专题09 锐角三角函数-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题09 锐角三角函数 1．（2024·江苏无锡·二模）小明沿着坡角为的斜坡向上走了，则他升高了（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·二模）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立的树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·二模）在中，，，点D和点E分别是线段上的动点，且，在运动过程中，可取的最大整数值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道 （    ） A．长 B．长 C．长 D．长 5．（2024·江苏南通·二模）如图，测角仪竖直放在距建筑物底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．若测角仪的高度是1.6m，则建筑物的高度约为 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：）    6．（2024·江苏苏州·二模）如图，点A、B在反比例函数的图象上，，，记OA与轴正半轴的夹角为，则的值为 ． 7．（2024·江苏苏州·二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若的顶点都在格点上，则的值为 ． 8．（2024·江苏泰州·二模）如图，点A、B、C、D是正方形网格图中的格点，与交于点O， ． 9．（2024·江苏盐城·二模）如图， 在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点三点都在格点上，则 ． 10．（2024·江苏苏州·二模）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度，如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为，线段的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上，其中米． (1)求无人机的飞行高度；（结果保留根号） (2)求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 11．（2024·江苏徐州·二模）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为28米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点6米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长．（结果保留根号） 12．（2024·江苏南京·二模）如图，A，B，C为山脚两侧在同一条直线上的三个观测点，计划沿直线开通穿山隧道，其中，，．在山顶P处测得点A，B，C的俯角分别为，，求的长．（参考数据：，，） 13．（2024·江苏苏州·二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前方有一段坡度为的斜坡，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的长约为多少米？（参考数据：，，） 14．（2024·江苏南京·二模）如图，为了测量大楼的高度，小明在点测得大楼顶端的仰角为，从点沿倾斜角为的斜坡走到点，再水平向左走达到点，在此处测得大楼顶端的仰角为，同时测得大楼底端的俯角为，求大楼的高度．参考数据：，． 15．（2024·江苏泰州·二模）如图，位于市区昭阳湖公园的“昭阳大将军”雕塑是水乡兴化的标志性文化名片，如图2，线段AD表示大将军雕塑的高度，雕塑下基座BD的高度为8米，点A，D，B在同一条直线上，且，，求大将军雕塑的高度．（计算结果保留整数，参考数据：，） 16．（2024·江苏南京·二模）如图，小亮和小刚为测量某建筑物的高度，他们都从处出发，小亮沿着水平方向步行到达处，测得顶部的仰角为；小刚沿着坡角为的坡道行至处，分别测得他沿垂直方向上升的高度为、顶部的仰角为，求该建筑物的高度．（参考数据：．）    17．（2024·江苏苏州·二模）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） (1)求图中到一楼地面的高度； (2)求日光灯到一楼地面的高度． 18．（2024·江苏泰州·二模）北斗卫星是我国自主研发的地球同步轨道卫星，位于赤道正上方，为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位导航等服务，如图，是地球的轴截面（把地球的轴截面近似的看成圆形），点P是一颗北斗卫星，在北纬的点A（即）观测，是点A处的地平线（即与相切于点A），测得，已知地球半径约为，图中各点均在同一平面内，求卫星P到地球表面的最短距离． （，，，，结果精确到．）    19．（2024·江苏无锡·二模）尺规作图 在中，，，若点D是斜边上一个动点，点K在上，点B、点D、点K组成的三角形为等腰三角形， (1)连接，使，请用尺规作图的方法，作出点K，点D的具体位置． (2)在（1）的条件下，求此时的面积． 20．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知四边形中，，，，．点E、F分别为上的动点（E不与A、D重合），且，将四边形沿直线翻折得四边形，其中C、D的对应点分别是、．                         备用图1                      备用图2 (1)当E为中点时，__________； (2)当点B、、E在同一直线上时，求证：是等边三角形； (3)连接、，当是直角三角形时，求的长． 21．（2024·江苏无锡·二模）五一假期，圆圆带着无人机来到公园开展综合实践活动——测量一古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，测得斜坡底端A距塔基中心E距离米，斜坡坡度i为，圆圆站在斜坡上距A点6.5米的B处，遥控无人机悬停在点B的正上方37.6米的C处，从C处测得古塔的顶部D处的俯角为（古塔在圆圆和无人机的正前方）． （参考数据：，，） (1)求古塔的高度； (2)已知目高为1.6米，若无人机保持现有高度并沿着平行于的方向，以4米/秒的速度向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 22．（2024·江苏徐州·二模）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点、、在同一水平线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为，求塔的高度（精确到）．（参考数据：，，，，）． 23．（2024·江苏盐城·二模）在课外活动中，某数学兴趣小组带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处的教学楼如图所示，、、在同一条直线上，且，在平台底部的点处测得教学楼的顶部的仰角为，在平台上的点处测得教学楼的顶部的仰角为．通过测量得到：在平台的纵截面矩形中，米，米．求教学楼的高精确到米，参考数据：，， ． 24．（2024·江苏泰州·二模）泰州溱湖（姜堰溱湖旅游景区），位于江苏中部里下河地区，是江苏省三大锅底洼之一，溱湖的主体湖泊是喜鹊湖，在喜鹊湖上有诸多小岛．如图，小明在湖面上划船游玩，在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西30°方向，借助三角板在图中标出点B，连结，并求AC的距离．（结果精确到，参考数据：，）    25．（2024·江苏连云港·二模）如图，甲、乙两同学准备测量学校旗杆的高度，甲同学在旗杆左侧的教学楼的阳台处测得旗杆顶点的仰角为，且阳台的高度为米，乙同学在旗杆右侧的空地上点处测得旗杆顶点的仰角为(点，，在同一条直线上)，已知米，求旗杆的高(精确到米，参考数据：， ，，)． 26．（2024·江苏盐城·二模）如图，某办公楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20米的距离（B、F、C在一条直线上）．（参考数据：，，） (1)求办公楼的高度； (2)求A、E之间的距离． 27．（2024·江苏连云港·二模）如图，为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在公园一角处修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊四边修建了人行步道（即，，，）．花园的两边与垂直，米，米，，，． (1)求点D到的距离； (2)求的长．（参考数据：，，） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 锐角三角函数 1．（2024·江苏无锡·二模）小明沿着坡角为的斜坡向上走了，则他升高了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设他升高了米，根据坡角的概念，直角三角形中所对直角边等于斜边一半的性质计算即可，掌握坡角的概念是解题的关键． 【详解】解：设他升高了米， ∵斜坡向上走了， ∴根据所对直角边等于斜边一半，则， 故选：． 2．（2024·江苏南京·二模）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立的树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再确定当大树与光线垂直时，影长最大，然后根据直角三角形的性质得出答案． 【详解】由题意，得（米）． 当树与光线垂直，即时，影长最长，最大影长为， 在中，， ∴（米）． 故选：D．    3．（2024·江苏无锡·二模）在中，，，点D和点E分别是线段上的动点，且，在运动过程中，可取的最大整数值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键．过点D作于点F，则，利用三角形相似和三角函数，转化为比例式计算即可． 【详解】∵， ∴， 设， 过点D作于点F， 则，， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵， ∴， ∴可取的最大整数值为2． 故选B． 4．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道 （    ） A．长 B．长 C．长 D．长 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式， 过辅助线如图，证明，得出，即，求出，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过C作交延长线于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选∶D． 5．（2024·江苏南通·二模）如图，测角仪竖直放在距建筑物底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．若测角仪的高度是1.6m，则建筑物的高度约为 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：）    【答案】9.3 【分析】本题考查解直角三角形实际应用，过点作，可得，三角函数求出的长，再用，求出建筑物的高度即可． 【详解】解：过点作，则：，    在中，， ∴； 故答案为：9.3． 6．（2024·江苏苏州·二模）如图，点A、B在反比例函数的图象上，，，记OA与轴正半轴的夹角为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，解直角三角形，分式法解一元二次方程，全等三角形的判定和性质．作出如图的辅助线，设，，，则，证明，求得，根据反比例函数的性质求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，与的延长线于点，如图， ∴四边形是矩形， 设，，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点A、B在反比例函数的图象上， ∴， 整理得， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 7．（2024·江苏苏州·二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若的顶点都在格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接格点B、D，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得到，再根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：连接格点B、D， 由题图知：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：． 8．（2024·江苏泰州·二模）如图，点A、B、C、D是正方形网格图中的格点，与交于点O， ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在网格中的的应用，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数，解题的关键在于借助网格构造直角三角形．记正方形网格边长为，利用勾股定理得到，证明，得到，从而得到，过点于点，利用勾股定理得到，根据求解，即可解题． 【详解】解：由图知，记正方形网格边长为， 连接、， 则，， ， 由网格特点可知，， ， ， ，， ， ， 过点于点， ， ， 故答案为：． 9．（2024·江苏盐城·二模）如图， 在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点三点都在格点上，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、三角函数等知识，确定为直角三角形是解题关键．连接，证明为直角三角形，，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 故答案为：1． 10．（2024·江苏苏州·二模）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度，如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为，线段的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上，其中米． (1)求无人机的飞行高度；（结果保留根号） (2)求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】(1)无人机的飞行高度为米； (2)河流的宽度约为158米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点B作，垂足为N，根据题意可得米，米，，然后在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， 在中，，， ∴， ∴无人机的飞行高度为米； （2）解：过点B作，垂足为N， 则，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴河流的宽度约为158米． 11．（2024·江苏徐州·二模）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为28米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点6米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长．（结果保留根号） 【答案】的长为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键． 作于点，首先根据坡度求出，并通过矩形的判定确定出，然后通过解三角形求出，即可相加得出结论． 【详解】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形， ∵在中，，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 由题意，，，，， ∴为等腰直角三角形，， 设，则， 在中，， ∴，即：， 解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意， ∴， ∴， ∴的长为米． 12．（2024·江苏南京·二模）如图，A，B，C为山脚两侧在同一条直线上的三个观测点，计划沿直线开通穿山隧道，其中，，．在山顶P处测得点A，B，C的俯角分别为，，求的长．（参考数据：，，） 【答案】隧道的长度 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点P作于F，设长为x．在和以及，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可． 【详解】解：过点P作于F，设长为x． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， 在中，由， ∴， ∴， ∴ 即隧道的长度． 13．（2024·江苏苏州·二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前方有一段坡度为的斜坡，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的长约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】建筑物的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题．设米，延长交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性质得出米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可． 【详解】解：设米，延长交于，作于，于，   ，在中， 米，， ， ， 米，米， 四边形是矩形，四边形是矩形， 米， 在中， ， 米， 米， 米， 米， 在中， ， ， ， 米， 米， 答：建筑物的长约为米． 14．（2024·江苏南京·二模）如图，为了测量大楼的高度，小明在点测得大楼顶端的仰角为，从点沿倾斜角为的斜坡走到点，再水平向左走达到点，在此处测得大楼顶端的仰角为，同时测得大楼底端的俯角为，求大楼的高度．参考数据：，． 【答案】大楼的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长交于点，过点作，垂足为．设为．解，，进而根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：延长交于点，过点作，垂足为．设为． 在中，， ． 在中，．   ． 在中，， ． 在中，．   ，即．   ，解得．    答：大楼的高度为． 15．（2024·江苏泰州·二模）如图，位于市区昭阳湖公园的“昭阳大将军”雕塑是水乡兴化的标志性文化名片，如图2，线段AD表示大将军雕塑的高度，雕塑下基座BD的高度为8米，点A，D，B在同一条直线上，且，，求大将军雕塑的高度．（计算结果保留整数，参考数据：，） 【答案】大将军雕塑的高度约为3米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活掌握相关性质是解题的关键．在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，根据即可得解． 【详解】由题意，中，， 中，，， 答：大将军雕塑的高度约为3米． 16．（2024·江苏南京·二模）如图，小亮和小刚为测量某建筑物的高度，他们都从处出发，小亮沿着水平方向步行到达处，测得顶部的仰角为；小刚沿着坡角为的坡道行至处，分别测得他沿垂直方向上升的高度为、顶部的仰角为，求该建筑物的高度．（参考数据：．）    【答案】该建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．在中，根据三角函数的定义得到，过作于，则，，在中，设，根据三角函数的定义得到，求得，，在中，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：在中， ，， ， 过作于，    则，， 在中，设， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， 答：该建筑物的高度为． 17．（2024·江苏苏州·二模）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） (1)求图中到一楼地面的高度； (2)求日光灯到一楼地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，设，根据坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可求出，从而求得答案； （2）过点作于交于，过点作于交于，先根据（1）的结论求出，再根据的正弦值即可求出，从而求出即可． 【详解】（1）解：过点作于，如图（2）所示：    设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，． 答：到一楼地面的高度为； （2）解：过点作于交于，过点作于交于，    则，四边形、四边形是矩形，， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ， ， 答：日光灯到一楼地面的高度约为． 18．（2024·江苏泰州·二模）北斗卫星是我国自主研发的地球同步轨道卫星，位于赤道正上方，为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位导航等服务，如图，是地球的轴截面（把地球的轴截面近似的看成圆形），点P是一颗北斗卫星，在北纬的点A（即）观测，是点A处的地平线（即与相切于点A），测得，已知地球半径约为，图中各点均在同一平面内，求卫星P到地球表面的最短距离． （，，，，结果精确到．）    【答案】卫星P到地球表面的最短距离为约． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质．过点A作，垂足为点D，利用锐角三角函数的定义可求出和的长，再利用切线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为点D，    由，， ∴， ，， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴ 答：卫星P到地球表面的最短距离为约． 19．（2024·江苏无锡·二模）尺规作图 在中，，，若点D是斜边上一个动点，点K在上，点B、点D、点K组成的三角形为等腰三角形， (1)连接，使，请用尺规作图的方法，作出点K，点D的具体位置． (2)在（1）的条件下，求此时的面积． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的作图，是解题的关键． （1）以为圆心，的长为半径化弧，交于点，作的中垂线交于点，即为所求； （2）过点作，设，勾股定理求出的值，利用，求出的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）如图，即为所求； 由作图可知：，， ∴为等边三角形，， ∵， ∴， ∴，即：， 故点即为所求； （2）过点作，设，则：， 由（1）知， 由勾股定理，得：，即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 20．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知四边形中，，，，．点E、F分别为上的动点（E不与A、D重合），且，将四边形沿直线翻折得四边形，其中C、D的对应点分别是、．                         备用图1                      备用图2 (1)当E为中点时，__________； (2)当点B、、E在同一直线上时，求证：是等边三角形； (3)连接、，当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的长为． 【分析】（1）证明，利用正切函数的定义求解即可； （2）设，则，，，求得，得到，据此即可证明是等边三角形； （3）先判断只能是，分两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接，由题意得，是线段的垂直平分线，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：连接，，延长相交于点，由折叠得的延长线也相交于点，当是直角三角形时，只能是， 当在的右侧时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴，， 过点作交于，则四边形为矩形， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得，即； 如图，当在的左侧时， 同理求得，， 设，则， 在中，，即， 解得，即； 综上，的长为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 21．（2024·江苏无锡·二模）五一假期，圆圆带着无人机来到公园开展综合实践活动——测量一古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，测得斜坡底端A距塔基中心E距离米，斜坡坡度i为，圆圆站在斜坡上距A点6.5米的B处，遥控无人机悬停在点B的正上方37.6米的C处，从C处测得古塔的顶部D处的俯角为（古塔在圆圆和无人机的正前方）． （参考数据：，，） (1)求古塔的高度； (2)已知目高为1.6米，若无人机保持现有高度并沿着平行于的方向，以4米/秒的速度向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【答案】(1)古塔的高度是28.1米 (2)经过6秒时，无人机刚好离开圆圆的视线 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，再根据已知可设米，米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）连接交于点，根据题意可得：，再根据已知易得：米，然后证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，，， 斜坡坡度为， ， 设米，米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 米， （米， 在中，， （米， （米， 古塔的高度约为28.1米； （2）解：连接交于点， 由题意得：， 米，米， （米， ， ， ， ， 解得：， （米， （秒， 经过6秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 22．（2024·江苏徐州·二模）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点、、在同一水平线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为，求塔的高度（精确到）．（参考数据：，，，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，设，则，在中，，再利用三角函数列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，，， ，， ， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 解得． 答：塔的高度为． 23．（2024·江苏盐城·二模）在课外活动中，某数学兴趣小组带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处的教学楼如图所示，、、在同一条直线上，且，在平台底部的点处测得教学楼的顶部的仰角为，在平台上的点处测得教学楼的顶部的仰角为．通过测量得到：在平台的纵截面矩形中，米，米．求教学楼的高精确到米，参考数据：，， ． 【答案】教学楼的高约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长交于点，则米，米，，，．设米，则米，解，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则米，米，，，． 设米，则米． 在中，． 米． 米． 在中，． ，即． ． 经检验：是分式方程的根． 米． 答：教学楼的高约为米 24．（2024·江苏泰州·二模）泰州溱湖（姜堰溱湖旅游景区），位于江苏中部里下河地区，是江苏省三大锅底洼之一，溱湖的主体湖泊是喜鹊湖，在喜鹊湖上有诸多小岛．如图，小明在湖面上划船游玩，在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西30°方向，借助三角板在图中标出点B，连结，并求AC的距离．（结果精确到，参考数据：，）    【答案】487.9m 【详解】解：作图如下 过C作，    ∵在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西方向， ∴ ∵ ∴ 在中， ， ∴， 在中， ， ∴ ∴， ∴ ∴ 在中， ， ∴ 答：的距离约为 25．（2024·江苏连云港·二模）如图，甲、乙两同学准备测量学校旗杆的高度，甲同学在旗杆左侧的教学楼的阳台处测得旗杆顶点的仰角为，且阳台的高度为米，乙同学在旗杆右侧的空地上点处测得旗杆顶点的仰角为(点，，在同一条直线上)，已知米，求旗杆的高(精确到米，参考数据：， ，，)． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题；过点作于，证是等腰直角三角形，得，，设米，则，，再由锐角三角函数定义列出方程，解得：，进而求解即可． 【详解】解：过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， 米，， 由题意得：，， 是等腰直角三角形， ， ， 设米， 则(米)，(米)， 在中，， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 米， 答：旗杆的高约为米． 26．（2024·江苏盐城·二模）如图，某办公楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20米的距离（B、F、C在一条直线上）．（参考数据：，，） (1)求办公楼的高度； (2)求A、E之间的距离． 【答案】(1)15米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形-俯角仰角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点，设，得出，解方程即可得解； （2）由可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， 设， 在中， ， ， ， 在中， ∵， ∴，即， 解得，． ∴办公楼的高度为15米． （2）在中， ∵． ∴． ∴之间的距离为米． 27．（2024·江苏连云港·二模）如图，为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在公园一角处修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊四边修建了人行步道（即，，，）．花园的两边与垂直，米，米，，，． (1)求点D到的距离； (2)求的长．（参考数据：，，） 【答案】(1)6米 (2)40米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用问题， （1）过D作，垂足为M，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过D作，垂足为H，根据题意可得：，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后设米，则米，从而可得米，再利用直角三角形的两个锐角互余求出，最后在中，求出的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答； 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）过D作，垂足为M， 在中，，， ∴（米）， ∴点D到的距离约为6米； （2）过D作，垂足为H， 由题意得：米，， 在中，，， ∴（米）， 设米，则米， ∴米， ∵， ∴， 在中，（米）， ∴米， 在中，， ∴米， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴牌匾悬挂高度的长约为40米． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$