专题08 圆-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题08 圆 1．（2024·江苏徐州·二模）如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切，切点为D．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·二模）如图，五边形内接于，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，则等于 （     ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·二模）如图，是的直径，是的弦，，，若弦，则的度数为 （    ）      A． B． C．或 D．或 5．（2024·江苏无锡·二模）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·江苏无锡·二模）圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（    ）． A．10 B．20 C． D． 7．（2024·江苏无锡·二模）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏常州·二模）如图，C、D是 为直径的半圆上的点，且C是弧的中点，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏徐州·二模）圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留） 10．（2024·江苏宿迁·二模）如图，中，，，，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是 ． 11．（2024·江苏苏州·二模）如图，在中，，，分别是CB、AB的中点，连接EF，将绕点旋转一个角度，连接并延长，与直线交于点，则的最小值是 ． 12．（2024·江苏宿迁·二模）如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则的半径等于 ． 13．（2024·江苏南京·二模）如图，点A，B，C在半径为4的上，．若，则长为 ． 14．（2024·江苏苏州·二模）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ． 15．（2024·江苏南京·二模）如图，内接于，，点在上，于点，若，，则的长为 ． 16．（2024·江苏泰州·二模）如图，点D是等边边上一点，，连接，将沿翻折得到，若以D为圆心，为半径的圆经过一边的中点，则的半径是 ． 17．（2024·江苏南京·二模）如图，在半径为的中，是直径，点在上，且，弦（非直径）交于点． (1)如图①，若， （Ⅰ）连接，求证：； （Ⅱ）的长为______． (2)如图②，若，求的长． 18．（2024·江苏宿迁·二模）图1和图2是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，要求仅利用已有的格点和无刻度直尺作图（注意：不能用圆规）． (1)如图1，已知网格中有一个，顶点A、B、C、D都在格点上，找出格点1个即可），使平分． (2)如图2，的顶点A，B，C均落在格点上，是的外接圆．在如图所示的网格中，上方的圆上画点，使得． 19．（2024·江苏徐州·二模）如图，直线l与相切于点，点为直线上一点，直线交于点、，点在线段上，连接，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积． 20．（2024·江苏苏州·二模）如图，是的直径，点在上，点为弧的中点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 21．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求劣弧的长． 22．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 23．（2024·江苏无锡·二模）如图，在中，，是上一点，以为半径的与相切，切点为，连接，与相交于点． (1)求证：是的角平分线； (2)若，，求的长． 24．（2024·江苏无锡·二模）如图，为的直径，点C是上任意一点，过点C作于G，交于D，，连接．分别交于F、H． (1)如图1，求证：． (2)如图1，若，，求的长． (3)当点C在圆上运动的过程中，试判断之间的数量关系，并说明理由． 25．（2024·江苏盐城·二模）如图，P为⊙O的直径延长线上的一点，为⊙O的切线，切点为C，于D，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求⊙O的半径． 26．（2024·江苏扬州·二模）如图，是的直径，点A为延长线上一点，点B在上，F点为弧的中点，连接，延长与的延长线交于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若点F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 27．（2024·江苏泰州·二模）如图，是的内接三角形，． (1)仅用圆规在直线下方的圆弧上求作一点D，使点D到点B，点C的距离相等；（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接交于E，若，，求的长． 28．（2024·江苏无锡·二模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 29．（2024·江苏苏州·二模）如图，是的直径，点，为上的两点且，连接，交于点，点F为延长线上一点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 30．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，点D是的中点，经过A，B，D三点的交于点E，的直径．    (1)求证：； (2)当时，求的半径． 31．（2024·江苏南通·二模）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B， ，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 32．（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　． 33．（2024·江苏泰州·二模）已知：如图1，是的内接三角形，且，点是弧上一动点，连接交弦于点，点在弦上，且．    (1)求证：； (2)如图2，若是的直径，，，求直径的长； (3)如图3，保持点位置不变，调整点的位置使得直线经过圆心，点在上，使得成立的所有点中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点，并说明理由． 34．（2024·江苏盐城·二模）如图，在正方形中，，以为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连接并延长交于点E， 连接并延长交于点F， 连接． (1)求证： (2)求的最小值； (3)若求的长． 35．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且__________，__________． 给出以下信息：①，②，③与相切． (1)请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：__________，__________，结论：__________ (2)如图2，在（1）的条件下，点D在上，且，连接，求证∶． 36．（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，． 【初步认识】 （1）①求证：； ②若，求的值． 【特值探究】 （2）若，，，求长； 【逆向思考】 （3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆 1．（2024·江苏徐州·二模）如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切，切点为D．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，是的直径，根据圆周角定理可知，由切线性质定理知，结合半径相等，即，从而利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求．本题主要考查切线的性质，圆周角定理，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键． 【详解】解：连接， 是的直径， ，， ∵与相切，切点为D． ∴， ∵， ∴， ， ． 故选：B． 2．（2024·江苏南京·二模）如图，五边形内接于，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，解直角三角形．连接，由，求出，判定，推出，由圆内接四边形的性质推出，即可求出． 【详解】解：连接，如图， ，， ， ， ， ∴， ， 四边形是圆内接四边形， ， ． 故选：C． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，则等于 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（2024·江苏无锡·二模）如图，是的直径，是的弦，，，若弦，则的度数为 （    ）      A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题要考虑两种不同的情况，综合运用圆周角定理的推论和解直角三角形相关计算的知识是解题的关键． 此题分为两种情况：当和在圆的同侧或当和在圆的两侧．设点、，连接、、、、、、，根据直径所对的圆周角是直角，得，运用直角三角形中所对的直角边为斜边的一半，得，故，故． 【详解】解：点的位置有两种情况，如图所示，设点、，连接、、、、、、,    ∵是的直径， ∴． 又∵，，， ∴， ∴， ∴， 即当和在圆的同侧或当和在圆的两侧时，均有， 故选． 5．（2024·江苏无锡·二模）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，结合四边形内接于，得到，解答即可． 本题考查了圆周角定理，圆内解四边形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选A． 6．（2024·江苏无锡·二模）圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（    ）． A．10 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得： ， ∴（负值舍去）， ∴母线长为； 故选：B． 7．（2024·江苏无锡·二模）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到． 【详解】解：连接，   直线与相切于点， ， 又， ， ， ， 故选：A． 8．（2024·江苏常州·二模）如图，C、D是 为直径的半圆上的点，且C是弧的中点，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，连接，由圆周角定理的推论推出，，即可得到．解题的关键是由圆周角定理推出，． 【详解】解：连接， 是圆的直径， ， 是弧的中点， ， ， ． 故选：A． 9．（2024·江苏徐州·二模）圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案为：． 10．（2024·江苏宿迁·二模）如图，中，，，，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆的有关计算，勾股定理和等腰直角三角形的性质，利用特殊角度度角的正切值为切入点，构造出一个特殊的度角将所需求的两个线段的最大值转化为一条线段，此时点与点重合，进而求出所需要的最大值，解题的关键熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线． 【详解】如图，作，过点作于点，延长交于点，过点作垂足为点，过点作于点，延长交于点， 当点与点重合，点在点处时，取得最大值， 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或 （舍去）， ∴， ∵， ∴， 在上取不同于点的一点，过点作于点，过点作 所在的直线于点，并延长交于点， ∵，， ∴， 则或， ∵，， ∴，， ∴，， 由图可知：， ∴， ∴当点在点处时，取得最大值，最大值为的长， ∵， ∴取得最大值， 故答案为：． 11．（2024·江苏苏州·二模）如图，在中，，，分别是CB、AB的中点，连接EF，将绕点旋转一个角度，连接并延长，与直线交于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．证明点在以为直径的圆上，得到当为的切线时，有最小值，此时重合，据此求解即可． 【详解】解：连接，由题意得和都是等腰直角三角形，且，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴点在以为直径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当为的切线时，有最小值，此时重合， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 12．（2024·江苏宿迁·二模）如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则的半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及垂径定理，解直角三角形，连接，交于点，由垂径定理推出，且，再由圆周角定理推出，从而根据直角三角形的性质进行求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，交于点， ∵点是弧中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ， 即的半径等于， 故答案为：． 13．（2024·江苏南京·二模）如图，点A，B，C在半径为4的上，．若，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角及弧长的求解．连接，先求出所对圆心角的度数，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 14．（2024·江苏苏州·二模）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ． 【答案】/ 【分析】利用证明得出，，，即可求得，根据等腰三角形三线合一的性质得出，且BO=DO，进一步求得，即可求得，根据含角的直角三角形的性质即可求得，然后根据弧长公式求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 设圆锥的底面半径为r， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 15．（2024·江苏南京·二模）如图，内接于，，点在上，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理推得、，证明后，利用相似三角形性质和含直角三角形的特征即可求解． 【详解】解：连接， 内接于，且， 是的直径， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 中，，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理、相似三角形的判定与性质、含直角三角形的特征，解题关键是利用熟练掌握相似三角形的判定与性质． 16．（2024·江苏泰州·二模）如图，点D是等边边上一点，，连接，将沿翻折得到，若以D为圆心，为半径的圆经过一边的中点，则的半径是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆的有关性质、图形的折叠、等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，解决本题的关键是运用分类讨论的方法解决问题，分为当过边的中点时及当过边的中点时，两种情况分类讨论来求解即可． 【详解】如图，第一种情况：当过边的中点时，设与的交点为点F，作于G， 设的半径为r， 则， ， 是等边三角形， ， ，， ， 由题意可得点F为中点， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：（舍去）， 的半径为； 如图，第二种情况：当过边的中点时，设与的交点为点H，连接， 设的半径为r， 则， 是等边三角形， ，， 是由折叠而得， ， 中，， 是等边三角形， ， 的半径为； 综上所述的半径为或， 故答案为：或． 17．（2024·江苏南京·二模）如图，在半径为的中，是直径，点在上，且，弦（非直径）交于点． (1)如图①，若， （Ⅰ）连接，求证：； （Ⅱ）的长为______． (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） (2) 【分析】本题考查了圆的综合证明与计算，并结合等腰三角形的性质与判定、相似等知识，熟练掌握圆的性质是解题关键． （1）（Ⅰ）利用垂径定理推论得，证明即可； （Ⅱ）连接，判定是等腰直角三角形即可求解； （2）连接，，作于点，作于点，证明，利用相似性质求，再利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：（Ⅰ）如图， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）如图，连接， ∵是直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接，，作于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（2024·江苏宿迁·二模）图1和图2是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，要求仅利用已有的格点和无刻度直尺作图（注意：不能用圆规）． (1)如图1，已知网格中有一个，顶点A、B、C、D都在格点上，找出格点1个即可），使平分． (2)如图2，的顶点A，B，C均落在格点上，是的外接圆．在如图所示的网格中，上方的圆上画点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，三线合一定理，全等三角形的性质与判定： （1）如图所示，取格点E，连接，取中点P，作射线，则点P即为所求； （2）如图所示，取格点G、H，连接并延长，交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点E，连接，取中点P，作射线，则点P即为所求； 易证明，则由三线合一定理可得平分； （2）解：如图所示，取格点G、H，连接并延长，交于点P，点P即为所求； 易证明，则， 易证明，则， 易证明，则． 19．（2024·江苏徐州·二模）如图，直线l与相切于点，点为直线上一点，直线交于点、，点在线段上，连接，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线是的切线，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了扇形面积公式以及切线的性质和判定和锐角三角函数关系应用以及全等三角形的判定及性质等知识， （1）首先证明，得出，即可得出直线是的切线； （2）利用切线的性质定理以及勾股定理和锐角三角函数关系得出，则，以及的长，再利用三角形面积公式以及扇形面积公式得出答案即可． 【详解】（1）解：直线是的切线， 理由：连接，， ∵直线l与相切于点M， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 为直径， ∴直线是的切线； （2）过点O作于点N，    ∵， ∴， 即， 又∵，则， ∴， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴，则， ∴图中阴影部分的面积为：． 20．（2024·江苏苏州·二模）如图，是的直径，点在上，点为弧的中点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，求角的正切值，平行线的性质与判定等等： （1）连接，由等边对等角得到，由等弧所对的圆周角相等得到，进而证明，从而得到，即可证明是的切线； （2）先证明，设半径为，则解得：，则，再证明，得到，解得：，由勾股定理得：，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ∴， 点为弧的中点， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， 由（1）得：，， ， ， 设半径为， ， 解得：，则， 是的直径， ， ， ， ， ， 解得：， 由勾股定理得：， 在中，， ． 21．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求劣弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得，从而证得是的切线； （2）根据圆周角定理、勾股定理得出，根据三角函数的定义求得，进而得到，然后根据弧长公式解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵是⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； （2）连接，， ， ， ， ， , ， ， 劣弧的长 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以解直角三角形等，综合运用这些知识是解决问题的关键． 22．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 23．（2024·江苏无锡·二模）如图，在中，，是上一点，以为半径的与相切，切点为，连接，与相交于点． (1)求证：是的角平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键． （1）连接，根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可； （2）设，再根据勾股定理列式求出，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接． 与相切， ， ， 又， ∴， ， ， ， ， 平分； （2）解：是圆的切线， ， 在中，； 若，， 设圆的半径， 解得：， ， ， ∵， ， ， ， ． 24．（2024·江苏无锡·二模）如图，为的直径，点C是上任意一点，过点C作于G，交于D，，连接．分别交于F、H． (1)如图1，求证：． (2)如图1，若，，求的长． (3)当点C在圆上运动的过程中，试判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据垂径定理，圆周角定理，得到，即可得出结论； （2）根据，求出的长，进而求出的长，圆周角定理，得到，求出的长，进而求出的长，利用三角函数求出的长，再利用三角函数求出的长即可； （3）将沿着翻折，使点于上的点重合，得到，进而推出，三线合一，得到，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： ∵， ∴，， ∴平分， ∵为直径， ∴， 将沿着翻折，使点于上的点重合，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，从复杂图形中有效的获取信息，是解题的关键． 25．（2024·江苏盐城·二模）如图，P为⊙O的直径延长线上的一点，为⊙O的切线，切点为C，于D，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求⊙O的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线定理得到，由垂直得到，由半径等得到，即可得出结论； （2）设，证出，再结合勾股定理进行计算即可； 本题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等腰三角形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：连接． ∵为⊙O切线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ． ∴平分． （2）设． 在中，． 在中， ． 结合（1）中， ， ∴． ∴， 即． ∴． ∴． 解得 (舍去），， 即⊙O的半径为 26．（2024·江苏扬州·二模）如图，是的直径，点A为延长线上一点，点B在上，F点为弧的中点，连接，延长与的延长线交于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若点F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)阴影部分面积为：． 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角的定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）利用圆周角定理可得出，利用直径所对的圆周角是直角可得出，结合，可得出，即可得证； （2）在中，利用余弦定义求出，进而利用正切定义求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵F点为弧的中点， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵点F是的中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为． 27．（2024·江苏泰州·二模）如图，是的内接三角形，． (1)仅用圆规在直线下方的圆弧上求作一点D，使点D到点B，点C的距离相等；（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接交于E，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点B为圆心，为半径画弧，与在直线下方的圆弧交于点D，问题得解； （2）连接，，先证明是等边三角形，可得，再证明，即可求出，问题随之得解． 【详解】（1）作图如下： 点D即为所作； 证明：连接，， 根据可得，即可证明是等边三角形，则有； （2）连接，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作出合理的辅助线，掌握圆内接四边形的性质，是快速解答本题的关键． 28．（2024·江苏无锡·二模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案． （2）由于和所对的弧均为，故，因为，所以，因为，所以，根据勾股定理可得，故，证明，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴是的切线． （2）解：∵和所对的弧均为， ∴， 又∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得, ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， 即， 解得（舍），， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 29．（2024·江苏苏州·二模）如图，是的直径，点，为上的两点且，连接，交于点，点F为延长线上一点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查圆的基本性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆周角定理的推论，切线的性质，相似三角形的判定和性质定理． （1）先证明，，再证明，进而得到，即可得到结论； （2）由勾股定理得，再证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ． 30．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，点D是的中点，经过A，B，D三点的交于点E，的直径．    (1)求证：； (2)当时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理推论可得是直径，从而，根据弧、弦、圆心角的关系可知，根据垂径定理有，即可证明； （2）连接，结合（1）中结论，根据等弧所对的圆周角相等可得，易证，从而，由条件及（1）的证明可知，代入数值求出的值，再利用勾股定理求出的长度，从而求出的半径． 【详解】（1）解：如图，连接，     ， 是直径， 直径， ， ， ， ． （2）解：连接，   点D是的中点， ， ， ， 是直径， ， ， 直径， ， ， ， ，即， ， 由勾股定理有， 的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是灵活运用相关知识解决问题． 31．（2024·江苏南通·二模）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B， ，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由与相切，可得．由．可得．由，可得，则， （2）如图，连接，过点O作．则．为等边三角形．，．．．证明四边形为矩形．则，． ，，． 根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵与相切， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点O作． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵． ∴． ∴． ∵与相切， ∴． ∵，， ∴四边形为矩形． ∴，． ∴，，． ∴， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，正切，矩形的判定与性质，扇形面积等知识．熟练掌握切线的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，正切，矩形的判定与性质，扇形面积是解题的关键． 32．（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意得出，，即可得出结论； （2）连接，过点作于点，根据度的圆周角所对的弦是直径及勾股定理得，继而得到，再根据，得到，即可得出结论； （3）如图，过点作于点，延长交于点，连接，设，，得到，由垂径定理得，根据勾股定理得，即，由一元二次方程根的判别式得，继而得到，则，可得结论． 【详解】解：（1）∵点，，，在半径为的上， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （2）连接，过点作于点， ∵，的半径为， ∴， ∴， ∵， 即当时，的面积取得最大值， ∴，即， ∴， ∴的最大值为； （3）如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，连接，，设，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，当点与点重合时，取“”， ∵， ， ∴， ∵，即， 整理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， ∴的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了弦与直径的关系，度的圆周角所对的弦是直径，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 33．（2024·江苏泰州·二模）已知：如图1，是的内接三角形，且，点是弧上一动点，连接交弦于点，点在弦上，且．    (1)求证：； (2)如图2，若是的直径，，，求直径的长； (3)如图3，保持点位置不变，调整点的位置使得直线经过圆心，点在上，使得成立的所有点中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)始终不变的点是半径的延长线与圆的交点． 【分析】（）根据等腰三角形的性质及圆周角的性质可知，再利用相似三角形的判定即可解答； （）根据圆周角的定理可知，再根据勾股定理可知，最后利用相似三角形的性质即可解答； （）根据相似三角形的判定与性质可知，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 又∵是的直径， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴， （3）解：延长，交圆于点M.    ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴始终不变的点是半径（或）的延长线与圆的交点． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 34．（2024·江苏盐城·二模）如图，在正方形中，，以为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连接并延长交于点E， 连接并延长交于点F， 连接． (1)求证： (2)求的最小值； (3)若求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质得，，由是的直径，得，可证明，进而证明，得； （2）连接、，由，得，，则，由，求出的最小值即可； （3）取的中点，以为半径作，连接、，则，所以、、、四点都在上，而，则，可证明，，则，所以，进行求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 是的直径， ， ， ， ； （2）解：如图1，连接、， 是的直径，且， ，， ， ， ， ， 的最小值为； （3）解：如图2，连接，取的中点，以为半径作，连接、， ， ， 、、、四点都在上， ， ， 由（1）得， ，， ， ， ， 整理得， 即：， 或（不符合题意，舍去）． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 35．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且__________，__________． 给出以下信息：①，②，③与相切． (1)请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：__________，__________，结论：__________ (2)如图2，在（1）的条件下，点D在上，且，连接，求证∶． 【答案】(1)选择①②作为条件，③作为结论或选择①③作为条件，②作为结论或选择②③作为条件，①作为结论，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，切线的性质与判定，等边对等角等等： （1）选择①②作为条件，③作为结论，根据圆周角定理和等边对等角得到，则可证明；选择①③作为条件，②作为结论，根据圆周角定理和切线的性质推出即可证明结论；选择②③作为条件，①作为结论，根据切线的和圆周角定理得到，则； （2）根据弧与圆周角之间的关系求出，则，由垂径定理的推论即可得到． 【详解】（1）解：选择①②作为条件，③作为结论，证明如下： 如图所示，连接， ∵点O在的垂直平分线上， ∴， ∴点C在圆O上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是圆O的半径， ∴是圆O的切线； 选择①③作为条件，②作为结论，证明如下： ∵是圆O的切线； ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论，证明如下： ∵是圆O的切线； ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，． 【初步认识】 （1）①求证：； ②若，求的值． 【特值探究】 （2）若，，，求长； 【逆向思考】 （3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由． 【答案】（1）①详见解析；②；（2）10；（3）是等腰直角三角形，详见解析 【分析】（1）①证明，，从而证明即可； ②运用相似三角形面积比等于相似比的平方，即为相似比，从而得解； （2）先利用，求出，再用勾股定理求，利用相似三角形的性质可求出，再利用得解； （3）同（2）法求出，再利用，得到，再根据x、y的任意性，即与x、y无关，得到，从而得到，继而证明，由此得解． 【详解】（1）①证明：为的直径， ， 于点F， ， ②， 中， （2）中，，，， ∴，， 由（1）可知：，， ，即， （3）是等腰直角三角形．理由如下： 中，， 由（1）可知：， ，即 ， ， ， 由题意知，上式对于任意x、y上式恒成立， 且， ， 锐角 中，， 为的直径， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握判定是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$