专题07四边形-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题07 四边形 1．（2024·江苏南通·二模）如图，中，，，，P为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·二模）四边形具有不稳定性．对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角大小，且其各边长度不变，得到四边形．连接，若，，则线段的长为（    ） A． B．8 C． D．10 3．（2024·江苏盐城·二模）在菱形中，，，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2024·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，，点F在上，且，E是边上的一动点，M、N分别是、上的点，，，则在点E从B向C运动的过程中，线段所扫过的图形面积是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，点C落在边上点G处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知矩形纸片，其中，，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线上的点H处，如图④． 则的长为（    ）    A． B． C． D．3 7．（2024·江苏无锡·二模）如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为．若，当变化时，正方形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏宿迁·二模）如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是 ． 9．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点E在上（端点除外），，作，垂足为F．当时，的长是 ；当时，m的取值范围是 ． 10．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 11．（2024·江苏泰州·二模）如图，E、F、G、H分别是各边的中点，的面积是12，则四边形的面积是 ．    12．（2024·江苏连云港·二模）如图，正方形的边长为4，E是的中点，P是上的动点，过点P作，分别交，于点F，G．当取最小值时，则的长是 ． 13．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在矩形中，，，、分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点落在边上，且，则的长为 ． 14．（2024·江苏连云港·二模）如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为 ． 15．（2024·江苏苏州·二模）如图，将矩形沿着折叠，使得点落在边上的点处（点不与C、D重合），点B对应点为点，，． (1)当时，求的长； (2)设，求四边形的面积与的函数表达式．（不要求写出自变量的取值范围） 16．（2024·江苏盐城·二模）如图，已知，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作的垂直平分线分别交于点M，N，O，连接和； (2)在（1）的条件下，若四边形的周长为16，求的长． 17．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在四边形中，，E为上一点，的延长线交于点F，． (1)求证：； (2)若，直接写出和的周长之比． 18．（2024·江苏徐州·二模）如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1的边上作点，使； (2)在图2的边上作点，使． 19．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知、分别是平行四边形的边、上的高，对角线、相交于点O，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，求菱形的边长． 20．（2024·江苏盐城·二模）如图，点是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图：在的延长线上找一点，使平分；（不直接作的角平分线，保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 21．（2024·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，，点E、F分别在上，将四边形沿着直线翻折，使得点B落在边上（不与端点重合），落点记作，点A的落点记作．O是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，，，．    (1)求证：； (2)若，设四边形的面积为S，请求出S关于x的函数表达式． 22．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的值． 23．（2024·江苏连云港·二模）如图，中，，交于D点，E点是的中点，分别过D，E两点作线段的垂线，垂足分别为G，F两点．    (1)求的长； (2)求证：四边形为矩形． 24．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 25．（2024·江苏南通·二模）小明正在思考一道几何证明题：如图1，在正方形中，点E，F在对角线上，连接，且．求证：四边形是菱形． 小明是这样想的： 第一步：由，，，可证明，得； 第二步：连接（如图2），交于点O，可证得，，进而可得四边形是平行四边形； 第三步：由，四边形是平行四边形，可得四边形是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 26．（2024·江苏南通·二模）在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片，其中，，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【操作猜想】 （1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想： 甲小组的操作与猜想操作：如图，在，上分别取一点N，M，将沿直线翻折，得到． 猜想：当时，．    请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当时，点E恰好落在矩形的对角线上．请求出图中线段的长度； 【拓广延伸】 （3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当时，过点E作交射线于点F，若，则的长是多少？请解答这个问题．    27．（2024·江苏无锡·二模）如图，四边形为正方形，点E为中点，连接，将纸片折叠，使点C落在上的点G处，折痕为；展平后进行第二次折叠，使落在上，上的点H与点G重合，折痕为，展平后进行第三次折叠，使点A落在上点Q处，折痕为． (1)写出和的关系，并说明理由． (2)求证：H为的黄金分割点． (3)以下结论：①P是的黄金分割点；②P，Q，I三点共线；③，正确的是______（请在横线上填写序号） 28．（2024·江苏盐城·二模）如图1，在矩形中，，E为边上的动点，将矩形沿直线折叠，点A，B的对应点分别为点． (1)当时，则 ； (2)连接，当为直角三角形时，求的长； (3)设与的交点为点F，连接，如图2，当四边形为矩形时，求矩形的面积． 29．（2024·江苏扬州·二模）如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． (1)直接写出的度数为_______ °； (2)连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； (3)在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值． 30．（2024·江苏泰州·二模）根据以下素材，探索完成任务． 折纸确定矩形一边上的三等分点 素材1 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将正方形沿对角线折叠，展开； 第三步：将正方形沿折叠，展开，折痕、交于点G； 第四步：过点G折叠正方形，使点D落在边上，折痕为； 则点M即为边的三等分点．    素材2 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将边沿折叠到的位置； 第三步：将点A沿折叠到点H的位置，折痕交正方形的边于点M； 则点M即为边的三等分点．    问题解决 任务1 证明素材1或素材2中方法的正确性．（两个素材选一个完成，选择素材1完成满分3分，选择素材2完成满分5分，若两个素材都完成按得分较高的给分．） 任务2 已知矩形，通过折纸找出边上的一个三等分点，画出折痕，并简要说明折叠方法．    31．（2024·江苏扬州·二模）定义：有三个内角相等的四边形叫准矩形． (1)如图1，中，，点在上，点在的延长线上，，与交于点，则四边形准矩形(填“是”或“不是”)；    (2)如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，，求证：四边形是准矩形；    (3)如图3，准矩形中，且为锐角，，当长最大时，求的值．    32．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点为线段上一点，点为线段一点，取线段的中点，以，为邻边向上作，、所在直线分别交于．设． (1)当点落在上时（如图），的值为 ． (2)若为的中点，且点到直线的距离为时，求的值． (3)设的面积为，求与的函数表达式． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 四边形 1．（2024·江苏南通·二模）如图，中，，，，P为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出，记与的交点为O，由平行四边形的性质可得，，当最小时，最小；过O作，证得，从而利用相似三角形的性质求出的长，即可得到的最小值． 【详解】解：∵，，，， ∴在中，， 记与的交点为O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最小时，最小， 过O作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为． 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线，构造相似三角形． 2．（2024·江苏南通·二模）四边形具有不稳定性．对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角大小，且其各边长度不变，得到四边形．连接，若，，则线段的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】过点作于点，过点作，交延长线于F，过点D作，先解，求得，，再证明，得，，再证明四边形是平行四边形，得，，则，然后用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于F，过点D作， ∵正方形， ∴，， ∵改变正方形的内角大小，且其各边长度不变， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，本题属四边形综合题，熟练掌握正方形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 3．（2024·江苏盐城·二模）在菱形中，，，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，关键是熟练掌握菱形的性质．连接与交于O．先证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求出的长度即可． 【详解】解：连接与交于O． ∵四边形是菱形， ∴， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 4．（2024·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，，点F在上，且，E是边上的一动点，M、N分别是、上的点，，，则在点E从B向C运动的过程中，线段所扫过的图形面积是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质知识，分情况进行讨论，当E与或当E与重合时找到的位置，结合图象即可判断扫过区域的形状并求出面积，解题的关键是作出正确的图形． 【详解】解：如图所示：连接，当点E与点重合时，，， 当点E与点重合时，，， ，，， ， ， 四边形为平行四边形， 扫过的区域为平行四边形， 同上理可得，， ，和的距离为， 线段所扫过的图形面积是， 故选：A． 5．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，点C落在边上点G处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的判定以及性质，折叠的性质，根据平行四边形的性质可得出，，得出，求出，由题意可得出，再利用平行线的性质得出，由折叠的性质可得出，最后利用平角的定义即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质可得出， ∴， 故选：D． 6．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知矩形纸片，其中，，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线上的点H处，如图④． 则的长为（    ）    A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】过点M作于点G，根据勾股定理求得，由折叠可知，，，进而得出，，利用等角的余角相等可得，则，于是可得，由等腰三角形的性质可得，易证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图，过点M作于点G，    ∵四边形为矩形，， ∴，， 在中，， 根据折叠的性质可得，，，，， ∴， ∴为等腰三角形，， ∵，， ∴， ∴为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据矩形和折叠的性质推理论证出，以此得出点M为的中点是解题关键． 7．（2024·江苏无锡·二模）如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为．若，当变化时，正方形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值，过作于点交于点，过作于点交于点，根据正方形的性质可证明，，得，，再由勾股定理得即可求解；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点交于点，过作于点交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴, ， ， 当，有最小值，即当变化时，正方形面积的最小值为， 故选：． 8．（2024·江苏宿迁·二模）如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识；连接，由折叠的性质易得，则；设，则，，由勾股定理建立方程即可求得x，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图， 在矩形中，，，； 为中点， ∴； 由折叠的性质得：， ； ， ， ； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 在中，由勾股定理得； 故答案为：． 9．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点E在上（端点除外），，作，垂足为F．当时，的长是 ；当时，m的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．当时，利用勾股定理结合等积法求得，，利用等腰三角形的性质求得，据此求解即可；当，时，同理求得，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， 当时， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 同理求得，， ∴， 当时，则， 解得（负值已舍）， ∵， ∴， 故答案为：；． 10．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，，进而求得，，根据折叠的性质得出，进而在中，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， 在中，，，， ，，，， ， 在中，， 沿折叠得到，当点恰好落在上， ， 又， ， ， ∴， 在中，， ， 故答案为：． 11．（2024·江苏泰州·二模）如图，E、F、G、H分别是各边的中点，的面积是12，则四边形的面积是 ．    【答案】6 【分析】本题考查中点四边形，相似三角形的判定和性质，根据三角形的中位线定理，结合相似三角形的判定和性质，推出，进而得到四边形的面积为即可． 【详解】解：连接，则：， ∵E、F、G、H分别是各边的中点， ∴，    ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形的面积； 故答案为：6． 12．（2024·江苏连云港·二模）如图，正方形的边长为4，E是的中点，P是上的动点，过点P作，分别交，于点F，G．当取最小值时，则的长是 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过G作于G，，证明得，再将沿方向平移至，连接，当D、G、H三点共线时，的值最小，此时为等腰直角三角形，得，进而得是等腰直角三角形，再证得出，进而即可得解． 【详解】过G作于M，则，， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当D、G、H三点共线时，的值最小， 此时为等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定取最小值的位置． 13．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在矩形中，，，、分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点落在边上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形与折叠的问题、勾股定理、解直角三角形，设与交于点，由折叠可知 ，，再根据同角的余角相等以及等角的余角相等可得，再设，则，在 中，根据勾股定理列出方程，求出则，， 在中，，因此，在中，，以此计算即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点． ∵四边形为矩形， ， ∴，，， ∵将四边形沿翻折至四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， 在中，，， ∴，， 在 中， ， ， 在 中， ， ， 故答案为：． 14．（2024·江苏连云港·二模）如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可； （2）根据矩形性质得出得出，根据菱形性质得出得出，， 证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，求出，根据菱形的面积求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ∴， 四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 15．（2024·江苏苏州·二模）如图，将矩形沿着折叠，使得点落在边上的点处（点不与C、D重合），点B对应点为点，，． (1)当时，求的长； (2)设，求四边形的面积与的函数表达式．（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设，，根据矩形性质、勾股定理、轴对称性质，得；根据相似三角形性质，通过证明，得；再通过证明，得；求得，即，作于，根据勾股定理计算即可得到答案； （2）设，，根据矩形性质、勾股定理、轴对称性质，得；根据相似三角形性质，通过证明，得；再通过证明，得；求得，根据梯形面积公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设，， 根据题意，得，， ∵， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 作于， ∵矩形纸片， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设，， 根据题意，得，， ∵， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、轴对称、梯形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、相似三角形、轴对称的性质，从而完成求解． 16．（2024·江苏盐城·二模）如图，已知，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作的垂直平分线分别交于点M，N，O，连接和； (2)在（1）的条件下，若四边形的周长为16，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，线段垂直平分线的作图和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）按照垂直平分线的作图方法作图即可； （2）证明，则．又由即可证明四边形是平行四边形．由垂直平分线段得到，即可证明四边形是菱形，根据菱形的周长即可求出的长． 【详解】（1）如图所示： （2）∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵垂直平分线段， ∴． ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长． ∴． 17．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在四边形中，，E为上一点，的延长线交于点F，． (1)求证：； (2)若，直接写出和的周长之比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握这些判定与性质是解题的关键． （1）由得，由平行线的性质结合，得，再由平行线的性质即可得结论； （2）由（1）知，四边形是平行四边形，则有；易得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ； ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， 四边形是平行四边形， ； ， ， 从而； ， ， 和的周长之比为． 18．（2024·江苏徐州·二模）如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1的边上作点，使； (2)在图2的边上作点，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）在上截取线段，使得，连接即可； （2）连接，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； 证明：∵， ∴； （2）解：如图，点P即为所求． 证明：∵线段的垂直平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知、分别是平行四边形的边、上的高，对角线、相交于点O，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的边长为 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的面积公式，结合，即可证明，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设为x，根据，，即可算出，在中，根据勾股定理列方程即可求出，即可求解； 【详解】（1）∵、分别是平行四边形的边、上的高， ∴， ∴， ∵， ， 是菱形． （2）设为x，则， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 故菱形的边长为． 20．（2024·江苏盐城·二模）如图，点是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图：在的延长线上找一点，使平分；（不直接作的角平分线，保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是菱形，理由见解析． 【分析】本题考查作图复杂作图，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径作交的延长线于点，连接即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）解：图形如图所示：    （2）结论：四边形是菱形． 理由：四边形是矩形， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形． 21．（2024·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，，点E、F分别在上，将四边形沿着直线翻折，使得点B落在边上（不与端点重合），落点记作，点A的落点记作．O是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，，，．    (1)求证：； (2)若，设四边形的面积为S，请求出S关于x的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形和折叠，得到，继而得到，结合，证明，得证； （2）连接，根据折叠的性质，得到，结合得到，得到，根据矩形的性质，得到，结合，则，得到，设，利用勾股定理，平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】（1）根据折叠性质和矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    （2）连接， 根据折叠的性质，得到，， ∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴平行四边形的高为4， ∴四边形的面积为．    【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，正切函数的应用，熟练掌握折叠的性质，正切函数的应用，矩形的性质是解题的关键． 22．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，锐角三角函数； （1）根据菱形的性质得，，，，再根据得，由此即可得出结论； （2）根据得，再根据菱形的性质得，，在中得，由此可得的值． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，，，， ， ， 又，即， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， ，， ，， 在中，， ． 23．（2024·江苏连云港·二模）如图，中，，交于D点，E点是的中点，分别过D，E两点作线段的垂线，垂足分别为G，F两点．    (1)求的长； (2)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】（1）根据题意可得是三角形中线，即可求解； （2）欲证明四边形为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可． 【详解】（1）∵， ∴D点是的中点， ∵E点是的中点， ∴ （2）证明：∵， ∴D点是的中点， ∵E点是的中点， ∴ ∵， ∴ ∴四边形为平行四边形 ∵ ∴四边形为矩形 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，灵活运用所学知识是关键． 24．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）由得，继而结合、即可判定全等； （2）根据，且是边上的中线可得，结合四边形是平行四边形可得答案． 【详解】（1）解：是的中点， ， ， ，， ； （2）四边形是菱形． ，， 四边形是平行四边形， ，是边上的中线， ， 四边形是菱形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键． 25．（2024·江苏南通·二模）小明正在思考一道几何证明题：如图1，在正方形中，点E，F在对角线上，连接，且．求证：四边形是菱形． 小明是这样想的： 第一步：由，，，可证明，得； 第二步：连接（如图2），交于点O，可证得，，进而可得四边形是平行四边形； 第三步：由，四边形是平行四边形，可得四边形是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 【答案】小明的第一步有错，正确证明见解析 【分析】由，可得，则．如图2，连接，交于点，由正方形，可得，，，证明，则，．进而可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是菱形． 【详解】解：小明的第一步有错，用“”不能证明． 证明：∵， ∴， ∴． 如图2，连接，交于点， 正方形， ∴，，，， ∴． 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∴，即． ∵，， 四边形是平行四边形． 又∵， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键． 26．（2024·江苏南通·二模）在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片，其中，，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【操作猜想】 （1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想： 甲小组的操作与猜想操作：如图，在，上分别取一点N，M，将沿直线翻折，得到． 猜想：当时，．    请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当时，点E恰好落在矩形的对角线上．请求出图中线段的长度； 【拓广延伸】 （3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当时，过点E作交射线于点F，若，则的长是多少？请解答这个问题．    【答案】（1）正确，理由见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）根据矩形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，证明，根据平行线的判定得出得出； （2）根据勾股定理得出，根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，，证明，得出，证明，同理证明，根据中位线的性质得出结果即可； （3）分两种情况进行讨论：当点E在下方时，当点E在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）甲小组的猜想正确． 理由：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）在中，，， ∴， ∵折叠， ∴，， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理， ； （3）当点E在下方时，如图1，延长交于点H， 同（2）可证． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， 由（1）可得， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点E在下方时，设交于点H，如图2． 同①可得，． ∴． ∴， ∴， ∴， ∴； 综上或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 27．（2024·江苏无锡·二模）如图，四边形为正方形，点E为中点，连接，将纸片折叠，使点C落在上的点G处，折痕为；展平后进行第二次折叠，使落在上，上的点H与点G重合，折痕为，展平后进行第三次折叠，使点A落在上点Q处，折痕为． (1)写出和的关系，并说明理由． (2)求证：H为的黄金分割点． (3)以下结论：①P是的黄金分割点；②P，Q，I三点共线；③，正确的是______（请在横线上填写序号） 【答案】(1)，，理由见解析 (2)证明见解析 (3)①②③ 【分析】（1）正方形的性质，得到，进而得到，折叠，得到，进而得到，即可得出结论； （2）设，得到，，进而得到，进而得到，即可得证； （3）连接，证明，得到，得到，判断②，设，则：，，勾股定理求出的值，进而求出的值，解直角三角形，求出的值，进而求出的长，判断①③即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：设，则：， ∵折叠， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴H为的黄金分割点； （3）连接， ∵正方形， ∴， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，故②正确； 设，则：，， ∴， ∴， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴P是的黄金分割点；故①正确； 综上：正确的有①②③； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，黄金分割，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，利用勾股定理和直角三角形的性质求值，是解题的关键． 28．（2024·江苏盐城·二模）如图1，在矩形中，，E为边上的动点，将矩形沿直线折叠，点A，B的对应点分别为点． (1)当时，则 ； (2)连接，当为直角三角形时，求的长； (3)设与的交点为点F，连接，如图2，当四边形为矩形时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2)的长为8或 (3)四边形为矩形时，它的面积为32或24 【分析】该题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是分类讨论和数形结合思想． （1）由折叠知，对顶角相等得出，根据，即可求出，； （2）当为直角三角形时，分为当时和当时，根据折叠的性质和勾股定理即可求解； （3）当四边形为矩形时，则．有两种情况：分别画图，根据全等三角形以及折叠性质计算即可； 【详解】（1）解：∵是矩形，， ∴， 由折叠知， ， ， ； （2）当时(如图1)． ， 当时，则、、三点共线(如图2)． ， ， 根据折叠性质设，则． 在中，由勾股定理得． 解得，即． 综上，当是直角三角形时，的长为8或． （3）当四边形为矩形时，则．有下列两种情况： 如图3，，矩形的面积． 图4，， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 综合知，四边形为矩形时，它的面积为32或24． 29．（2024·江苏扬州·二模）如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． (1)直接写出的度数为_______ °； (2)连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； (3)在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值． 【答案】(1)45 (2)①是定值，；② (3)的最大值为 【分析】（1）先证明，可得四点共圆，再由圆周角定理即可得结论； （2）①连接，先证明，再由相似三角形的性质可得结论；②过点E作，先证明点三点共线，可得，再由等腰三角形性质可得，再证是等腰直角三角形，设，则，可列出方程，再求解即可； （3）过点H作，延长交于点N，设，先证明，可得，即可求得，，由，可列出函数关系式 ，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ，绕点B顺时针旋转交边于点F， ，， ， 四点共圆， ， 故答案为：45； （2）①的比值是定值， 如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ②如图，过点E作， ， ， ， ， 由（1）得，且， 点三点共线， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 解得：， ； （3）如图，过点H作，延长交于点N， 设， 可得四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 当时，有最大值，为． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形结合问题、全等三角形的判定及性质，旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理，添加辅助线，用二次函数解决最值问题是解决问题的关键． 30．（2024·江苏泰州·二模）根据以下素材，探索完成任务． 折纸确定矩形一边上的三等分点 素材1 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将正方形沿对角线折叠，展开； 第三步：将正方形沿折叠，展开，折痕、交于点G； 第四步：过点G折叠正方形，使点D落在边上，折痕为； 则点M即为边的三等分点．    素材2 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将边沿折叠到的位置； 第三步：将点A沿折叠到点H的位置，折痕交正方形的边于点M； 则点M即为边的三等分点．    问题解决 任务1 证明素材1或素材2中方法的正确性．（两个素材选一个完成，选择素材1完成满分3分，选择素材2完成满分5分，若两个素材都完成按得分较高的给分．） 任务2 已知矩形，通过折纸找出边上的一个三等分点，画出折痕，并简要说明折叠方法．    【答案】任务1：详见解析；任务2：详见解析 【分析】任务1： 素材1：由折叠和正方形的性质可证，有，同理，有，结合矩形的性质可得，则，即可证明点M是的三等分点； 素材2：连接，设正方形边长为a，由折叠可得，，由折叠和正方形的性质可证，有，设，则，，在中，利用勾股定理求得，即可判定点M是三等分点 任务2： 方法一：参照任务一的方法即可折出矩形的一个三等分点；方法二：首先两次对折矩形形成新的矩形，再结合任务一的方法即可找到三等分点；方法三：参照任务二的方法即可折出矩形的一个三等分点． 【详解】解：任务1： 素材1：由折叠可得：， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ， 同理， ， ， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， 即点M是的三等分点； 素材2：连接，如图，    设正方形边长为a，由折叠可得， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ， 设，则，， 在中，， ，解得， ， 即点M是三等分点 任务2： 方法一： 第一步：对折矩形，展开，折痕为； 第二步：沿对角线折叠矩形，展开，再沿折叠矩形， 展开，折痕，交于点G， 第四步：过点G折叠矩形，使折痕； 则点H即为的一个三等分点．    方法二： 第一步：两次对折矩形，展开，折痕分别为、； 第二步：沿折叠矩形，展开；再沿折叠矩形，展开，交折痕于点G； 第三步：沿折叠矩形，折痕交于点M， 则点M即为所求作的三等分点．    方法三： 第一步：将边沿折叠到落到边的位置； 第二步：折叠矩形，使点A与点E重合，点B与点F重合，展开，折痕为； 第三步：将点E沿折叠到点N的位置，将点A沿折叠到点P的位置，折痕交边于点M； 则点M即为边的一个三等分点．    【点睛】本题主要考查折叠的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质和找到对应的等分点． 31．（2024·江苏扬州·二模）定义：有三个内角相等的四边形叫准矩形． (1)如图1，中，，点在上，点在的延长线上，，与交于点，则四边形准矩形(填“是”或“不是”)；    (2)如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，，求证：四边形是准矩形；    (3)如图3，准矩形中，且为锐角，，当长最大时，求的值．    【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，即可判定四边形是准矩形； （2）由四边形为平行四边形，得到，且，再根据等角的补角相等，判断出，即可得证； （3）过点作，，则四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质求出，，，设根据相似三角形的性质求出，再根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 则四边形是准矩形， 故答案为：是； （2）证明：四边形为平行四边形， ，且． 根据折叠的性质得，，， ， ，，， ， 四边形是准矩形； （3）解：如图3，过点作，，   四边形是平行四边形，， ，， ，， ，，， 设 ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， 长最大时，的值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、准矩形的判定、相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟记平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建相似三角形是解题的关键． 32．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点为线段上一点，点为线段一点，取线段的中点，以，为邻边向上作，、所在直线分别交于．设． (1)当点落在上时（如图），的值为 ． (2)若为的中点，且点到直线的距离为时，求的值． (3)设的面积为，求与的函数表达式． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）由平行四边形的性质得，，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得，即可求解； （）过作交于，过作交于，由等腰三角形的判定得 ，由勾股定理得，，设，则，可求出，，， 由相似的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求出，由平行四边形的性质可求出 ，，分别代入比例式，即可求解； （）当时，过作交于，过作交于，设，，，由（）同理可得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求出，由（）得，可求出、，即可求解；当时，仿照上述解法，同理可求 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，即：， ， ， ， 为的中点， ， ， ； 故答案：； （2）解：如图，过作交于，过作交于， ， 四边形是矩形， ，， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， 由（）同理可得： ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得：， 故的值为； （3）解：由题意得：点G不能落在上， 故m不能等于 ①当时， 如图，过作交于，过作交于， 设， ， ， ， 由（）同理可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（）得： ， ， ， 解得：， ， ； ②当时，如图，过作交于，过作交于，    设， ， ， ， 由（）同理可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（）得： ， ， ， 解得：， ， ； 综上所述，与的函数表达式为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；能熟练掌握相关的判定方法及性质，能设恰当的辅助未知数，用方程思想求解是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$