每秒钟转过的弧长. 变式1-1：如果圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形的边长，那么这条弧所对的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. C. D. 变式1-2 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 （ ） A.2 B. C. D. 例2 半径为的扇形，若它的周长等于弧长所在的半圆的长，则这个扇形的面积是 . 变式2-1 已知圆的一条弧所对的圆周角为30,该圆的半径为10cm，求这条弧所在的弓形的面积. 考点43.三角函数的定义 三角函数的定义主要涉及初中直角三角形中的定义、单位圆的定义及坐标法定义，高考命题主要以后两种为主，解题时要灵活处理. 例1 角的终边上一点P的坐标为(a0),求的值. 变式1-1 已知角的终边落在直线 (),求 . 变式1-2 若A,B是锐角ABC的两个内角，则点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例2 已知=cos,=-tan,则的终边在 （ ） A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限或x轴上 D.第一、三象限或x轴上 变式2-1 下列命题中正确的是（ ） A.若,则是第二或第三象限角 B.若,则cos<cos C.若sin=sin,则与是终边相同的角 D.是第三象限角的充要条件是： 且 变式2-2 设 是第四象限角，且,则是第（ ）象限角 A.一 B.二 C.三 D四 变式2-3 若且,则是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 变式2-4 已知,则x 是第 象限角. 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数专题1 - 任意角的三角函数 大纲解析 主要考点有: ①任意角的概念、弧度制；； ②任意角三角函数； 本课时是三角函数的开始，多属于了解的内容，包括的内容有角的定义、弧度制、三角函数的定义等，其中重点是三角函数线及三角函数在各个象限的符号。这部分主要是和三角函数的其他知识相结合来考查。但是这部分是整个三角函数部分的基础，任何一道相关题目都会涉及到。特别是特殊角的三角函数值，任何一道相关题目都会涉及到。特别是特殊角的三角函数值、三角函数的符号、三角函数线都是都是必须熟练掌握的，否则对后续内容影响极大。 知识梳理 1. 任意角 (1)终边相同的角：所有与终边相同的角，连同在内，可构成一个集合 . (2)终边在坐标轴上的角：， ，， 的终边分别在x轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、y轴负半轴上，是特殊的角，起着非常重要的作用。 2. 弧度制 (1)定义： 叫做1弧度的角。 (2)计算：如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,那么角弧度数的绝对值是 .其中，的正负由角的终边的旋转方向决定。 注意：弧长公式： 。扇形面积公式： (3)度与弧度的换算：, ， 1=（ ）rad ， 1rad=（） (4)一些特殊角的弧度数及函数值 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 要熟记这些特殊角的正弦、余弦、正切三种三角函数值. 3. 三角函数的定义 设是一个任意角，在它的终边任取异于原点的一点,令,则， ，。 4. 三角函数值得符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 注：一二三四指象限，提到的函数在该象限为正值，未提到的为负值. 5. 三角函数线 设任意角的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M.过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与的终边或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于点,则有： ，，。 考点透析 考点41.角的有关概念 角的有关概念包括任意角、正角、负角和零角、象限角、终边相同的角等概念.要正确理解正角、负角和零角的概念，关键是抓住旋转的方向是逆时针还是顺时针，还是没有旋转.象限角的前提是把角置于直角坐标系中，并使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，这时角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，称为轴线角（也叫象限界角）.终边相同的角属于重点内容，通常与其他知识点综合考查. 例1 变式1-1 将化为弧度，为 （ B ） A. B. C. D. 变式1-2 角化为弧度是 弧度； 例2 角是第 二 象限角， 变式2-1 若是第四象限角，则-是 （ C ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 变式2-2 已知是第二象限角，试判断，所在的象限. 位于第三、第四象限或者y轴正半轴 位于第一、第三象限 例3 已知角的终边与的终边相同，在内哪些角的终边与角的终边相同？ 答案为、 变式3-1 若角与终边相同，则一定有 （ C ） A.+=180 B.+=0 C.,kZ D. ,kZ 变式3-2 设， . 1. 将用弧度制表示出来，并指出它所在的象限. 2. 将用角度制表示出来，并在-720~0之间找出与它有相同终边的所有角. 解：（1），位于第二象限 （2），与它有相同终边的角为、 变式3-3 与角终边相同的最小正角是 ，最大负角是 变式3-4 若角 ()，则角与的终边关于 x轴 对称. 变式3-5 若角的终边落在经过点的直线上，写出的集合；当时，求. 解析：依题意，，、 考点42.弧长公式和扇形面积公式 弧长公式和扇形面积公式是扇形问题的两个重要公式，初中给出过用角度表示的公式，在弧度制下，这两个公式的形式大大简化，显得特别简洁，给我们求弧长、算面积带来很大的方便.另外，弧长公式与三角形的面积公式在形式上十分相似，这可以帮助我们记忆. 例1 如图，直径为的圆形飞轮内有一点，且点恰为弦的中点，.若飞轮的转速为转/分，试求点每秒钟转过的弧长. P每秒钟转 变式1-1：如果圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形的边长，那么这条弧所对的圆心角的弧度数是（ D ） A. 1 B. C. D. 变式1-2 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 （ C ） A.2 B. C. D. 例2 半径为的扇形，若它的周长等于弧长所在的半圆的长，则这个扇形的面积是 . 变式2-1 已知圆的一条弧所对的圆周角为30,该圆的半径为10cm，求这条弧所在的弓形的面积. 圆周角为30 所对应的圆周角为 考点43.三角函数的定义 三角函数的定义主要涉及初中直角三角形中的定义、单位圆的定义及坐标法定义，高考命题主要以后两种为主，解题时要灵活处理. 例1 角的终边上一点P的坐标为(a0),求的值. 解析：①，， ②，， 变式1-1 已知角的终边落在直线 (),求 2 . 变式1-2 若A,B是锐角ABC的两个内角，则点在（ B ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例2 已知=cos,=-tan,则的终边在 （ C ） A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限或x轴上 D.第一、三象限或x轴上 变式2-1 下列命题中正确的是（ D ） A.若,则是第二或第三象限角 B.若,则cos<cos C.若sin=sin,则与是终边相同的角 D.是第三象限角的充要条件是： 且 变式2-2 设 是第四象限角，且,则是第（ D ）象限角 A.一 B.二 C.三 D四 变式2-3 若且,则是 （ C ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 变式2-4 已知,则x 是第 二 象限角. 24 学科网（北京）股份有限公司 $$