精品解析：2024年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试题

苏州市姑苏区2023-2024学年第二学期 九年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项∶ 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 据2024年政府工作报告，2023年我国国内生产总值超过1260000亿元（人民币），增长增速居世界主要经济体前列，数据1260 000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】数据1260 000用科学记数法可表示为． 故选：C． 3. 学校男子篮球队的12位队员的身高如下表： 身高（单位：cm） 176 178 180 181 人数 1 5 4 2 这12位队员身高的中位数是（ ） A. 176cm B. 178cm C. 179cm D. 180cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，理解中位数的定义是解题的关键．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解： ，第六，七位队员身高分别是178cm，180cm， 位队员身高的中位数是， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方及幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤，准确计算．先求出不等式的解集，然后在数轴上表示不等式的解集即可，需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 解集在数轴上表示，如图所示： 故选：B． 6. 如图，直线 ，等腰直角三角尺（）的两个底角顶点分别在直线上，边 与直线 交于点．若 平分，则的度数为（ ） A. 60° B. 67.5° C. 70° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，以及角平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．先利用等腰直角三角形的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】 是等腰直角三角形，， ， 平分， ， ， ， 故选：B 7. 算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为 步，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程以及相似三角形的实际应用问题，根据题意，画出图形找到等量关系是解题的关键． 设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论． 【详解】解：设小城的边长为x步，如图所示， 根据题意，，，，，， ， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，矩形 中，，与边 、对角线均相切，过点作的切线，切点为 ，则切线长的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．设与 、分别相切于点G、H，连接、、、 ，连接并延长交 于E，过点E作于F，过点O作于K，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【详解】设与 、分别相切于点G、H，连接、、、 ，连接并延长交 于E，过点E作于F，过点O作于K，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形 是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为r，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，直接把代入进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2 10. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 11. 方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题的关键．先用加减消元法求出y的值，再代入原方程求出x的值即可． 【详解】解：， 得，， 解得，把代入①得，， 解得， 故此方程组的解为 故答案为： 12. 定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据等腰三角形三线合一和面积公式解答即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，圆形转盘等分为5个扇形，5个扇形分别标有数字“1” “2” “3” “5” “8”，任意转动转盘1次，指针指向奇数的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率的计算方法，熟练掌握计算方法是解题关键．由于圆形转盘等分为5个扇形，根据概率=相应的面积与总面积之比，求出奇数在整个圆形转盘中所占的比例即可求解． 【详解】解： 圆形转盘等分为5个扇形，奇数区域为“1” “3” “5” 占了3等份，偶数区域为“2”“8”占了2等份， 奇数区域占圆盘总面积的， 任意转动转盘1次，指针指向奇数的概率为． 故答案为：． 14. 如图，在矩形 中，，扇形的圆心 在边 上，点 在边 上， 与边 相切，切点为 ，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先根据矩形的性质和 与边 相切，得到四边形是正方形，从而求出，进而求出，，利用弧长公式即可求解． 【详解】连接，如图， ∵ 与边 相切，切点为 ， ∴ ∵四边形 是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵扇形边 相切， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质定理，矩形的性质，解直角三角形，正方形的判定定理和性质，弧长公式，综合应用这些知识点是解题关键． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，则点 到原点 的距离为____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程，以及勾股定理，熟练掌握联立方程求交点是解题的关键．联立方程组求出交点 坐标，再根据勾股定理计算长即可． 【详解】解：联立方程组得， 消去 得，， 解得，， 点 在第一象限， ， ， 故答案为： 16. 如图，在平行四边形 中，，点 为边 的中点，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，以及解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． 过E作交延长线于H，由等腰三角形的性质推出，令，则，由勾股定理求出，得到，由，求出，由勾股定理求出，得到，于是求出． 【详解】解： 过E作交延长线于H， ，点E为边 的中点 令，则 四边形 是平行四边形 ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先根据负整数指数幂的运算法则，数的开方法则及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： 18. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；因此此题可先去分母，然后再进行求解方程即可 【详解】解：去分母，得：． 去括号，得：． 移项、合并同类项，得：． 系数化为1，得：． 经检验，为原方程的解． 19. 先化简、再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键．根据运算法则进行化简，再将数值代入即可得到答案． 【详解】解：原式 当时， 原式 ． 20. 的顶点为圆心，边长为半径画弧，两弧在 右侧交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：由作图得，， 在和 中， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由作图得，，而，即可根据“”证明； （2）由，，证明四边形是平行四边形，则，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 的度数是． 21. 沧浪亭（C），狮子林（S）、拙政园（Z）、留园（L）被誉为苏州四大园林．周末小明一家准备到苏州四大园林游玩． （1）若小明一家随机选择其中一个园林游玩，恰好选中狮子林（S）的概率是 ； （2）若小明一家随机选择其中两个不同园林游玩，求恰好选中拙政园（Z）和留园（L）的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中狮子林的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中拙政园和留园的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中狮子林的结果有1种， 恰好选中狮子林的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中拙政园和留园的结果有：，，共2种， 恰好选中拙政园和留园的概率为． 22. 为推进“五育并举”，某校课外活动小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生每周家务劳动时间（单位：h）进行了调查，并将所得数据整理后绘制出如下扇形统计图．其中每周家务劳动时间在1~1.5h范围内的人数为4人（每组只含最小值，不含最大值）． （1）该课外活动小组抽取的样本容量是 ； （2）样本中，每周家务劳动时间在哪个范围内的人数最多？这个范围的人数是多少？ （3）设该校有900名八年级学生，合理的每周家务劳动时间为不少于2h，求该校八年级学生每周家务劳动时间不少于2h的人数． 【答案】（1）50 （2）每周家务劳动时间在 2~2.5h 内的人数最多，这个范围的人数为14人． （3）576人 【解析】 【分析】本题考查了简单随机抽样，扇形统计图，样本容量，用样本估计总体，理解并掌握相关概念是解题的关键． （1）每周家务劳动时间在1~1.5h范围内的人数为4人，所占比例为，即可求解； （2）根据扇形统计图可知，动时间在的人数最多，所占比例为，用样本容量乘以所占比例即可求解； （3）根据扇形统计图求出每周家务劳动时间为不少于2h的所占比例，用总人数乘以所占比例即可估计所求人数 【小问1详解】 根据扇形统计图，每周家务劳动时间在范围内的人数为4人，所占比例为， 样本容量为：． 【小问2详解】 由扇形统计图可知劳动时间在的人数最多，所占比例为． 这个范围内的人数为人 【小问3详解】 根据扇形图可知，每周家务劳动时间为不少于2h的所占比例为：， 该校八年级学生每周家务劳动时间不少于2h的人数有人 23. 如图，四边形为菱形，且点A在 轴正半轴上，点 的坐标为，反比例函数的图象经过点 ，且与边 交于点． （1）求的值及点的坐标； （2）判断点是否为边 的中点，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 由（1）可知，反比例函数解析式为：， ，， 线段 的中点坐标为， 在反比例函数中，当时，， 点不是边 的中点 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键． （1）根据点 坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可； （2）先求出线段 的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 根据平移性质可得点B的坐标为． 【小问2详解】 略 24. 如图，某架线构件设计充分运用了数学原理，主架构利用了“三角形的稳定性”，由垂直于地面的立柱 、垂直于立柱 的横杆以及支撑杆 组成，其中 m，m， m．调节架构利用了“四边形的不稳定性”，由长度均为1.5 m的连接杆 、、架线杆组成，连接点 、 、 在一定范围内移动，移动时始终保持，且的度数不超过 ． （1）求证：； （2）若架线杆到地面的距离为5 m，求连接点 到点 的距离（结果精确到0.01 m，参考数据：，）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形为平行四边形 ∴． ∵， ∴． ∴． （2）连接点E到点A的距离约为 0.61m 【解析】 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，得到，根据，得到，即可得出结果； （2）延长交 于点H，作，垂足为I，求出的长，平行线分线段成比例，求出 的长，勾股定理求出 的长，证明四边形为矩形，求出的长，进而求出 的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交 于点H，作，垂足为I，则，且． ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形 ∴ ∴ ∴． 答∶连接点E到点A的距离约为 0.61m． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 25. 如图， 为的直径， 为上一点， 平分，与过点的的切线交于点，与交于点 ，与 交于点 ． （1）求证：点 为线段 中点； （2）若，半径为，求弦的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， ∵ 为的直径， 与相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 是等腰三角形的底边 上的中线， ∴点E为线段 的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，由 为的直径， 与相切于点B，得，，则，可证明，则，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明点E为线段 的中点； （2）由，得，由的半径为，得，则，由，得，由勾股定理得，求得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的半径为， 为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴弦的长是． 【点睛】本题重点考查切线的性质定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 26. 如图，二次函数（其中）的图像与 轴交于 、两点（点 在点左侧），与 轴交于点 ，连接、 ，点为 的外心． （1）填空：点 的坐标为 ， ； （2）记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值； （3）若在第一象限内的抛物线上存在一点 ，使得以、、 、 为顶点的四边形是菱形，则 ． 【答案】（1）， （2）为定值，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）当 时，即，解得，，可求得点，点；当 时，求得点，得到，故； （2）根据点D为 的外心，，由圆周角定理和外接圆的性质，得 ，，过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，设点，则，，，，证明，得到，，求得，即可求得为定值； （3）由于在第一象限内的抛物线上存在一点 ，以、、 、 为顶点的四边形只能是四边形，若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，设点，若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，再由中点坐标公式列方程即可求解． 【小问1详解】 当 时，即， ， 解得，， 点，点， 当 时，， 点， ， ， 【小问2详解】 为定值，理由如下： 点D为 的外心，， 则 ，， 过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N， 设点， 则，，，， ，， ， ，， ， ， ，， 解得： 则的面积， 为等腰直角三角形， ， 则的面积， 为定值； 【小问3详解】 在第一象限内的抛物线上存在一点 ， 以、、 、 为顶点的四边形只能是四边形， 又， 若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，如图所示， 由前面可知，点，点，点，设点， 若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，由中点坐标公式得： ， 解得：或（不合题意舍去）； 综上，． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键． 27. （1）如图①， 中，，，为边 上一动点，将点A绕点按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点 作 的平行线，交直线于点 ，连接 ． ①若，求 的长度； ②求的最大值． （2）如图②，当点在 的延长线上时，将点A绕点按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点 作 的平行线，交直线于点 ，连接 ．记的面积为，的面积为， 的面积为，若，求的值． 【答案】（1）① ②36 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形性质、勾股定理的应用，相似三角形判定与性质及二次函数的性质，牢记相关知识是解题关键， （1）作于点H，先求，再求结论即可； （2）证明得出，进而，利用二次函数性质求出最大值即可； （3）作 于点F，设，得出，证明，得出，根据条件列出方程并解方程即可解决． 【详解】解：（1）作于点H， 中，，， ，， 在中，， 在中，； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最大为36； （3）如图：作 于点F，设， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市姑苏区2023-2024学年第二学期 九年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项∶ 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 据2024年政府工作报告，2023年我国国内生产总值超过1260000亿元（人民币），增长增速居世界主要经济体前列，数据1260 000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 学校男子篮球队的12位队员的身高如下表： 身高（单位：cm） 176 178 180 181 人数 1 5 4 2 这12位队员身高的中位数是（ ） A. 176cm B. 178cm C. 179cm D. 180cm 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线 ，等腰直角三角尺（）的两个底角顶点分别在直线上，边 与直线交于点 ．若 平分，则的度数为（ ） A. 60° B. 67.5° C. 70° D. 75° 7. 算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为 步，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形 中，， 与边 、对角线 均相切，过点 作 的切线，切点为 ，则切线长的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若，则的值为___________． 10. 因式分解：_____ 11. 方程组的解为___________． 12. 定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为____________． 13. 如图，圆形转盘等分为5个扇形，5个扇形分别标有数字“1” “2” “3” “5” “8”，任意转动转盘1次，指针指向奇数的概率为_____________． 14. 如图，在矩形 中，，扇形的圆心 在边 上，点 在边 上，与边相切，切点为 ，则的长度为_________． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，则点 到原点 的距离为____________． 16. 如图，在平行四边形 中，，点 为边 的中点，若，则的值为___________． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： ． 18. 解分式方程： 19. 先化简、再求值：，其中． 20. 的顶点为圆心，边长为半径画弧，两弧在 右侧交于点 ，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 沧浪亭（C），狮子林（S）、拙政园（Z）、留园（L）被誉为苏州四大园林．周末小明一家准备到苏州四大园林游玩． （1）若小明一家随机选择其中一个园林游玩，恰好选中狮子林（S）的概率是 ； （2）若小明一家随机选择其中两个不同园林游玩，求恰好选中拙政园（Z）和留园（L）的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 22. 为推进“五育并举”，某校课外活动小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生每周家务劳动时间（单位：h）进行了调查，并将所得数据整理后绘制出如下扇形统计图．其中每周家务劳动时间在1~1.5h范围内的人数为4人（每组只含最小值，不含最大值）． （1）该课外活动小组抽取的样本容量是 ； （2）样本中，每周家务劳动时间在哪个范围内的人数最多？这个范围的人数是多少？ （3）设该校有900名八年级学生，合理的每周家务劳动时间为不少于2h，求该校八年级学生每周家务劳动时间不少于2h的人数． 23. 如图，四边形为菱形，且点A在 轴正半轴上，点 的坐标为，反比例函数的图象经过点 ，且与边 交于点 ． （1）求的值及点 的坐标； （2）判断点 是否为边 的中点，并说明理由． 24. 如图，某架线构件设计充分运用了数学原理，主架构利用了“三角形的稳定性”，由垂直于地面的立柱 、垂直于立柱 的横杆 以及支撑杆组成，其中m，m， m．调节架构利用了“四边形的不稳定性”，由长度均为1.5 m的连接杆 、、架线杆 组成，连接点 、 、 在一定范围内移动，移动时始终保持，且的度数不超过 ． （1）求证：； （2）若架线杆 到地面的距离为5 m，求连接点 到点 的距离（结果精确到0.01 m，参考数据：，）． 25. 如图， 为 的直径， 为 上一点， 平分，与过点 的 的切线交于点 ，与 交于点 ，与 交于点 ． （1）求证：点 为线段 中点； （2）若， 半径为，求弦 的长． 26. 如图，二次函数（其中）的图像与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，连接 、 ，点 为 的外心． （1）填空：点 的坐标为 ， ； （2）记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值； （3）若在第一象限内的抛物线上存在一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则 ． 27. （1）如图①， 中，，， 为边 上一动点，将点A绕点 按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点 作 的平行线，交直线于点 ，连接 ． ①若，求 的长度； ②求的最大值． （2）如图②，当点 在 的延长线上时，将点A绕点 按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点 作 的平行线，交直线于点 ，连接 ．记的面积为， 的面积为， 的面积为，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $